•/f4;(^r'^^.??^''^.ff;?«^^'^^^^*<5«*^^-^' P?^^^ Z^.^ ''§-^-B^^'' '.' r\ r\ ■ 'imm^^/^0^^a^, "^W^Vk, /^^m^^ 7/ >.^V^^^^^^A -N ^:^K^ .JiiiAaW r?A r:^- wm '%#'^' ^^^/^' ^A^r\nnrr^ l^f^^^^^^!?^ Xi% ^^'j^, - #K/\^/^ _ ^^^^i^iliaiK-^ i. Lb L d. us- sr^ifm S?/ ri^ T A B L E S DINTEG RALES DEFI N I E S o mm JJ. lilERE]\S J)E HA AN. Piihliees par I'Acadeniie Royale dcs Sciences a Amsterdam. I' U K M I K 15 E P A H T I E. ■►-^sr*;nr*^""*>~ AM8TEEDAM, C. G. \ A i\ D E R r S T. 1S56. ^ -* i^ ^ \., VERHANDELINGEN. ^^fi/ c ^. VERHANDELINGEN KONINKLIJKE AKADEMIE WETENSCHAPPEN. VIERDE DEEL. AMSTERDAM, C. G. VAN DER POST. 1858. ORXIUKT Kl.r \V. 3. KKOBKR. ■ TABLES DINT EG RALES DEFINIES PAR Z>. BIERENS DE HAAJS. S O M M A I R E. Page. Preface I. Observations et Corrections, en partie critiques XVII. Division des Tables 3. SOMMAIRE DES TaBLES 5. Abreviations et Notations 20. Abreviations dans le Sommaire , . . , 24. PiiEMiJiRE Partie 25. DetjxiJ;me Partie 167. TroisiIime Partie 485. »--» » C <■'. < C ' °- PREFACE. Dans la construction tie ces Tables d'Inlegrales definies j'avais en vue un objet quadruple. En premier lieu je voulais reunir les uns aupres des autres les differents r^sultats, epars par-ci et par-1^, que I'on avait obtenus au sujet de ces fonctions, par beaucoup de metbodes intrinse- quement differentes, et pour la plupart plus ou moins indirectes, II resultait de cette dispersion des formules obtenues, que I'on ne pouvait en tirer tout le profit possible, tant pour la pra- tique, — c'est-a-dire pour les cas, oii I'on pourrait avoir besoin des valeurs d'une certaine inte- grale definie, — que pour la tlieorie elle-meme, — c'est-5,-dire pour I'emploi de ces formules dans la deduction d'autres integrales definies, et pour la verification de nouvelles formules de ce genre, a I'egard desquelles on pouvait entretenir des doutes, par rapport a la priorite ou a I'originalite. I'ne collection d'integrales definies bien ordonnee pent certainement obvier a tons ces inconvenients. De ce point de vue suivait naturellement une autre consideration non moins importante. Apres avoir reuni les diverses formules, il importait beaucoup de connaitre leur methode de de- duction: et cela d'autant plus, que plusieurs metbodes employees en d' autres temps avec une confiance absolue, ne sont maintenant plus a I'abri d'objections, en quelques cas tres-fondees. Des-lors, pour etre si\r d'un resultat quelconque, il fallait absolument que I'on fut a meme d^ juger de la validite et de I'exactitude de la metbode employee. Or il ne pouvait entrer dans le plan de redaction de ces Tables, deja assez volumineuses, d'ajouter a cote de chaque integrale la methode li I'aide de laquelle on I'avait deduite, quand meme il eAt ^te possible de I'indi- , quer d'une maniere courte, precise et certaine : de plus il y a beaucoup de formules, qui peuvent etre trouv^es de plus d'une maniere. J'ai tach^ de subvenir h cette difficult^ d'une autre maniere, qui, a ce que j'espere, ne manquera pas d'approbation. A cote de chaque formule in- A WIS- EN .NATUIJRK. VERB. DER KOKIKKL. AKADEMIE. DEEL IV. n T ntf A CE. tegrale se trouve une notice bibliogiaphique indiquant, oh I'on peut en trouver la dc^duction, ou m^me plusieurs deductions diverses, s'il y en a. De cette fa9on chacun est mis en ^tat de juger par lai-in£me de la validity des r^sultats indiqu^s, et de r^p^ter lui-meme les calculs n^cessaires, s'il ponirait le juger convenable. Mais par ces notices bibliographiques elles-m£*mes il ^tait en m^me temps possible de remplir un Iroisieme but, celui de douner un tableau historique et bibliogiaphique de cette branche de I'aualyse. Pour que ce tableau fftt complet, il aurait fallu que j'eusse pu parcourir tous les ouvrages, oh pourraient se trouver des int^grales definies. Cetait une entreprise a peu pres impossible, puisque d'une part je n'aurais jamais pu m'assurer de n'avoir omis aucun livre, et que je ne me trouvais pas dans une condition de pouvoir les avoir tous sous les yeux : taudis que d'autre part le travail serait devenu d'une telle longueur que je n'aurais pas os6 I'entreprendre. Ndanmoins je dois confesser que de ce cflt^-ld mes desirs, peut-etre trop ardents par I'int^ret personnel que je portals natu- rellement au succes de raon entreprise, n'ont pas ^t^ remplis comme je I'avais desird, ni comme je I'avais esp^re. J'avais demande par la voie de quelques joumaux scieutifiques I'envoi des notes ou des m^moires monograpbiques, qui pourraient exister sur la tbeorie des int^grales definies : et j'avoue avoir assez compte sur I'iuteret que les formules, dont je me proposals la r^colte, doivent in- spirer aux Analystes, pour attendre quelques fruits de cette demarche: mais personne n'a repondu h I'appel. Tout dependait done de moi-meme et c'est par le sommaire des livres, des journaux et des m^moires consultes (pages 20 et 21) que I'on pourra juger jusqu'^ quel point les Tables peu- vent etre censees completes. Si toutefois, comme je n'en doute guere, il y a des ferits, qui portent sur cette matiere et qui pourtant ne se trouvent pas sur cette liste, qu'on veuille bien trouver I'excuse de leur omission dans ce que je viens de dire; I'espece de reproche, qui s'y trouve, n'a son origine que dans mon desir de rendre mon excuse plus fondle. Quant h, ce sommaire, il donne lieu h quelques observations. Les journaux mathcmatiques Anglais et Am^ricains y manquent com- pl^tement, puisque je n'ai pas eu moyen de m'en procurer I'^tude : la meme observation se repute pour les livres et les monographies de ces pays, que I'on trouve peu chez nous. J'ai ^t^ bien ttchi que tel ait ^t^ le cas, puisque bien certainement le fruit de leurs Etudes m'e• diverses. T. 363. s. X. T. 256- -262. 0,1. T. 364. A,^. T. 263- -269. 0, OD. T. 365. diverses. T. 270. 1, ^. s. XVII. T. 366. 0,1. T. 271. diverses. s. XVIII. T. 367. diverses. s. s. XI XII. T. T. 272. 273- -275. diverses. 0, 00. s. XIX. T. 368, 369. 1 T. 276. — 00 , ao. T. 370- -372. 0,7r. / T. 277. diverses. T. 373. 0,2 71. s. XIII. T. 278- -285. 0, 00. T. 374. diverses. T. 286. 00 , 00. s. XX. T. 375. diverses. T. 287- -295. ,-n. p. III. s. XXI. T. 376. T. 377- -381. 0,1. 0, CC. T. 296. 0,7r. T. 382. CO , 00. T. T. 297. 298. 1 1 It ,-n. 2 ' 2 diverses. s. T. 383. XXII. T. 384. diverses. s. XIV. T. 299. 0, 00. T. 385- -399. 0, 00. s. XV. T. 300. 0, 00. T. 400. diverses. s. XVI. T. 301. 0,1. s. XXIII. T. 401. 0, 00, T. 302. 0, 00. s. XXIV. T. 402. , 00. T. 303- -329. 4 1 0,-.. 0,71. s. XXV. T. 403- T. 410. -409. 0,1. T. T. 330- 353- -352. -355. T. 41], 412. T. 356. 0, 2 77. T. 413. 0,71, T. 357- -360. 1 1 T. 414- T. 420. -419. 0, 00. CO , CO. T. 861. ^,Vir. T. 421. diverses. xu p. ni. & P R 6 F A C E Limites. & XXVI. T. 422- -424. 0,1. P. III. S. XXIX. T. 435. T. 425. T. 426. T. 427. 0, 00. 1,». (liverses. S. XXX. T. 436—438. T. 439. S. XXVII. T. 428. S. XXVm. T. 429. diverses. 0,1.. S. s. XXXI. XXXII. T. 440. T. 441. T. 442. T. 430. 0,7r. s. XXXIII. T. 443. T. 431- -433. 0, 00. s. XXXIV. T. 444. T. 434. diverses. s. XXXV. T. 445—447. Limites. 0, 00. '2, 0, 00. diverses. 0, 00. diverses. diverses. diverses. diverses. Mais i present les int^grales entre les memes limites, appartenant h une meme Section, de- vaient entrer dans des cadres assez nuances pour ainsi dire, pour pouvoir facilement faire saisir les distinctions ^tablies entre elles. II me semblait qu'il devait y avoir de I'inconv^nient dans des tables trop dtendues, puisqu'alors il serait n&essairement plus difficile de trouver une int^grale d^finie quelconque, que I'on chercherait. D'un autre cote il ne fallait pas rendre les tables trop petites et augmenter ainsi outre mesure le nombre des distinctions devenues par li n^ces- sairement minutieuses. Lh. done, oil il dtait besoin d'une telle restriction, je me suis boni^ au nombre d'environ vingt-cinq formules pour chaque Table; j'ai dh r^gler la classification d'apres cette limite arbitraire, et pour cela admettre des distinctions trop minutieuses pour etre univer- sellement admissibles. Toutefois ces divisions moins naturelles n'ont et^ necessaires que dans un petit nombre de cas : quelquefois m^me je n'ai pas subdivisd des Tables d'une ^tendue plus grande (voir, p. a. T. 1, 40, 49, 68, 85, 127, 135, 195, 202, etc.). En general je me suis demand^ pour les fonctions Algdbriques : 1°. si elles etaient rationnelles ou irrationnelles : — c'est-^-dire quant ti la forme: p. ex. a^, quoique p fdt fractionnaire, est considere comrae rationnel, xP—i au contraire est considere comme une fonction irrationnelle. 2*>. si elles Etaient entieres ou fractionnaires : — de meme quant il la forme; a;P~' est considdr(5 entier, meme dans le cas que p etait assujetti h la condition de ne pas surpasser I'unitd, mais x—P est regarde' comme une fraction. 8"'. si elles dtaient monfimes ou polynomes. Les formes (a -{• x) *, quoique proprement des monomes, ont 6t6 ranges parmi les polynomes, et bien comme des puissances de binomes. PREFACE. XIII ■Quelquefois la subdivision Se regie d'apres puissances, et alors aussi d'aprSs puissances nu- meriques (pour I'exposant a special) et puissances alg^riques (pour cet exposant a general). Auprfes des fonctions Exponentielles et Logarithmes la meme distinction de formes rationnelles ou irrationnelles, de formes entieres ou fractionnaires, de formes monomes ou polynomes est retenue : cette distinction offirant la aussi beaucoup de facilite pour la classification. Quant aux fonctions Circulaires Directes, j'ai toujours considere la Sinus, la Cosinus et la Tangente comme des fonctions entieres; pour la Cotangente, la Secante et la Cosecante j'ai pris en general leurs valeurs fractionnaires exprimees en Sinus et en Cosinus; ueanmoins j'ai pens^ devoir quelquefois m'abstenir de cette distinction, quand pour la symetrie des resultats il importait de les reunir dans un meme cadre. Les fonctions Circulaires Inverses offraient peu de difficultes: quelquefois seulement j'ai ^t^ oblige de faire une distinction entre celles, qui avaient pour argument uu simple x, et celles dont I'argument etait une fonction quelconque de x. C'est d'apres les principes exposes que les integrales definies sont rangees dans les Tables respectives: le sommaire (voir Pages 5 a 19) en fait voir le resultat : j'ose esperer que leur emploi prouvera que I'arrangement est convenable. Quelques mots suffiront pour faire comprendie la construction des Tables elles-memes. En tete de cliaque Table on trouve au milieu son numero, h gauche la description des fonctions integr^es, h. droite les limites de I'integration : ce sont les mcmes trois arguments principaux, qui figurent dans le sommaire des Tables. Alors vieunent les integrales definies elles-memes, nume'rotees, afin de pouvoir facilement les citer: les integrales plus generales suivent celles qui sqnt speciales ou les cas speciaux des premieres. Or ces cas speciaux des formules gendrales ne sauraient toujours etre omis comme sous-entendus dans celles-gi, puisque d'une part les valeurs deviennent pour la plupart beaucoup plus simples, et que d'un autre cote ces valeurs speciales de quelque constante sont bien loin d'etre toujours permises. Aupres de cliaque formule sont notees, s'il le fant, les Equations de limite auxquelles quelque constante peut etre soumise: dans le cas contraire les premieres let- tres de I'alpliabet a, b, c, ... designent en general des quantit^s entieres, les lettres p, q, r, ... au contraire des quantit^s quelconques, entieres ou fractionnaires, rationnelles ou irrationnelles. Toutefois toutes ces quantites sont regardees comme positives, a moins que le contraire ne soit «xpress^ment dnonc^; x est toujours reserve pour indiquer la variable de I'integration. XIV P E :6 F A C E. Dans les valeuis des int^rales d^finies I'oa observe diverses' fonctions, outre cellos dent il a 6\£ question deji\ a I'occasion de la division des Tables: on les trouve Page 22, 23, avec leB notations respectives, ainsi que je les ai employees. Ce sont: les quatre fonctions Hyperboli- ques, — les coefficiens du binome, — les factorielles c"/*, laquelle notation exprime le produit c (c -f- 6) ( c + 2 6) . . . . (c -{- [a — 6] 6), — les coefficieus Beruouilliens B2a-i> tandis que les fonctions correspondantes Bga d^signent les coefficiens de la s^rie pour la secante, — les trois series hj-pei^ometriques de M. Kummer, — la fonction L (a) de M. Lobatschewsky. De plus la lettre « designe souvent une quantite arbitraire ou indetenninde, et k une quantity qui devieut infinie: i est la racine carrde de I'unite negative, la quantite ainsi dite imaginaire la plus sim- ple, — A la constante du Logarithme Integral, evaluee h, 1 8 decimales (voir Getjnekt, Archiv der Mathematik und Physik, Th. XI. Seite 323), — e la base des Logarithmes naturels, evaluee a 105 d&imales (voir Grunert, Archiv der Mathematik und Physik, Th. III. Seite 28), — jr le rapport de la circonfe'rence du cercle h son diametre, evalue a 530 decimales. Quelquefois on rencontre des sommations, c'est-cl-dire des series, soit finies, soit infinies; elles a sont designees par le signe 2, oil a et 6 sont les Hmites entre lesquelles on doit donner a I'ar- i gument, qui est represente par le lettre «, toutes les valeurs entieres possibles. Lorsqu'il y a des sommations doubles, la premiere se fait ordinairement suivant I'argument ti, la seconde suivant I'arguraent m; la forme des sommations elle-meme en decide toujours aisement. Encore une observation quant i\ la notation des fonctions Circulaires Directes. E me semblait plus clair de prendre le signe Sin.^ x pour la seconde puissance de Sin.x, tandis que la Sinus d'une Sinus de x est d&igne par Sin. {Sin. x) : on sait que dans les demiers temps on a pro- pose le premier signe pour la seconde fonction. Encore Sin.x^ ou plutot Sin.{x'') est ici la Si- nus de a;'. De meme j'ai donnc la preference aux signes Arcsin. x, Arccos.x etc. sur les autres signes ■^. .x,-^ -.x, etc, et cela seulement pour Inexactitude de I'impression, car je craignais que dans les formules, oil des fonctions Circulaires Directes se trouvaient melees h des fonctions Cir- culaires Inverses, I'on ne confondit entre les deux fonctions absolument diverses -s^— . x et ^ •— - • J'insiste sur ces raisons pour le choix de ces sigfies, puisque d'un point de vue purement th&rique les autres notations pourraient bien etre prefcrables. PREFACE. XT Comme la publication de ces Tables est la premiere entreprise de ce genre, je ne doute pas qu'elles ne soient sujettes h, des defauts: je n'ai qa'h prier ceux, qui en feront une ^tude par- ticuliere, de vouloir bien me faire part de leurs observations critiques, que je recevrai avec re- connaissance. II me reste enfin a faire observer, que je dois I'impression de ces Tables, dont la precision et 1' elegance, faisant honneur h la typographic de M. Keober, m'ont beaucoup facilite la cor- rection, a la munificence de I'Academie Royale des Sciences, qui a bien voulu les inserer dans sa collection de Memoires, et en a ainsi rendu la publication possible. D. BIERENS DE HAAN. Devenler, Decembre 1855. Pendant que ces tables d'Integrales Definies etaient livrees a I'impression je me suis occupe de la theorie de ces fonctions et de la critique des diverses methodes d'evaluation. Lorsque ce travail ^tait assez avanc^ j'ai pu confronter mes resultats avec ceux, que j'avais accueillis dans mes Tables, sans toutefois en avoir alors revis^ les calculs, comme je viens de dire plus hau.t. Le resultat de cette confrontation n'etait pas toujours favorable a mes Tables; quelquefois une faute s'y etait glissee par suite d'un signe ou d'une notation mal copife, — et une transcription totale, quatre fois repetee durant la redaction, nen avait pa§ diminue le danger; tantot j'avais admis un resultat lui-meme fautif. Et, ce qui ne valait guere mieux, ces fautes s'etaient necessaire- ment repetees dans les nouvelles integrales, que j'en avals d^duites. Par la nature des fonctions en question, les formules juxtaposees ne donnent lieu en gfoeral a aucune comparaison mutuelle et sont tout-^-fait inddpendantes les unes des autres, et meme elles se deduisent souvent de for- mules qui se trouvent eparses dans toute I'^tendue de cet ouvrage; de sorte que la correction des ^preuves, — ouvrage naturellement assez ^pineux et dont je ne pouvais partager les difficultes avec un autre, — ne mettait pas ces fautes en evidence. Comme I'exactitude pourtant est de premiere n^cessite pour ces Tables, j'ai pris le parti de faire moi-meme le calcul de cbaque formule, et 'ce travail, souvent assez penible, m'a fourni la liste buivante de corrections et d'observations criti- XVI P R ^ F A C E. ques: elle faillit plusieurs fois me d^courager de mon ouvrage, qui contenait encore tant de fau- tes, notammeut dans les quarantc-trois feuilles dejil imprim&s avant cette revision : toutefois je puis all^uer en ma faveur que pres de six-cents formules fuutives sont telles par suite d'une faute qui se trouvait dans uu r^sultat acquis par un autre. Mais en mSme temps jMtais contraint ^ present de me declarer k regard de la validity de certains rfeultats, d^ji iudiques ci-devant: je Tai fait en les pourvoyant d'un signe d'interro- gation ou en les notant comme fautives dans la liste mentionnee. Parmi les r^sultata que je n'ai pas revis&, se trouvent ceux qui dependent des facultes fk un nombre fractionnaire ou n(5gatif de termes de Mr. Oettingee, savoir a ' a~^l^, ainsi que les resultats de M. Lobatschewsky, con- sign& dans un Me'moire en langue Russe. Devetiter, Mars 1858. B. d. H. »*4 OBSERVATIONS ET CORRECTIONS, EN PARTIE CRITIQUES. Ad Page 22. Apres les chiffres de la Constante du Logarithme Integral ajoutez encore (apres avoir btA le dernier 1): 06065124, oh. les deux dernieres figures ne sont pas certaines: voyez Grunerts Archiv, Th. 29. S. 240. Quant aux 530 decimales de n, je les donne ici, non puisque on en fera usage dans le calcul, niais comme un exemple interessant de la perfection des methodes dans I'Analjse, qui nous permettent une telle exactitude sans exiger pour cela des travaux extraordinaires. J'insere un tableau des di verses recherches relatives &, cette constante, qui offre des donnees curieuses sur les progres de ces methodes dans le cours de vingt-et-un siecles : encore faut-il observer que les quelques decimales des siecles passes ont 4xig6 des calculs bien autrement longs et penibles, que les derniers re'sultats. Anneis. Calculateurs. DCc. calc. D4c. exacies. LMrature. 250(aJ.C.)ArclnmMe 1464 1580 1585 1579 1597 1619 1621 1717 Eegiomontanus Job. Rbeticus Adr. Metius Tr. Vieta Adr. Romanus Lud. van Ceulen Will. Snellius Abr. Sharp .... Machin 1719 de Lagny 1790 de Vega 1842 Rutherford . , . . (Anonyme) 1844 Dahse Clausen 1853 Shanks 1853 Richter 1854 Richter 1853 Rutherford 1855 Richter 1853 Shanks 75 12.8 141 208 205 853 2 3 8 8 11 16 32 34 72 100 114 136 152 154 200 256 318 330 400 440 500 530 Ad. Page 23, l^re Ligne, an lieu de: Archimedis, de dimensione circuli. Regiomontamts, de quadratura circuli adversus Nic. de Cusa. Rhelicus, Canon Doctrinae Triangulorum. Melius, Manuale Geometriae Practicae L. B. Vieta, Canon Mathem. s. ad Triangula. Par 1579. Romanus, In Archimedis Circ. Dimens. Exp. et Anal. Wiirzb. L. a Ceulen, De circulo et adscriptis. Ed. Snellius L. B. 1619. Snellius, Cyclometricus de circ. dimens. L. B. 1621. A. S (harp) Philomath, Geometry improv'd. Loud. 1717. Jones's, Synopsis Palmariorum. Mem. de Paris 1719, p. 155. N. Act. Petr. T. 9. Hist., p. 41. Phil. Trans. 1841. P. 2, p. 283. Manuscrit de la Bibliotheque Radclitfe a Oxford. Journ. V. Crelle, ^Bd. 27. S. 198. Astron. Naclir., N. 184. Proceed. Royal Society, Jan. 20. 1853, p. 273. Grunert's Archiv, Th. 21. S. 119. Grunert's Arch., Th. 22. S. 473 — corrig^. ib., Th. 23.S. 476, Proceed. Royal Society. Jan. 20. 1853, p. 273. Grunert's Arch., Th. 25. S. 472. Proceed. Royal Society. Jan. 20. 1853, p. 273. q -\- 2 lisez : q -{-1 WIS- EN NATUURK. VEBH. DER KONINKL. ARADEMIE. DEEL IV. ivm OBSERVATIONS ET CORRECTIONS EN PARTIE CRITIQUES. T. S. nil lien ilf : list! : r. N. au lieu de: iitn: J. 15. A-f c 6 + c— 1 9. 8. a+6/2 a+on 16. i — c— 1 b — c+1 10. 4 2a+4 1 13. 2i+l 26 + 3 19. = = — h 2. 2, 5. fautives? 2 10. 11. % 9/' 3. 2. — 1 26. = = (-1)' 1-/I 1..-1/1 11. 5 i 7. fautives? 11. 12. 4. (1— x)P (1 — x)^f (P + 2) 20. A fP + 1) — A 16. +1/3 + 31/3 19 i\ 22. fautives.^ 27. ' t 13. 2. (1— x') (!-«')* ia 4>a 3. (1— a;»)» (l-;r«) 4. 1. fiV 1 M" 9'. 1/3 1 VI I 2J a + 6 10. feutive? 14. 3. 6 — 1 1 -» 11. (l+;>)'' (1 +;.)•-» 5. (1 — ^'/) (l_jr?)pV. Sc-huhert I'J. a7(l-f a)/' aP(l -fa)? 6. (1— «") (partout) (I-^)- 17. -2: r(6)r(c-i) » /-ai 7, 8, 10, 11, 18 i\ 2 1 . fautives ? o\nJ r(c) o\ n/ 15. 13. fautive? 2.3. jr/' + .r-/' xP' + X--P' TT 7f 5. 2. l-f-.r 1— « ''•2i 1> a 27. - a+l 16. 5. «* — x'^ + <> 6 + 1 12. 1/ ( ) (partout) i/( r , . 1 1 17. 1, 2. feutives: la vale ur est 0. c. 1- + - ^ 4 4 18. 9. ne vaut qu'entrc a et ± cc. 3. a— 1 « + l 10. qr y 4 (L+«)'-' a? (V+")~« 11. {1 + xY i+a;" a'-9 19. (l + ar)2''+> ^ ^p2 (L+aOao , 7r;> 5. pni+pr //-(l+p)9 24. c — 6 c- + 6 + 1 8. a (partout) r 25. c— 6 + 2 c — 6 + 1 18.. 1 (-ly 26. b — c— 1 , pn i_c+ 1 , 7t 7. 5. — 19. 3, 4', 4". feulives; la valeur est 0. 1 11. x"" j; 6. Ik A 7» 12. fautive; elle est: 16. dm .rrf.c siTi' 9. 3. 6 6 18. ±9 ±^i 7. ^P+'vStn.'yT* qP Sin.pn 20. 9. ^- , a>6 f- , 2a + l>26 9. 1. 1— .t 1 — a:" 2a 2ac 2. "* 0+1/2 10. a<6 2a+ 1<26 8. [ip — l)''.—^ (22>—l)«->/2 !«-*+'/! 12. —X + « , Gr. 16. 94. T. 20. 21. 22. 25. N. 16. 17. 3. 8. 2, 4. 10. 9. 10. 12. 2(5. 8. 27. 12. 1. 6. 12. 15. 16. au lieu de: a-f-1 — x^ , 2 6 a+2 1 2« 11 a 13. fautives? b — 1 , — X ax 71 i T p TT. Cos. 2,n a = 2 (2/5— l)«+V-2 1 2 • OBSERVATIONS ET COREECTIONS EN PAETIE CRITIQUES.- XIX a+2 + a;^ , 4i.Gr.l6.94. a+ 1 2«+i = 2 — 7t i + ^ p n. Cosec. Zn (l_2p)a-l/-2l6-a-|-l/I b—1 19. i+' i+' 94, 25. ne valent qu'entre et 1. 28. 5. 6. P — fautive? P + 10. l- '/ l- P 11. p'^ X /)*' 22, 23. x*- a,6 29. 5. fautive, elle est 0, 7. fautive, die est n. 30. 4. 8, 9, 12. fautives? 18. 2 b c Cos. X 81. 6. 7. 4+c.l i+c+l 1 T. 31. 31. 35. 9. 19. 21. 22. 32. 5. -: ou lieu de: l'/,4-c-l 1 H-a;2 +ar^ {x — Vp (a; — l)P-i 23. fautives? — 2/>)'"'2 (2p— l)a/-2 1 b 2 12. 19. 2. elle est - p^l.O-c+i 1 — x^+x* {x-l)-P {x - 1)P (1 — 2/))''/2 ■ (2p— l)<«-l/-2ia-«+l/l i — 1 p?;r 36. 7. 19. 22. 23. 7. 8. 11. (l?/i)-' p. 2^9+1 p 1 elle est oo . 17. (?«")» 43. 16. 9 17. = 44. 2. a — 1 1+ 9 6. iautiveP 8. — il% 4- 2Z2 45. 6. fautire: a est 1. 18. ne vaut qu'entre et 1. 46. 16. =i = 2 17. Tang. Cot. 19. TgPx-\-CotPx,±-pn TgJ>'x-\-Cot.V'x,±-pn 4 2 T. N. au lieu de: 50. 14. -Sec. 51. L_i 2 9, 10. fautives? 11. =- 18. 21/3 Sin.ilx. Cot.t X Uttz : Cosec. 52. 18 47. 2, 3. 2o + 6-f 4. da; 21. Cos.'a: 48. 6 «Stn.* a; 2a-l-26 + dx Cos.* X Cos.^ X. Tang.Px 1 l + 35«n.»a?.Co«.»a) I — S Sin.* ar. Coa.^ x p. 92. (titre) mondme. binome. 49. 8. —I 19. dx 3. b 4. ± 2-- g 16 10. = 12. -Sin. I 2 16. — Sin x 19, 21. 4 24. Cos.ix 26. 1+P 28. qT{ig) 29. pn 50, 8, 9. dx +1 Tang.xd* 6 2 — a 5tn. ;i -j- 5tn. X 8 6 4. 1012 8, 9. i + 2 10 h. 12. Cos.x a + b 2 1. 2a — 6 5. 2a — 26 qn 16. — 1 = n 3l/3 25i7i.7+id;.(7o«.?-i« {(C'oa.^ar — Sin.^ x) 1 (Sm.P-1 X 5-2 (2a— 1;5— p» 2P+» 2a/2 6+1 o — 6 + 1 8, 12. 2 2 i — 2a 26— 2a 1 -pn 1-6 14. l*-» 58. 2. ne vaut que pour 6 = — 1. 3 ^ 7. ne valent que pour c = 0. 59. 7, 12 ^ 15. fautivea? 60. 2, 3. a (partout) air 4. 2 ?i + 1 2 n — 1 9. fautive. 61. 14. = •= — 62. 4, 5, 7, 8. fautives? 63. 1. qx 1 2. = - a 4. pre 4qx 1 OBSERVATIONS ET CORRECTIONS EN PARTIE CRITIQUES. XXI T. N. au lieu de: ^/scz ; r. ■ iV. au lieu de: lisez : 63. 8. p — 1 11. Cos.2x 8. Cos.Zx p-q Cos.-" 2 Cos.'Zx. X Cos.'^x 74. 2 2a , , , , . , :cestleco■ efBcient de tout le reste. 64. * h\^{a-\-h) 14. CosJ'+9-^x SinJP+i -lar aF ,< r 65. 10. 7 15.^ 3 E'( ', F( • Ki' Ki- 1 75. 20. 3— p* 1— p» 66. 4, 5, = T 2 24. +&n.U — Sin.n Cos.* X "■ 1- 21. 1 +a^ 22. 1 + «» 1 1 — 8 -1 + 1— a» V.T.23.N°.2. 76. 26. a — 6+- ^2 4 ' ' •p3'(l_p.)p 1 a — 64-1 1 1 1 p(l_p»)'l_p» p 1 67. 2, 3. 1-jo 4.-2)1 1+p V.T.31.N°.22. — 2 A — -Sin. A ^'? 1— p* 13. 7/)^ 5^ + 7 14, 15. 6jt)»9'- 3p4y^ 2p^3^ + 3 11. P--^ ^^l 68. 2. = 3. 2 = 2 3 IS. (p-t-^-l), 1(^+1) (p-9-l).l-^(p+y) 4. 1—3 26. Tang.Px 1 — 18. 5m. V 20. 4 2 27. 1-a, ) + x+1 l-q, ) + a 77. 1, 2. pour k = X) pour A = 30. 4 2 78. 3. 22a 22a+l 69. 70. 9. -XSinJ. 2 3, 4, 11 h. 14. X Sin. X fautives? — 1 4. —1 14. fautive: il y manque 15. {— 1)« + 1 ]e facteur: x. (-l)a-l 20. — Cos.^ X .(^os.^a; 79. 8. a*A a*-i/i 71. 3, 4, 7 a 10, 12 h. 14, 17. fautives? 82. 19. }3a+l }\2« 16. 2n + l 2n— 1 83. 1. = — = 18, 19. = 1 °^2 12, 13. ne valent qu'entre et -tt. 72. 1, 11. n»/2 2''2 14. Sin. 5m. » 6. 4 7. fautive. 13 h. 15. Cos.x 14. 25 + 1 3 Cos.^i X 1 84. 85. 15, 20. p" 25. Cos. 2c X 10, 11. = 24. )2a po-l /Sm.2c^ = 71 2pj 21, 23. 2 1/- 3 3i/3 30. 2 74. 1. F ( 86. 32. fautive, sa valeur est 5. =2 00. XXII OB-Kia AlIONS ET CORKECTIONS EN PAKTIE CRITIQUES. T. N. au li'tu de: lisez : r. A'. a\i lien de: lisez: 86. 13. E F 106. 5. 5^.2"+' X Sin.^"-^ X 14, 15. p^+q,p^—q p' + q'.p'-Q' 107. 17. l+5i«.V.,. r — . — -om.u 14. p^q p'-?' 13. ql^ 9*1/ Sin.u^ . fSin.o\ Sin.u.Sin.^X 87. 15. = = n Cos.X [Sin.uj -ZCos.X 88. 8. fautive, sa valeur esl - 0. I \ ■ ' 89. 10, 12. o — 1 15. 2na a+1 27r 21. Sin. n -\v>-p Sin. u 16. -= (/.i' = 108. 5. ~p,-ip 90. "•^ :i 1 Sin.' p 2 6. Sin. - p 2*^ 2S. - a T n 7t» 2 10. 9£. 12. = = "^ ~ 16 "" 16 93. 1. 6—2 i — 1 109. 3, 7 u 10. fautives: elles sont oo. ^ (a+b \ lb— a \ no. 2. fautive: elle est cc. '■ 2 -'Yi 2 — I J 3. n^ — 7r» \ / V / 2 ) \ 2 j 4. /^\ 4 /7l\ 2 "^ ' ,2J>-f-2»n \4J'/>4-2m— I \ 113. 1. 3 2 94. 2. ne vaut que pour a 4. fautive. cc. 6. 7, ne vaut qu'entre 12. fautives. Ct 00. 14. = = a d d 95. 5. ax jt-t; 11. da da' 6. 1 n 113. 8. a^ x^ 9. -^ = 2 9. e^ t— * 96. 1 h 6, 12, 14. fautives. a — bi 15. a -\- bi 97. 1 i\ 8. fautives. 17. ajoutez : lla.^be, Cr. 48. 160. 98. 6. = 7 tl 9. fautives. 114. 4. 5 = 2-° 99. 1^4. l^Sin ,l^Co8 5m. 1/ , Cos. \^ 115. 10. 6teze« 5, 6. fautives. 'll6. 1. fautive. 101. 1, 2. 7* H 5. 1 1 102. 1, 3, 5 i\ 13. fautives , 3 ~~ 3 104. 4. ZCoi^fi 2Co».',a 8. ^(—1)" a s 7^9. {Sin.i>,q) {5in. »<, q^) . \ / 10 ii 12. SinM Cos.2 A 9. a P 14. Sin. .u Sin. V 117. 3. 256 252 1 ]"ii Sn/a 4. 1680 240 105 3. Sin.* n i".* 4'>+l,/8 11, 12, H. 1 T. iV. au lieu dt 117. 19. .»» 23. 2a + 1 119. 1. j-2 2. e-^ — 2 3, 4. r (y) 8. e-'^ 8. 16 .5. e?^ 6. — e-?* 8. 3J+^)^ (e-?s_i)t'-(;'+i> 6—1 2 14. utez: c+1 135. 136. 16. 10, 12. 18. 19. 24, 28. 30. 31. 3. 4. 5. 10. 15. ajoutezr Feaux, Funct. Trause, + ■- je-x ax {' IT- — e-x 25. «(l-")jr 1 eiP^ qn 2p e,qx — g-5x fautive r dx f 1 TF-1-^ e(i— /')^ pq — qn ip xuv T. N. 186. 12. - an h'eu dt! OBSERVATIONS ET CORRECTIONS EN PARTIE CRITIQUES. littz! T. N. ou lieu de: dx a dx — ; liez les fractions par-j- . (1 — e— I)* dx e* — , Sec. (P + n) 18. dx 137. 1, 2. fautives. 8. dx 6. e'+,5ec.» 12. (p — n) 138. 4,7. ajoutez: Poisson, P. 20. 222, p<7i. 1 1 ~ 9. -a 4^ 12. dx 139. 8. c — n 10. (-9) 140. 11. 9» 13,14. = 15. xpl^ 1^18. +*}, 141. 16, 17. fautivos. 22. n 23. —n 24. e—' (partout) a-p, {a-\-b)-P 142. 8. 71 143. 4, 5. «s« n 5. «*, Tang.-— ' ^ 2a 8, 9. = an a-\-2 4 7 2da; c— n+l (-9)- 27T 271- oi-P , (a + 6)i-P 27r -iax e~', Tang, Tf 144. 15. 4. b a 2p lalX 26 an a-{- 2 a 26 1«-'A 145. 8. »» 9. e* 10. 9 + 1 12. 5in.p — 3. Sa valeur est -n*. 2 o«V» e-' V. T. 182. N°. 74 7-1 • Sin.pn -^ T. AT. o 145. 4, 8. = 6. ilq la/l 7. — 2a/2 9. 6 12. 24 13. 360 14. 720 15. 9+1 19. = lilW la-1/1 "o^ S 4 13 6 9-1 «2 2vr 146. 147. 148. 149. 150. 151, 152. 153. 21,22. e>",e-'>x,r"yan el^, €-9=^,(2 bn), qn oi\ 9* = a' 6^ •< 1, « arbitral re. 27. (2 7t)<'+l (2 7r)2a+l 3^5. 4p9 4!]^pq 4, 5. aS"/-! (a-|-n-l)2"/-i 12, 13. changez les conditions. 1, 5. fautives? 5. (— l)«.5:i ^{—1)" 8. 11. (— l)°.2:i 13. p + l,p + 3 15. { 1. fautive: sa valeur est oo. ,1 5, 6, 20. Ix l- %lq -Ip — I 1 9 P p + 2,p + 4 {- n6+l OBSERVATIONS ET COEEECTIONS EN PARTIE CRITIQUES. XXV T. N. «u lieu de: 153. 12. xP-l — aP-9 13. ~a:P+9 + :r;'+? 1 u. _ - . = 154. 8. =- = — 155. 9. 16S0 240 157. 4,10. 2 2 1 8, 9. «/' a— l/I n, 12. *i 6—1/1 /im .• 16.8. 3,9. x\x- , bn x1, X~1, [^bn) ,qn , ou5^=a-6-^ Sjw. ^ u , Tan \^ {Cos. a , 1 ang. 4 2 Sin. X (l—x^'Sin.^Xy- x{l—x^ Sin. ^ X) 168. 9. ^ ^ 1 dx idx {pn + l)l {pn-\--iri — I I ( — r ; elle ne vaut qu'enlre — 1 + 1- Sin."^ 11. 15. 20. r-4 169. 1. = — 3,4. q^-i-iuy 3. ^ 1 170. 171. 4. 6. 14. 15. 16. 3. 3. 5. 13. 2 1 2n— 2 ePiEi.(pq) l,l+pq l~pq 1 1 + — X lai Z' (partout) (1 — XP) 1<1 a—\ lU + 1 y^+,rfa;,r(a-i-6+p) 19. I (l-|-p-|-,)( l + g + r) (14-^:^^X1+9 + 5) i''+> uy- 2^ ! ;.^ 2n + 2 ePi Ei. (- -pq) Z:c,l — PI 1 + P5 1 xlx IT (1 - *•?) XP l{ P 1 dx a.' (1- -a;) a; Ix r(a-6 + r) r(i+p+ a)r(i+5+r) r(i+p+r)r(i+9+.) WIS- EN NATUDBK. VERH. DER KOiSlNUL. ARADEMIE. DEEL IV. \XVI OBSERVATIONS ET CORRECTIONS EN PARTIE CRITIQUES. T. iV. au lieu de: lisex : T. JV. aw lieu de: /I'jei; 171. 1 \ dx 26. X \ dx 177. 15. xq—\ a?-i 1 — l-x) U l — x) mix 19. i 1 172. 2, 7. fautives. 9 ^'^ qn X 2 a; • 2;, 4;> 1— «» 173. 1. dx xdx 21. ^-i a;P-» 2, 12. >0 7>p>0 1 179. 3. t1-p,p + 1 a:2-p ,p—l 8.-71 180. 5. IV B" 4 4jr 181. 16. Cot ici. Za; 9. 27 + 3,29 + 1 10. 1+;b^ 11. -^— /•? 2 7 + 3 TT , 2 7 + - l—x-' T 1S2. 17. n'est pas fl 2. {ity sa place 5. (^j;)^ l{x') 27r 2\2 j „ a a 14. 72 „» — 9»7l' 6. — 2p 26 . ,7. --■*-'-- - .T. 1.5. ^7 — Z7 + I — *» 1 + j:' 138. N^ 17. 19. = — 22, 27 q 18. l^TT 7TI/2 V.T.I 38. N" 18. 183. 8. 2 72a+l (2 7)2'»+> IT!. 2 , 3. fautives, 5. dx {\—x^)dx 10. dx = p -^- = Z7 13. 1 + J-? ^—x^ 14. (/7*) (/?)' 175. S). — a;2;' + — 2 x^P + \ 7 / 12. 1 — *' 1— a:9V.T.135.?f' 27. 17. p-q P" 1 — * I — a- 184. 5, 6. ;r*,a!-*. qit,an ^?, x-1,bn, qn 17c. 1. X 2 , oil 7* = «* i» 1 16. 1-7 iT'q 6. — TT 1 •n 185. 18. )/> (partout) 1. Ix y-P 1(1 -\-x) 8. {Ix') {ixy 2.i, 11. — ^ — n2 in 111. 6. Ix 2 }3, 14. 2np7» Mx V.T.138.N' 1 27. npit 18. 2 10. i + a 14. 2dx 1 a 2 OBSERVATIONS ET COERECTIONS EN PARTIE CRITIQUES. XXVII T. N. au lieu de: 187. 2. ^ 4, 13. U 1 8. -7t» — G 12. d.v 1 15. —-q 16. (iar)* 17. l/(2n+l) 188. 1, 14.- = 2{- l)"-! ix" ^7t»4-V T. 160.N'. 12 ^ 9, et T. 184, N'. 14 (7 c/ a; 1 a. ' 2 V ^ — _ _. V. T. 20, X a N-. 1. |^,'(2n+l)» T. 195. 197. 199. 200. 201. 202. 4, / / N. ou lieu de: lisezt 1 5 a 1 7 . Dans les conditions changez p en ^ et ^ en p. 20. 125 5. oii s = — p. 6. a — 1 5, 13, 14. fiiutives. M'-i-l-'^T k--"^) 3 — U-B 12. I '^- + *, 15. == dx 189. 2. — 10. — Z 11, 12. fautives. 13. q — px''- 18. [ixY 190. 4. \^{l%n-\- 1} 5.^{-} 6. -j-A S. i/(2« + l) ^3 — 1 ^5 _ a 1 ~ 2 da? «-" 18. p' (uumdrat.) 221. 1 a 4, 18 i 20. fautives. 7. 1 —pe'i^ 10. 2 9 15. Co^.rx 2, 13, 14, fautives, 2<, 7, 11. dx 8, 10. —e-^' 223. fitutive. 224. 16 i 23. fautives. 225. 3 ii 10, 32, 21, 26 u 33. fautives 16. 2 3 23. n'est pas feutive. 226. 5, 6. fautives. ? /. ~ "^^ 2 6 9, 10. saus restrictions pour «. 228. 2 a 6, 8 i 12. fautives, quoique Cauchy prdoiipe la differentiation. 229. 1. = — K) 5. 2 It -j. «-2oc 227. 4. +1/ r. 229. 230. au lieu de: 1 1, 7. l/27r liiu: 1 231. 232. 233. 234. ■235. 23G. 237. 23>H. 239. 9. 4l('+-i) «„ /2n— 1 1 \ 4 1 « /2n— 1 \ a I \ 4 / V/2 2ql^2q\ 2q 2\y%q l^ Zan 2 a 6, 8M2. fautives, quoique Cauchy ordonne la differeutiation. 7. Cos.^ -Stn> 4>, 7. r ± qi q ±ri 14. =^ ( = (- 19. 20. 3 2 3. 7. r ± 5 i q ±: ri 20. + 1 23. — 2 p. r + 2/)j; 24. a+ J 2a +1 2 il 4. fautives. 2 i\ 7, 1 il 1 3.1 fautives, quoique Cauchy ordoune 3 il 8, 11 ti, 14.j la differentiation. 1 2 1 . pour a 8. (1 9. dx 10. Cos.-" X 11. = 10. 4- 1 1 , 2. -1T/2 2 19. {1 — 2. +7, 4. {- l)2»-> 5. 2'''-2 7, 17. fautives; elles sent infinies. 15. +(_l)'>2a,2n— 1 } + J'(— l)" 2a, 2n 2/'-' P It 4p pour - a [Z V. T. 238. N'. 19. adx Tang. X — I -71 V. T. 267. W. 2. 4 (2- (-l)"-> 22m— 2 /I \>2 20. 2P-2 |r!-p )r y'M'e'ir 71 22. - P T. 240. iV. «u lieu lit: 4. (1 5. Co«.ni 7, 8. (2w)2'"+2 , oilc = g~i/(^> 14. 1/(1+5) OBSERVATIONS ET CORRECTIONS EN PARTIE CRITIQUES. ?'. iV. au lieu tie; 257. 6, - XXIX li$tZ! • (— 1)"-' Coa.nX !)• 1/(1+9') 241. 242. 243. 1 . ne vaut qu'entre lea limites et 2 t. 14. dx qdx 16. = = T, _ 7. 9 3 8. 3 1/3 1/3 6. ^-- 2 2 18. &n.» 1/2 Cos? Cot.x + p^Sin.x. Cos.x, - 244. 245. 246, 247. 249. 250. 251. 253. 255. 19. Sin.^x, = pi 13. a' a' 15. 9 V 12^(— 1)" 13. 7rg :i q ). 4. 2m— 1 2n+l 8. fautive. elle ne vaut que pour Coshp.X et Sin hp. I au lieu de Cos. X et de Sin. l. 9. = 2 = s 21.;;^-1+ l-p* + 5. ou a <^ 1. 24. p^ +p^ 2p'+P9 4, 6. ^/, 22, ne vaut qu'entre et oo. 23, fautive par suite de W. 22. 3, 4. a" pn 5 k 8. ne valent qu'entre et oo. 9, 10. ne valent que pour r = 1. 2. Sin? X. Siti.^ fx Sin.^ X.Sin.ii 8. 2Sin.\u(Cos.X 2 Sin.' ^i [Cos.x 258. 259. 260. 2G5. 267. 269. 271. 272. 277. 279. lisei : 14. 28. 1. 2. 5. 15. 28. 24. 1. 9. 2. 1 r 1 X X 71 (— D" (2n)2'«+2 4p xdx 2 Sin. ' X 1 -{-x 2p 2a+2 = 2 2p 2P+1 I" 22/>+l a;^ — 1 + - (2n+ l)2"'+2 4 dx* ZCos.^X l+ar» P 2a— 2 281. 11. 2 a— 2 282. i83. 286. 291. 293. 296. «' + («— 1)» p*-{-{n+ 1)» 4. 4 2 2. (--l)" (—1)"-' 13, 14. — s' + «*, 4. - 6. 17, 22. 1 1 2 Z<* otez u-^ TT, 23, 1 ~ 2 297, 6, — 1 7. gfg+ljzi+i 301. 15. = 23. 9V/', = tq\^ , = 2 XXX ORSERYATIONS ET COERECriONS EN TARTIE CRITIQUES. T. N. au lieu di SOS. 18. — X S06. 7. ■■ 8. 1 9. 2*)<» 307. 1. 309. 7. 4a 10. 1 2 12. y SIO. 12. «: + 311. 5. I Tang. 312. 10. 2a-|-2 11. 2a— 1 313. 5. :r 17. -{p + 9) 814. 2. 16 316. 9. 71 11. I 818. 10. Cot.i>x,:^ 319. 9. Sin. 320. 3* 10. 2 .a-* 18. rfx 20. 4 321. 16. / Tang. — ± 822. 22. fautive. 325. 1. 8 18. = 327. 2. dx S29. 15. I Tang, x Cot. 2 n 22. Sin. 331. 10. ^■l 12. Sin.p lists: + * 1 "" " 4 zxy~^ 1 4, a* 1 S )/>-! X I Cot. 2a + l 2o+l 7.» + (p + 9) 8 1 — I — Cot.Px,2 (2 T,)^" Sec. -Zxdx 2 ± 2ang. [~ <^j;/ Tang.x ICot.x Cos. n Sin..x T. *N. au lieu de: 833. 8. (?— l)a> 3SG. 5. 2p— 1, Ip 1 li$es .• 338. 6. 2 339. 14, 16. 340. 344. 345. 350. 352. 353. '362. 363. 369. 372. 15. 4 8. Sin.x 2 14. - 14, 71 5. &'n.?ar + 2. I Cos.x.d.c 7. )« 1 6. to^ , = 9. — Sin.x) 8. :.+ 1 7. --7I (7 + 1)^ P — l,2p 1 4 1 — 71 2 2 iSiw. ' X 2 ?» Sin.9 X — ( Sin. X. dx r-" Cos. , = 2 — Sn.''j) 77+.. 1 — T 8 ^'(l + a'— 2a,-F;-- ^'(l-|-6»_2t,n', 7. c 3. fautive. 3, 5. (Jo«.«+' 14. oil p = Sin.-X. 2. P9 + a — 20. (—1)"-' 22. ax 15, 10. nc valeiit pas, puisqiic T. 116. N'. 4 ne vaut plus pour 'y >■ 2. e9 — e— ? e9 — c— 7 22, 29. 4 2 el — e— 9 24, 25. {&i — e-9) 2 :399. 2 Ji 8, 10 ^ 16. fautives? 374. 375. 379. 388. 390. 396. (l+6)(ft_a') 2 + i ^ ('';— 7 a6 & Co.'." - ' pj + a— 1 (_ i)n V. T. 439. N°. 18. 2ajr Y.T.439.NM1. OBSERVATIONS ET CORRECTIONS EN PARTIE CRITIQUES. XXXI T. N. au lieu de: liaez: 408. 5, 9. p»< g»< 409. 5, 6, 12, 13. p* < g^ < 9. +(eP'r — (eP'r 11. + (eP'^ 4- (— eP'^ 13. = ==1 410. 6. = = — 411. 10. 418 1— p» 9. 1 — 1/(1 -p') 1 + 422. N. au lieu de: dx lisez : X 11. + 84. -= 2 1— a,'^ 1 1 2 423. 24. changez i/(l_ii.'2) et (I — ar*). 30. x-' CosM X- Sin.^X '439. 15. p7r(partout) px TABLES DINTEGRALES DEPINIES PAR J). BIEREKS DE HAJN. *M\. Ki*"^^ WIS- KM IHATDL'RK. VERB. -DER KOMNKL. AKADEMIE. BEEL IV. DIVISION DES TABLES. PARTIE PREMIERE: COMIEA'T LES INTEGHALES DES FONCTIONS A AROUiMENT u't'^E SEULE FONCTION. I. r. Alg^briques T. 1 a 35. II. P. Exponentielles T. 86 a 41. III. F. Logarithmes T. 42 a 45. IV. F. Circulaires Directes T. 46 a 107. V. F. Circulaires Inverses T. 108 a 110. "VI. Autres Fonctions T. 111. PARTIE DEUXIExME: COJiTIEXT LES INTEGRALES DES FONCTIONS A ARGUMENT DE DEUX FONCTIONS. Algebriques et Exponentielles T. 112 a 150. Algebriques et Logarithines T. 151 a 191. Algebriques et Circulaires Directes T. 192 a 255. Algebriques et Circulaires Inverses T. 256 a 271- Algebriques et Autres Fonctions T. 272. Exponentielles et Logarithmes T. 273 a 277. Exponentielles et Circulaires Directes T. 278 a 298. Exponentielles et Circulaires Inverses T. 299. Exponentielles et Autres Fonctions T. 300. Logarithmes et Circulaires Directes T. 301 a 365. Logarithmes et Circulaires Inverses T. 366. Logarithmes ct Autres Fonctions T. 367. Circulaires Directes ct Circulaires Inverses T. 368 a 374. Circulaires Directes et Autres Fonctions T. 375. PARTIE TROISIEME; CONTIE.NT LES INTEGRALES DES FONCTIONS A ARGUMENT DE TLUSIEURS FONCTIONS. VIL F. VTII. F. IX. F. X. F. XL P. XII. F. XIII. F. XIV. F, XV. F. XVL F. XVII. F. XVIIL F. XIX. F. XX. F. XXL F. XXII. F. XXIIL F. XXIV. F, XXV. F. XXVL- F. XXVII. F. XXVIII. F. XXIX. F. XXX. F. XXX L F. XXXII. F. XXXIIT. F. XXXIV. F. XXXV. F. Algebriques et Exponentielles et Logarithmes . . . Algebriques et Exponentielles et Circulaires Directes Algebriques et Exponentielles et Circulaires Inverses Algebriques et Exponentielles et Autres Fonctions . Algebriques et Logarithmes et Circulaires Directes . Algebriques et Logarithmes et Circulaires Inverses . Algebriques et Logarithmes et Autres Fonctions . . Algebriques et Circulaires Directes et Circulaires Inverses Algebriques et Circulaires Directes et Autres Fonctions Exponentielles et Logarithmes et Circulaires Directes . Exponentielles et Circulaires Directes et Circulaires Inverses Exponentielles et Circulaires Directes et Autres Fonctions Logarithmes et Circulaires Directes et Circulaires Inverses Logarithmes et Circulaires Directes et Autres Fonctions Algebriques et plusieurs Fonctions T. 376 a 388. T. 384 a 400. T. 401. T. 402. T. 403 a 421. T. 422 a 427. T. 428. T. 429 a 434. T. 435. T. 436 a 440. T. 441. T. 442. T. 443. T. 444. T. 445 a 447. 1* 00 SOMMAIRE DES TABLES. I. PARTIE PREMIERE. FONCTIONS ALGEBRIQUES. T. 1 a 35. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 2'0. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 1. F. Alg. rat. ent Lira. et 1 // // // // // // // // // // // // // // // // // c // // // // // // // fract. a d^n. monome // 1/ M a -\- b af // // // (a + hafi)'i (a + bafiYafi (a + bafiY{a + b' x'=Y '>^' trinome // compose . . . . // irrat. ent. S. fact. (1 — x)^ et (1 — x^ )« . . ,/ // // // // (1 — x^f ...... // /•/ fract. ti d^n. monome (1 ± xY et (1 ± x"")" . . (I — afl)^ pour a special // // // general . compose avec fact, monome . // sans // // // // // // // // // '/ // // // // // // // // // // Lim. — 1 . Lim. // rat. fract. ^ den. a;" et (1 ± a;)" // \ -\- x"' pour a special // // // V g^n^ral // a (1 ± x^Y " // h. fact, monome et binomes // // // // binomes (1 ± xY " // // // » (1 ^ ^")* " // trinome " It autre d^n. polynome » II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II et + 1 et CO '/ // // // // » II II II II II II II II II II II u II II II II II II Page 5. SOMMAIRE DES TABLES. 27. F. Alg. irrat. fract. h. d4n. binfime Lira. et oo 28. " " " n II autre den u » » u 29. * '/ rat. " // den. 1 ± j:" Lim. — oo et x 30. » /' K II * autre d^n // " » » 81. I' II H n Lim. 1 et =0 32. n 11 irrat. // * nun 33. // " ent Lim. et ;> 34. * '/ fract « nun 35. UK Lim. diverses II. FONCTIONS EXPONENTIELLES. T. 50 a 41. 36. r. Expon. Forme e^" Lim. et 00 37. '/ * . Autre forme ent u n n n 38. » « . Forme fract. tl d^n. biuome n n n n 39. n n . H H n n polynome n ^ n n ti 40. II n Lim. — 00 et 00 41. // * Lim. diverses III. ForrcTiONS logarithmiques. T. 4'i a 45. 42. F. Logar. Forme rat. ent Lira. et 1 43. H n . II H fract '/ u n n 44. '/ '/ . // irrat '/ nun 45. * * Lim. diverses IV. ForrcTiorfs circulaires directes. T. 46 a 107. 46. F. Circ. Dir. rat. ent Lira. et - 4 47. n H n H fract. \ d^n. raon6me n n » n 48. " '/ // // // // n binome k n h h 49. /' n n n H n n COmpOSe? ii m » it 50. '/ » // irrat. nun d'un fact, monome h n a n 51. » » n // // n u de deux fact, monomes h n » u 52. '/ // // .1 n n H \ fact, binomes » n n n 53. II n » rat. ent. i\ un fact Lim. et - 54. " n n in. Fact. Sin. "x et un autre , i> » n ir Page 6. 55. F. Circ. Di] 56. >/ II // 57. // II // 58. // II ff 59. // II II 60. // II II 61. // II 11 62. // II II 63. // II If 64. // II If 65. // II II 66. // II If 67. // II II 68. H II If 69. II II If 70. II II II 71. II II II 72. II n II 73. II II II 74. It II II 75. II H II 76. II II II 77. n II II 78. II II II 79. 1/ H If 80. II It It 81. II If If 82. II II ft 83. II II tt 84. II ff ff 85. II ft ff 86. If ff 11 87. If If 88. II If ft 89. II If tt Page 7. SOMMAIRE DES TABLES. rat. ent. Fact. Cos. "x et un autre Lim, * '/ . Produit de deux puissances ft II II . Trois fact. Sin. ou Cos // '/ " . Fact, tg "x et autres // // // comp. tk arg. tgx // // // /' // autre arg. mon&me // * '/ // // arg. bin6rae // / fract. ^ num. monome et d^n. Sin. "x , Cos. "x. . u If II It If tt ft autre d^n. monome . . // " " '/ '/ binome et den. monome " // '/ // ddn. u de 1^'^ degr6 '/ " " // // 1 de plus haut degr^ ... « '/ // '/ // puissance de binomes // // * '/ '/ produit de monome et binomes . . // " * It It trinome // " /' compos, a arg. tgx // " // // // autre arg // irrat. ent // // fract. h, d^n. monome // " " " // binome du l^r degr^ // " // // // // du 2'! // // " " " 'I produit de monome et binomes . . // '■' " composee // rat. ent. monome Lim. It If trinome // '/ // composee w ff fract. ^ d^n. monome it " " " ff binome de l^i" degr^ // '/ " // // // // 2^ // // * '/ // * h. un fact, trinfime // " " " " It ft It It et autres ... // irrat. // „ rat. ent \ . . . . Lim. // fract. fl d^n. monome et binome // '■-' " " ft trinome ^ Cos // Tt et - 2 // // // // // // // // // // // '/ // '/ '/ // // // // // If // // It // // It // // II // // It // // It // // If // 11 If It II It It II It II It It et n It It It It It It It II It It It II It It It It It It It It It It It It et 2 \n // // It // '/ K SOMMAIKE DES TABLES. 90. 91. 92. 93. 94. 95. 96. 97. 98. 99. 100. 101. 102. 103. 104. 105. 106. 107. F. Circ. Dir. rat. fract. il den. trin6rae a Sin. et Cos Lira. et 2n irrat. // fract. Lim. - et - 4 2 ■T n Lim. et - 2 2 Lira, pn et qn Lim. et 1 rat. ent. ^ un fact Lim. et oo w » n plusienrs fact v n n h n de forme fract n i> n u irrat. n h n » rat. ent. a an fact Lim. — oo et x '/ // // deux fact " " // * lOS. 109. 110. // n n Lim. — et 30 2 /' // Lim. et p /' // irrat. fract Lira. et i // // // ent. Lim. X et u, II II II fract. \ d(?n. rat // » n u II ' II II II II II irrat " nun V. FONCTTONS CIRCIILAIRES INVERSES. T. 108 A HO. r. Circ. Inv Lim. et 1 // // // Lim. et 00 // // * Lim. diverses VI. DIVERSES FONCTIONS. T. IH. 111. r. diverses Lim. diverse* PARTIE DEUXIEME. VII. FONCTIONS ALGEBRIQUES ET EXPONENTIELLES. T. 112 a 150. 112. F. Alg. et Expon Lira. et I 113. * n rat. ent. * // monfime e<" Lim. et oo 114. * » # w n II n e"** pour 6 special . 115. » m a K g » a Page S. " // go'u^ra! // tl II H I' II II I, 116. P. Alg. 117. // ff IIS. // ff 119. ." fi 120. // ft m. // H 1-Z2. // ff 123. // ff 124. // ft 125. // ft 126. // tf 127. // ff 128. // ff 129. // ff 130. ff ff 131. ft ft 132. 11 ff 133. // tf 134. // ft 135 // ff 136. // ff 137. // f 138. // ff 139. // /' 140. // // 141. // ft 142. // ft 143. // ff 144. // ff 145. // ff 146. // ff 147. // H 148. // ff 149. // ff 150. // ff SOMMAIRE DES TABLES. rat. ent. et Expon. monome d'autre forme Lim. et » " " monome // '/ bin. e"^ ± 1 en d^n. Num. alg. . . * // // // // // // // // // // // // . // . // et exp. . " " '/ " II II II H II // (go^d:: 1)* en d^n n n n n II II II II II II e"x±:e—ax „ // . Num. alg. . . n n n II II II II II II II II 1/ II . II II et exp. '/ " (/ " // // // // // // (e«^±e~"^)* II II II II II II binome * // // en ddn n u u n II II , II II polyn. end^n. Num. alg n n » n II II II II II II II , // // et exp. . . // '/ '/ II II fract. ^ den monome // // monome en num n n n » II II II II afl pour a sp&. » // polyu. // // n n n n II II II II II II II g^n^r. " // // II II II II II II II II II II x d: q II II monome n n n n II II II II x^ db o* II II II II II II II II II II II (x''dzq'^)^ II II II II II II II II II II autre den. // // " » » » » II II II den. prod, de poljn. // // // n v » n II II II II X II II bin. e^^i 1 en den,&,un terme . . // // // /' " " '/ " monome // » // // // // // plus, termes . . // // // // " " " '/ // // // // e°^± e— o^en den n n n n II II II II II II II trinome en den n n n n II II II II bin6me // // binome // // n n n n irrat. ent. // // n n n n II fract. // II II II II II rat. ent. // // sous forme irrat n n n n II II II 11 monome Lim. — ooetx /' '/ X II II binome en den // n n » II II II II II polynome en den // nun II II X II II II II II // // // // // fract. // // den. &, fact, jr" " nun " " // // // sans fact. X"- " n n n irrat. // // „ n n n n n Lim. div. Oetp // // Lim.div.pet±oo Page 9. WIS- EN NATUURK. VERH DEU KO.MNKL. AKADEMIE. DEEL IV. SOMMAIRE DES TABLES. VIII. FONCTIONS ALGEBRIQUES ET LOGARITHMES. T. 151 a 191. .en num Lim. et 151. F. Alg. rat. ent. et Lo 152. « " » fract ^ d^n. mon. ou bin. 1 ff 153. t H » II If autre d^n. It II 154. * ft » n If d^n. binome u 155. - rt n » H II tf M 158. » H H n II II trin6me » 157. " ft II II " " bin. x±h It 158. « n II II 1 autre d^n. bin6me If If 159. '/ ti II II " den. trin6me » u 160. • H n n II tl 161. « n » II M 162. r. '/ irrat. ent. It 163. » ff '/ fract. It tl 164. >. ft // tf H tt 165. » It ft tt It 166. » tr tt ft II 167. " ft rat. ent. V u 168. » tt ft ft « tt 169. » tf It II 11 tl 170. » It '1 fract. k den. mondme II 171. » ft • II II " " 1 db a? a It 172. n tt If It '/ '/ 1 ± iC" It 173. -r tt It n // II ft 174. « If II » II '1 trindme fl II 175. « U II II // // prod, de fact. II U 176. " tt If If II It II II II II II 177. « tt irrat. » It II 178. « tt rat. 179. " It // fract. k d^n. ifi II tt 180. -r tt II If II It bindme II 181. » tt It II // It II It " 182. » tt H II It 1 (a±a;*)« II 183. // tt H n '/ autre d^n. II II 184. » ft II It '/ II It 1 185. " tt irrat. » Page 10. 1 II Ix " {Ix)"^, \^xY ' [ix)\ (ixy, (ix)\ {ixy. « (Ix)" pour a special . . g^n^ral " de forme div. h. un fact. " deux « Ix » {IxY " de fonct. ent. . . 1 II * fract. den. Ix .....' „ {Ix)" /, de forme a ± llx)^ Ix (lx)'> de forme 1 ± {lx)'> Ix . . . d'autre forme. sous forme irrat. {lx)o . . . d'autre forme Ix . . . . d'autre forme fl II II * » U r * f 1 II II II n n H II » Lim. et oo u II ' SOMMAIRE DES TABLES. 186. F. Alg. 187. 188. 189. 190. 191. IX. 192. F. Alg. 193. " " 194. ,1 II 195. . II 196. // .1 197. „ I, X y O , rf n 199. K I, 200. . 11 201. „ „ 202. ,1 ,1 203. 11 II 204. " II 205. u II 206. " „ 207. " I' 208. I' " 209. " // 210. // II 211. II II 212. " „ 213. " '' 214. II " 215. " " 216. ' " 217. " V 218. " " 219. " ' 220. ,. " Page 11. etLog. de fonct. irrat. " ' de Log. . Lira. et 00 . Lim. 1 et 00 .Lim.div.Oetp . " „ pei q . Lim. et 1 .Lim.Oouletoo FONCTIONS ALGEBRIQUES ET CIRCDLAIRES DIRECTES. T. 192 a etCirc.Dir rat. ent. // fract. ^ den. x a;<^ pour a special ■ gener. " a±:x II I, Iztil'^ // a* + x^ " " a^x'' „ » (a ± a;*)<= „ // binome ,/ // trindme // " quadrinome ♦ I, prod.d.mon.etbin. " " " " jwlynomes , II X I' II 1 4- .^•* // " 1 -f- a-^ " " a}> -^ xb II II (a* — a;*).T " " X II II binome ,i en num.d'uu fact, monome . . . II II de fact. diff. monomes. /' '/ polynome II ,1 mouome d'un fact. . . . " " de fact. diff. . . I I- polynome // // monome d'un fact. Sin.^x. " •' II II II Cos fix " " " de fact. diff. . . 255. Lim. et 1 Lim. et oo // // // // II I' a une fonct. * plus. " mondrae . " " II 1/ // " ti If e II II •1 If II II If tf II It It 1/ II II If fr II II M 11 1/ n II It II If It // // // // // // // // II " It It It If It If II If de'n monome Cos, x (Val. pr.) It ff II » // Sin, a; " // • II '1 II If It 'f Cos. X It // . It If It II II It It // . If If II If H II II /' . It 'f It It If trinome . , , . II II // a -}- bCos.x -j - c . " If It %* < SOMMAIKE DES TABLES. 221. F. Alg. rat. fract. & A6a. binfime etCirc.Dir.eu num. trin5rae a — b Cos. .t -\- c. Lim. et od 222. , » » » , » polyn6tne »» »» ' ' »/>.»» 223. » » irrat ent. ' ' " »»//» 224. , , ' fract. ^ d^n. i/a; » * ' en num.monome^ unfact.circ. dear " n „ • 225. » » » » » , a:!<»^/a; »» »'» ■' '»»»«','' »„»„ 226. m • » » » # monome "//#»<' //a- deax ' ' « n " " * » 227. »'•»»•* » »»»•» bin6me * » » » 1 228. »»»»»» r »,/////» circ. de X . . . . « » » " X 229. ' ' ' It I, n ,1 d'autre forme ... ' fur 235. . ' fract. » , „ Sin. x Lim, 1 et oo 236. • ' It Cos. X " It It n n 237. » rat. ent. * » , en d^n Lim. et r 4 238. ' ' II ent liim. et — 2 239. ,000 ,1 &a. d^n. mondme c /. »■ * 240. • • • ' ,1 ¥ r bin6me u i, ,t 241. 0*00 <• f a d'autre forme .... n n n n n 258. " " /' " " " polynome " " // » " a un fact //«//// 259. /' " * ,/ // « n " '/ // '/ '/ H plus. //....•. II n I' II 260. // " " If « „ prod, de fact. " " ////// n » » ,f 261. /. " irrat. " «//////// •...//''// /■ 262. « ,, fract. » » " d'autre forme n u „ n 263. '' ■' rat. ent. " " '/ de ;C Lira. et =* 264. » /' fract. S, ddn. raonome " " u u u » r n h 265. /' » » II II « binome // // nun //////// 266. " /' " // " " x{q'^ +^*) " " " '/ * /////'//' 267. ' // " II " " prod.de binoraes n h huh n n n n 268. » ' irrat. // // nun n n n n 269. » " fract. " " " d'autre forme n n n » 270. » " <• ////// Lim. 1 et ao 271. /' '/ // n ■! n Lim. diverses XL FONCTIOIVS ALGEBRIQUES ET AUTRES FONCTIOWS. T. 272. 272. 1\ Ak. et autres fonctions Lira, diverses XII. FONCTIOIVS EXPONEWTIELLES ET LOGARITHMES. T. 273 a 277. 273. F. Expon. et Log.. Ponct. ent Lira. et x 274. „ " polynorae en d^n. /' '/ en num. Ix . . ////*// 275. „ „ , I, I, II II n n l{p'^ dz .t'^) " " " " 276. „ '' " " \i\Ta. — oc et =c 277. /' „ n n Lira, diverses XIII. FONCTIONS EXPONEHTIELLES ET CIRCULAIRES DIRECTES. T. 278 a 298. 378. F. Expon. eicax etCirc. Dir.ent. 4 un fact Lim. et oc 279. I, " „ n n n n n n n n 280. // // e-"^* " " " " II n „ n 281. " " en d^n. binome kexp.e±<'^ " " " en num n « u n 282. // I, » u II „ I II etennum.ff " n n n n n n n 283. " // " num. e-^''' " ' " " den. trinome //////// 284. " '' e^"^ ou £±0^^ " " " d'autre forme n n n n Page 13. SOMMAIRE DES TABLES. 285. F. Expon d'autre forme 286. « M 287. » » «±0' 288. » u Ji exp. circ. dir. 289. n H H H ti II 290. « » n II 291. /- U 1 292. " u en d6n. polynArae 293. » 294. " H num. 295. " N 296. " 297. /' 1* 298. /' II et Circ. Dir Lim. et oo H ent Lim. — txs et oc ft tt tt ijim et « tt tt ft u n // tt tt tt N " en d^n. Sin, %x * tt tt ft " tt /' / * a uneautre fonct. inonome // It tt ti U tt tt tt tt * plus. * ff ... /' It n tt M tt /' " num. " ft ft »f If ft ft ft d^n. ........ '/ tt II tt tt tt // /' // trin&me '/ ft tt It tt tt // de forme irrat // ft II It m ft tt // . , Lim. et 7r M // . , , , Lim. — 2 «* 2 tt ft // Lim. diverse XIV. FONCTIONS EXPONENTIEILES ET CIRCULAIRES INVERSES. T. 299. 899. F. Expon. et Circ. Inv Lim. et ao XV. FONCTIOIVS EXPONEmiELLES ET AVTRES FONCTIONS. T. 300. 300. F. Expon. et autres Fonctions Lim. et oo XVI. FONCTIONS LOGARITHMES ET CIRCIILAIRES BIRECTES. T. 301 a 305. 301, F. Log. etCir 302. II // // 303. deCirc Dir .ennum . {I Sin. ax)'' // // 304. W ft " It 11 {I Cos. ax)'' // II 305. " tt tt tt It It It (Itg.aw)'' It 306. " u II n It ft i» n n 307. II II It II It It tt I Sin. ax, I Cos. ax II II 308. " It tt ti II It tt {lSin.ax)'>,)lCos.axy II II 309. " n It II tt n I tg.ax U It 810. ' „ .. tt II ft It (l tg.ax)'' 311. " H tt 19 " ft tt I tg.ax // 312. II n It II It ft tt [1 tg.ax)'' // // 313. " It It It ft tt ft I tg.ax a II 311. " II ft If If It ft {I tg.axf a a II ent. II d'autre forme " rat. en d^n. mon&me tt If It tt tt n tt tt tt // // // It tt II II II II bin6me // // // // // " " II II )>. fact. men. et bin. U U H tt It 0, Lim. et Lim. et 1 Lim. et 00 n 4 // // // // // /I If ft tt I' If II tl 11 It If 11 ft tl tt It tt tl It ft ft tl tt It II If tt ft It tt tl It tl 11 tl II tt ft tl Page 11.. SOMMAIRE DES TABLES. 31 5. r. Log. deCirc.Dir. en num.l Ig G+') et Circ. Dir. rat. en d^n T 316. 317. 318. 319. 320. 321. 322. 323. 324. 325. 326. 327. 328. 329. 330. 331. 332. 333. 334. 335. 336. 337. 338. 339. 340. 341. 342. 343. 344. 345. 346. 347. 348. 349. 350. // // If If II II I) II II II II II II II II II II II d'autreformeiiunfact.w '/ // a deux fact. " // // Log. de Log. « '/ // [Itg.xY " II V d'autre forme h II d^n.fonct. monSme " // // '/ // // // // // // // // // // binome " // // // // // // // // // // // // // // // H II II '/ // // // // // // // // // // // // // " SOUS forme irrat. /' de Circ. Dir. // It II II en num. ISin.x I Cos. X II II II en den. irrat. . . . // II II II . . , II ent " en d^n. monome . . // // // d'autre forme // ent // end^n.rat. monome // '/ // irrat. '/ // // // // composee // d'autre forme '/ ent I. // .^xAdSin.x^ilCos.xii n n n . . . {Jitg.x)"' » II II II . . . et Circ. Dir.. Log. de Circ. Dir. d'autre forme sans fact. circ. // // n II II II II II II avec en num. (ISinx)^ II II {I Cos. x)" II II (I tg.x)" II II d"antres fonct. ent. /' '/ de fonct. fract. // '/ . Produits '/ '/ de circ. monome // // // // binome et Circ. Dir. rat. en den. monome // n II II II II II II II II II u II II n II II II II II n II II II II II II II II II binome // // // de circ. monome // // // II II polynome // sous forme irrat. '/ end^n. monome // // // // // puiss. de binome. . // // // // // i fact. bin. et autre. // // // // // trin6me . . . . n II de forme irrat // II II II II m. et m. et It II II II II II II II II II II II II I) II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II If II n H II II II II II II II II II II II II II II II n If II II II » Page 15. SOMMMRE DES TABLES. et Circ. Dir. ■Jol. F. Log. en d^n.bin6me q ± {ISin.xV 352. r, „ n » d'autre forme bin6me » n "iSS. » If et Circ. Dir.. Log. de Circ. Dir. sans fact. circ. 354. m » » ' . » » ' 355. .f ■' de * * 356. » 357. a // {.lig-x) 35 S. » {Itgje)'^ pour a special 359. ' a ' » ' general 360. f * en d^n. 361. » m 362. m M 363. if m 364. 365. V It * ^vec * etCirc. Dir. fract 7r Lim. et - 2 » // II II Lim. et TT ' ' • K n t ' „ Lim. et 2;r n It Lim. ^et^- ff n » 1 Lira. et pn Lim. et ^ TT Lim. ^ et 2 Lim. X et fx Lim. di verses T. 366. Lim. et 1 XVII. FOlYCTIOiy.S LOGAKITHMES Et CIRCULAIRES INVERSES. 366. F. Log. etCirc.Inv XVIII. FOIXCTIONS LOGARITUMES ET AVTRES FOlVCTIOTfS. T. 567. 367. F. Log. , et autres Fonctions Lim. diverses XIX. FONCTIONS CIRCULAIRES DIRECTES ET CIRCULAIRES INVERSES. T. 368 a 374. 368. F. Giro. Dir. ent. 369. ' ff fract. 370. ' # w ent. 371. - " fract. ^ A€n. mondme 372. . V r , ' polyn6me 373. ' F w 374. ' 1 n et Circ. Inv Lim. et g- Lim. et 5r " II " ' It II H II Lim. et lit Lim. diverses XX. FONCTIONS CIRCULAIRES DIRECTES ET AUTRES FONCTIONS. T. 375. 375. F. Circ. Dir. et autres Fonctions Lim. diverser Page 16. SOMMAIRE DES TABLES. PARTIE TROISIEME: XXI. FONCTIONS ALGEBRIQUES ET EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES. T. 376 a 383. et Expon. monome 376. F. Alg. eut. 377. V It tf 378. ft ff fract. 379. tf ff 1/ 380. ff ff rat. 381. // ft irrat. 382. // tf 383. // tf et Log. Lim. et 1 ' " Lim. et 00 fract. ^ d^n. monome et binome // puiss. de biuome en den. polynome u fl II II II II II II II n II II tf II II II If It II II Lim. — 00 et 00 1/ •1 Lim. diverses XXII. FONCTIONS ALGEBRIQUES ET EXPONENTIELLES ET CIRCULAIRES DIRECTES. T. 384 a 400. 384. F.Alg. rat.ent. 385. // // // '/ a;" pour a special 386. '/ // /' /' 387. " " " " •388. '/ // '/ // 389. '/ " // '/ et Expon. et Giro. Dir. g±P^ " '/ g^n^ral /' monome // // n polynome 390. // f ff ft // 391. // ff ff ff // 392. // ff ff fract. k d^n. x // 393. ff ff ff ff ff ft ff // 394. ff ft ff ft tf ff x^ ft 395. ft 11 ff „ ,f „ x'^ +a^ ff 396. ff ff ff ff ft 397. If ff irrat. ent. ff 398. ft ff tf fract. ^ d^n. \/x ff 399. ff ff tf ff a autre d^n. ff 400. ft ff ft ft e-^'^ // // ff e—axi // // ff d'autre forme // // ff en d^n. binome // // ff monome // // ff // // ff en num. // // ff // // // // tf en ddn. polyn. // // ff // // ff // // // monome // (P.polyn.ennum n Lim. et -7 4 Lim. et oc // /' // II II II II II II II II II II II II II ij II II II It II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II n n II II II II II II II II II Lim. diverses. XXUI. FONCTIONS ALGEBRIQUES ET EXPONENTIELLES ET CIRCULAIRES INVERSES. T. 401. 401. F.Alg. et Expon. etCirc.Inv Lim. et x XXIV. FONCTIONS ALGEBRIQUES ET EXPONENTIELLES ET AUTRES. T. 402. 402. F.Alg. et Expon. et autres Fonct Lim. et oo Page 17. • 3 WIS- EN NATUURK. VERB. DER KONINKL. AKABEMIE. DEEL IV". SOiMMAlRE DES TABLES. XXV. FONCTIONS ALGEBRIQITES ET LOGARITHnES ET CIRCULAIRES DIRECTES T. 405 421 403. F. Alg .rat ent. et Log etCirc.Dir.de Log. . . . Lira. et 1 404. « // »t fract. il den. binoine " ff // // // ff n . . // '/ // fl 405. " " H // " autre den. " If // / // II II . , fl ft ff ff 406. " ft It // 1 en den. L V // // // 11 n . . ff ft ff ff 407. " V ff f/ H // // J Ix // // fl II II . . tf ff ff fl 408. » » ff fract " fl 11 II (]^ +{ixr- // // 11 tl II . . . tf ft If tl 409. * ff irrat » ft y If II II ff If // // fl fl If . . . ff ft tl ff 410. » ff rat. eni. II II de // If 1 . Lim. et , 4 411. » tf ff '/ II fl II // // . Lim. et ^ 412. » If ft fract II fl fl // f. Den.j;» + (ZCo«. x)* // '/ " " 41.3. » tP If ent. II fl n If '/ . , • * > . Lira. et TT 414. // ff If fractilKien.a;<» " If et // " • . • . . . Lim. et 00 415. /' f " // II II b'* +a;* // fl de // // raon6me . . . II II It tl 416. /' '/ tf // HUH 11 ff II // ff polynome If tl It t> 417. » ff n tr II II II ft 'f lax et " n • . . . . ft tl ft II 418. " ff If 1/ n n b'+X" II ff II II // ft ft ft ft 419. » ff If " II autre d^n. // fl fl fl // ..... ft It 11 ft 420. " ff II » n fl " // // Lim. — 00 et X 421. * ft fl II II // // // . Lim. diverses XXVI. FONCTIONS ALGEBRIQUES ET L06ARITHMES ET CIRCOLAIRES INVERSES. T. 422—427. 422. F. Alg. rat. et Log. en nam. et Giro. Inv . Lim. et 1 423. n ff irrat. » » n h h n h // // // u 424. It i> It ft ft d^n. // // // ■ tl It It '» 425. '/ '/ ■ » u ft It It Lim. et oc 426. // // 427. •> » ft ft tl It It It ft It ft Lim. 1 et oo // Lim. diverses. XXVII. FONCTIONS ALGEBRIQUES ET L0GARITH9IES ET AUTRES. T. 428. 428. F. Alg. et Log. et autres Fonct Lim. diverses. XXVIII. FONCTIONS ALGEBRIQUES ET CIRCDLAIRES DIRECTES ET CIRCULAIRES INVERSES. T. 429—434. 429. F.Alg. 430. i> » Page 18, et Circ. Dir. et Circ. Inv Lim. et -„ // // // Lim. et -t 4:31. F. Alg. rat. fract. 432. // // irrat. " h. den. binome 433. // // // // // autre den. 434. /' // SOMMAIRE DES TABLES et Circ. Dir. // // etCirc. Inv Lim. et oo II II II II II II II II II II II II II II II II II Lim. di verses. XXIX. FONCTIONS ALGEBRIQUES ET CIKCIILAIRES DIRECTES ET AUTRES. T. 435. 435. P. Alg. et Circ. Dir. et autresFonct Lim. et oo XXX. FONCTIOjVS EXPONENTIELLES ET LOGARITHBIES ET CIRCULAIRES DIRECTES. T. 436- -440. 436. Y. E xpon. monome et Log etCirc Dir. ent. . . . . Lim. et „- 437. II // // // n '/ // // fract. . . II II H II 438. II // en den. binome II II // // II II . . II II II II 439. II // II II // // //.... . . Lim. et ao 440. II // II II // // //.... . . Lim. diverses XXXI. FONCTIONS EXPONENTIELLES ET CIRCULAIRES DIRECTES ET CIRCULAIRES INVERSES. T. 441. 441. r. Expon. et Circ. Dir. etCirc.Inv Lim. et x XXXII. FONCTIONS EXPONENTIELLES ET CIRCULAIRES DIRECTES ET AUTRES. T. 442. 442. E. E,\pon. etCirc. Dir. et autres Eonct. Lim. diverses. XXXIII. FONCTIOMS LOGARITHMES ET CIRCULAIRES DIRECTES ET CIRCULAIRES INVERSES. T. 443. 443. E. Log. etCirc. Dir. etCirc.Inv Lim. diverses. XXXIV. FONCTIONS LOGARITHMES ET CIRCULAIRES DIRECTES ET AUTRES T. 444. 444. F.Log. etCirc. Dir. - et autres Eonct Lim. diverses. XXXV. FONCTIONS ALGEBRIQUES ET PLUSIEURS FONCTIONS. T. 445 447. 445. E. Alg. rat. ent. 446. '/ '/ /' fract. 447. // // irrat // et pinsieurs Eonct Lim. diverses. Page 19. 3* ABBREVIATIONS ET NOTATIONS. M^m. Inst. M^m. Acad. Sav. Etr. C. R. Comm. Petr. N. C. Petr. A. Petr. N. A. Petr. M^m. Petr. Mdin. Turin. M^m. Brux. M^m. Kasan. Abli. Berlin. Phil. Trans. Verb. K.Ak. Wet. Handl. Stockh. Danske Handl. Overs. Handl, Gott. Stod. P. Bull. Phil. C. Qt. L. Lim. Imag. E^s. Le?. Exerc. Eul. Int. Calc. Int. Funct. Transc. Chal. Transf. Transf. II. Page 20. Mdmoires de I'lnstitut. — Classe des Sciences physiques et mathem. Paris. Mdmoires de TAcad^mie Royale des Sciences. Paris. Memoires pr^sent^s h I'Acad. Royale des Sc. par divers Savans. Paris. Comptes Rendus des Stances hebdomadaires de I'Acad. des Sc. Paris. Commentaria Petropolitana. Nova Commentaria Petropolitana. Acta Petropolitana. Nova Acta Petropolitana. Memoires de TAcademie de St. Petersbourg. Memoires de I'Acade'mie de Turin. Nouv. M^m. de I'Acad. Roy. des Sc. et Belles Lettres de Bruxelles. Memoires de I'Academie de Kasan. Abhandlungen der K. Akademie der Wissenschaften zu Berlin. Philosophical Transactions. Verhandelingen der K. Akademie van Wetenschappen. Amsterdam. Kongl. Vetenskaps Acaderaiens Handlingar. Stockholm. Danske Videnskap Akademiens Handlingar. Overs, over det Kongl. Danske Yidenskap. Selskabs PorhandK Gottinger Studien. Journal de I'Ecole Polytechnique. Bulletin de la Society Philomatique. Crelle, Journal fiir reine und angewandte Mathematik. Grunert, Archiv der Mathematik und Physik. Liouville, Journal de Mathematiques pures et appliqu^es. A. L. Cauchy, Mdm. sur les inte'grales definies prises entre des limites imaginaires. Paris. Debure. 1825. 4°. 69 Pages. A. L. Cauchy, Resume des Legons denudes h. I'Ec. Polyt. sur le Calcul Infinitesimal. T. I (et seul). Paris. Debure. 1823. 4,\ XII et 172 Pages. Cauchy, Exercices Mathematiques. Paris. 4''. R. Dedekind, Ueber die Elemente der Theorie der Euler'schen Inte- grale. Gottingen. Huth. 1852. 4\ 23 S. Euler, Institntiones Calculi Integralis. IV Vol. Petrop. 1792—1794. 4'. B. J. Edaux, De functione transcendente, quae littera T ( ) obsig- natur: sive de integrali Euleriano secundae speciei. Monast. Coppen- rath 1844. 4°. 43 Pages. Eourier, Theorie Analytique de la Chalenr. Paris. Eirmin Didot. 1822. 4°. XXII et 639 Pages. Ph. P. Helmling, Transformation und Ausmittelung bestimmter Inte- grale. Dorpat. Laakman. 1851. 4'. 35 S. Ph. P. Helmling, Transformation und Ausmittelung bestimmter Inte- grale mit besonderer Riicksicht auf grossere Werthe der Granzen und implicirten Constanten. Mitau und Leipzig. Reyher. 1854. 4"". IV und 146 S. ABBREVIATIONS ET NOTATIONS. E^fr. Probab. Exeic. Int. Adn. Int. Def. Int. Def. Int. Ausw. Chal. Int. J. B. Funct. Mat. Beitr. An. Stud. Int. Hoh. An. Samml. Sainml. Transf. Anal. Kramp, Analyse des refractions astronomiques et terrestres. Leipzic. Schwickert. 1799. 4°. XX et 210 S. Laplace, Th^orie analytique des Probabilites. Paris. Courcier. 1812. 4'''. 465 Pages et quatre Supplements. A. M. Legendre, Exercices de Calcul Integral sur divers ordres de transcendantes et sur les Quadratures. 3 Vol. Paris. Courcier. 1811 — 1818. V. R. Lobatto, Lessen over de Integraal-Rekening. I. 'sGravenh. Van Cleef. VI en 466 Bladz. L. Mascheroni, Adnotationes ad Calculem Integralem Euleri. Ticini, Galeatis. 1790. 4<\ 72 Pag. A. Meyer, Expose element, de la Theorie des Intdgrales definies. Bruxelles. Muquardt. 1851. 8". 513 Pages. Moigno, Legons de Calcul Integral. I. Paris. Bachelier. 1844, 8^ XL VIII et 783 Pages. H. Mosely, Definite Integrals '(Encycl. Metropol. Ee-issue). London. Griffin. 1849. 4>\ 54 Pages. M. Ohm, Die Auswerthungsmethoden bestimmter Integrale, so wie die Theorie der Eeihen und der Integrale des Fourier. Niirnberg. Korn. 1852. 8^ XII und 437 S. S. D. Poisson, Theorie mathematique de la Chaleur. Paris. Bachelier. 1835. 4^ 532 Pag. et Supplement. Paris. Bachelier. 1837. 4^ 72 Pag. J. L. Raabe, Die Integralrechnung. IIITh. Ziirich. Orell. 1839, 1843, 1847. 8°. J. L. Raabe, Die Jacob-BernoullischePunction. Ziirich. Orell. 1848.4". 51 S. Eogner, Materialien aus der hoheren Analysis. Gratz. Hesse. 1853. 8^ XIV und 463 S. O. Schlomilch, Beitrage zur Theorie bestimmter Integrale. Jena. Erom- mann. 1843. 4^ 103 S. 0. Schlomilch, Analytische Studien. II Th. Leipzig. Engelmann. 1848. 8°. 209 und 197 S. O. Schlomilch, Handbuch der Integralrechnung. Greifswald. Otte. 1847. 8^ 214 S. O. Schlomilch, Compendium der hohern Analysis. Braunschweig. Vie- weg. 1853. 8\ XVI und 550 S. J. A. Schubert, Sammlung von Differential- und Integral-Eormeln. Dresden. Arnold. 1845. 8'. XIV und 173 S. L. A. Sohnke, Sammlung von Aufgaben aus der Differential- und Integral-Rechnung. Halle. Schmidt. 1850, 8°. VI und 338 S. A. E. Svanberg, Observations sur la transformation des Integrales mul- tiples, Ups. Lefaer 1845. 4^ 13 Pag. J. Vieille, Cours compl^mentaire d'Analvse et deM^canique rationnelle, Paris. Bachelier. 1851. 8°. VII en 400 Pages. Page 21, ABBREVIATIONS ET NOTATIONS. A = 0, 577215 664901 532861.... Gonstante du Logarithme integral. ,■ = 2, 718281 828159 045235 360287 471352 662497 757247 093699 959574 966967 627724 07G630 353547 594571 382178 525166 427427 466.... Base des Logarithroes naturels. T = 3, 141592 653589 793238 462643 383279 502884 197169 399375 105820 974944 592307 816406 286208 998628 034825 342117 067982 148086 513282 306647 093844 609550 582231 725359 408128 481117 450284 102701 938521 105559 644622 948954 930381 964428 810975 665933 446128 475648 233786 783165 271201 909145 648566 923460 348610 454326 648213 393607 260249 141273 724587 006606 315588 174881 520920 962829 254091 715364 367892 590360 011330 530548 820466 521384 146951 941511 609433 057270 365759 591953 092186 117381 932611 793105 118548 074462 379962 749567 351885 752724 891227 938183 011949 129833 673362 440656 643086 021394 88.... Circonfd- rence du cercle dont le diametre est I'nnit^. t = r - 1 Sinhp. Coshp. Tghp. Cotfip. la U (a) Ei (a) Si. (a) a. (a) Z' (a) a = a = 2 e" -\- e- -a 2 ■a e° + e- -a -a Sinus hjpeiboiique Cosinus Tangente e" Cotangente / Ces notations ne sont employi^es, qu'au- tant quelles portent siir des constantes : elles ne sont done pas admises comme argument dans les tables, mais dans les formules, oil elles se trouvent, on y a substitue les va- I leurs dquivalentes en exponentielles. J 00 dx 1 X dx U e~' da a; Sin.xdx le Logarithme naturel le Logarithme integral \ TExponentielle int(^gralei le Sinus integral le Cosious integral Ces fonctions sont comprises sous la denomination d' // autres fonctions." (0 le coefficient t'*"" de la puissance o'*"' du bin6rae. c"'* factorielle (Notation de Kramp). Bj;,-i coefficient ou nombre BernouUien. Page 22. ABBREVIATIONS ET NOTATIONS. q q^ f Notations employees par H' iP> Q) = 1 + Y7^+ l72^.y:p+ 1 ■*■ ■ ■ ■ ( ■ Kutnraer, Cr. 17. 228. ^ (P.?.-) = 1 - 1 ;+ -jTY- --7. • • • j a;2«+2 /2a+l\ /2a4-l\^ „ „ B'(-)=2^-^-^'' + '+< 1 >'^"-^C 3^ )B3.--+... \ Notations e.n- ( l)a— i/2a+l\ / ployees par Eaabe +— 27-Ua-J^-«-"' f Cr. 42. 348 et 2a+., /2a\ /2a\ f comprises parmi L (a)-=/ cfa; Z Cps. ic = aZ 2 — ' -2" (— 1)»— ^ .Lobatschewsky, Mem. Kasaii. 1836. 1. J a 1 «2 Jo \/il—p^Sin.^q) Page 23. ABBREVIATIOiNS DANS LE SOMMAIRE DES TABLES. F. Fonction. Alg. Alg^briqne. Exp. Exponentielle. Log. Ijogarithme. Circ. Dir. Circulaire Directe. Circ. Inv. Circulaire Inverse. rat. rationnelle. irrat. irrationnelle. ent. entiere. fract. fractionnaire. mon. monSme. bin. binome. trin. trinome. polyn. polynome. num. numdrateur. d^n. denominateur. fact. factenr. prod. produit. puiss. puissance. comp. composde. arg. argument. Page 24. PARTIE PREMIERE. Page 25. WIS- EN NATUURK. VERB. DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL IV. TABLES D'lNTEGRALES DEFINIES PARTIE PREMIERE. F.Alg.rat.ent. TABLE i. Lim. et L T\ [ n—\ 1 Caucliy, Cours Le?. 32. — Plana, Cr. 17. 1. II observe que Cavalleri a trouvc 2) L)jxi ax — ^^^ ^y^jjjg 3^ 2) Ix'^dx = 7 « -h 1 3) j x" dx = a -\- b f ? "p+l.^+l >+2.?+2 209. I. N». 4. C'est I'int^grale Eul^rienne de premiere espece B(/>, j) ou T^l- Binet en traite P. 27. 123. — Lejeune Dirichlet, Cr. 16. 258. — Schaar, Mem. Cour. Brux. T. 22. (1— g)?-P-'af + °-'{l)P + y' 9.11+/-/' q{p+i)l'i ^'■^^^ /2 la-I/l (l_-B«)a-la^6-lda; =_. ; — — - Euler, Calc. Int. 4. S. 3. 14. b {a-\- 1)"" 24)/(l— a!«)4-»a:^-idjr ^— - Euler, Calc. Int. 4. S. 3. 17. J ab 2b)\{afl—\){\—x)''dx = 1*/' | — — | Lobatschewsky, M<:m. Kasan. 1835. 211. Page 28. usw 49. ip/l Euler, Calc. Int. 4. S.3.I.— Id., N. F. Alg. rat. ent. TABLE 1 suite. Lim. Oetl. a-Ybg, I f ,^^"'' 1^'' 1 2 (7 — 1 Oettiii- {a-{-bg).l 9 \"/ [p^nbfl^ \nl {p-\-7ib)"l^ 27) / (i_d;)a-i(i +9.r6)w-i dr = i"-'''^^(l iTrTrr;:;;^ ,9' < i 28) / (1— a;)<«-i(l+a;*)cj:P-l da; == !"-'/■ I'l^J ^ , ^^^„ ')Schlomilch, Stud. 1. 13 29)/(l— .7!)«-»(l-;»Mc.'C/'-icir=l''-i/i2M(— 1)" — — 7T-^,a + c>0, 30)/ |(l+a;)P-l(l— i?-)';-i-|-(l-j-.r)?-'(l— .i-)/'-iUr = 2P + 9-iBf;5,?) Binet, P. 27. 123. N'. 3. F. Alg. rat. fract. a den. monome. TABLE 2. Lim. et 1 . Cdx 1)1 — = oo Cauchy, Cours Lecj. 32. ] XP '/<'-^ 2) /(I -)<..z^-iij;==-&' 1 l«i' _ I'^A \ a [b—afi'' ~ a(l— ^^1 3)/( 1)P (?;»=/ ) Oettinger, Cr. 35. 13. j ^ Sin. "pit Ai) I— —dx f {l-x)P + '' ^^ ^ (l+p)"/' pjv J rrP + a ga-^+i/ipVi 'Am.;; J xP 2 5m.p7r j ' Sin. pre */l Sin. pit Oettinger, Cr. 38. 162. F.AIg. fract. aden.a±6a;^ TABLES. Lim. Oetl, fxT^-^dx fp + l\ ip\ Exerc. 5. 4. 00 (— l)»-i 2) = -^ — ; — pour p entier ; Arndt, Gr. 6. 434. p-\-n-\-l Page 29. F. Alg. fract. a den. a±baf. TABLE o suite. Lim. cH . 3)/ = I -^—, p<\, Cauchy, Exerc. 1827. p. 126. Jp—x \—p /I — u;P-« Legendre, Exerc. 4. 50. — Cauchy, P. 28. 147. I. § 6. — Cisa — djc = k -\-'L'{p) de Grcsy, Mdm. Turin 1821. 209. I. N». 28. — Lobatschewsky, ^■~"* Mdra. Kasan 1835, 211. — Sclilomilch, Gr. 4. 107. — Id., Gr. 9. 5. — Id., Stud. I. 6. , P-2 1 5) = 2: — -_- oil p entier; Cauchy, Cours Lee. 32. — Dienger, Gr. 8. 451. n-j- 1 ri— .^•* 6)/-r~ — dx = k -^ Ik, pour k = aa Legendre, Exerc. 5. 12. J X ■ ' t* 7)1-7-— -x^-^dx = Z' (p-{-g) ~ 7,' {q) Legendre, Exerc. 4. 50. /xi-xf ^— ^dj = Z'{l-{-p)~Z'(.l+q) Legendre, Exerc. 4. 50. — Schlomilch, Gr. 4. 167. ^ f dx 1 ,P + 9 9) / ~, = - I Meyer, Int. D^f. 95. Jp+qx q p .^.nizZflllll a-iA T(a)Tib—a ) ^j l—px "" F(6) fC'*'^)' ^> «> Schaeffer, Cr. 37. 127. W 1-a.r (^~^^"-" = ^ , I o)n-i,i Lindmann, Stockh. Handl. 1850. ,„ r dx 12)1 J = T " Ohm, Ausw. 2. — Kaabe, Int. 136. 13)1- — — = i Z' f^i^l — « Z'(^^\ Legendre, Exerc. 5. 16. — Lindmann, Stockh. Jl+x* ^ I 4 / ^ \ 4 / Handl. 1850. '^^/iZ^'^^ = i Z- ^^j - I Z' ^^j Malmsten, Cr. 38. 1. i Poisson, Mem. Inst. 1811, 163. ,.x/' -^'~'+^^-' . n^ bn 7 T+I^ a ■ ~ ^"'"' ^'^*'' '"'■ '^- "*• ^- ^- ^"- — "- ^- C- P. 19. 3^ ?age 30. F. Alg. fract. a den. a ± hx\ TAB. 3 suite. Lim. eH . r^h-i_^-b-i ^y 6^ Euigr, Calc. Int. T. 4, S. 3. 70.-1(1., N. C. P. 19. 3.— Legendre, '] l — x" '^ a Mem. Inst. 1809. 416. N^ 45. -Id., Exerc. 2. 44. -Id., ib. 5.13. Cx''~^ x^~^ 1 f fa\\ 20)/ ' ^_^^ ' dx=-{k — Z' -1[ Eaabe, Cr. 2S. 160. „,, fa;"-' — a;''P+»-' Ij I h\\ '] 2_^.a d.'»=-jA+Z'rp+-^ Schlomilcli, Stud. I. 7. ^^ /T~;r = - T ^ Cos. -\- nSin.— + i ^ * J 1 — x" b I b b b I Zqnn Ix htt im.—- — b 2 23) = _ _ ^- Cos.—^^ — I Sin.— r- ^ n Sin. ^ Lebesgue, L. 15. 215. b I b ' b 6» 1 '6 9+P Eaabe, Int. 146. — Ohm, Ausw. 14. 24) / -! d,j; = Sec. i— 1. - 7 ■*" + '-! P + ? ^?+p2 ^^^ /• eV'djo lia-Dj- 2n+l 2n + ll t 1 — Cos. — X_^^p + T~ ^ !'■'''"• ''' 7B TT \-) Dienger, Cr. 38. 331 2aol a ,/i/2« + l \\ 1 — Cos. I sr — p b n , 2o ^ ^ /2n4-l +ir- -^ i-Sm. — b n I ^;^r j-^i fl Dienger, Cr. .38. 331. 2a ( 2a , /2»i + l W * ' 1 — Cos. — : a- — P n 2a F. Alg. rat, fract. a d en, (a^hocf^y. TABLE 4. Lim. Oeti. r^a-i^ « /6— a— 1\ {{Y '' / 7m^ "^ (^^ -^ .~ Legendre, Exerc. 5. N^ 6. ^ r a;''-ic?j; ia-i/ir(-i) °° / 6 \ 1"/' 1 «/ 6 \ 1"/' Le^ 7(l+.^)2a + i - 22a+6r(a+i)f (2«/(2a+l)«/^'*"a.22«+6-jUM+lj(a+l)''/2 ^^ Page 31. Legendre, Exerc. 5. 8. F. Alg. rat. fract. a den. {a±bafY. TABLE 4 suite. Lim. et i. 8)/:^ — = */lZ_Viy Legendre, Exerc. 5. N'. 7. ^'J {1+X)P + xt-i -f a-p-7— I r(g) r(p— ?) — dx = — — Legendre, Exerc. 4. N". 101. {l+.v)P Tip) dx = B (q,p) Binet, P. 27. 123. /xP~^ dx It = ,»»' ^ W) Schlomilch, Beitr. IIL 9. f{xP—x-P){x^—x-'i)^ Sin.lpn.Sm.lqn . ^, J l.-\-x^ tos.pn ■\- Cos.qn -.«N A^'' +■*■"'') (^'+^~') , Cos.lpn.CoB.lqn 10) / ' , -dx = 2^ ,. , ^ ,p, / — ^ — " " \'' \ n,—x)Pdx^ 7 l — 2qxCos.X-\-q^x^ ^ ' r (p + 1) 4, g» r (w) Cos. n X q J r (w+p + 1) Cos. l—qx — q" x"- Cos. {a-\-\)X \- 5«+i .«''+ 1 Cos. aX ^^ ^^ , ( 1850. I. l — 2qxCos.X-\-q''x^ f I + x^ 19) I ; T-; T dx = in Haabe, Cr. 87. 856. J I — .r* +a!* ^ o — b 20}/7Y~r-T7; 7— r;^'»= Euler, Calc. Int. 4. S. 5. N°. 185. / 1 + 2 a;« Cos. A + a;»« 6 nr a TT 5jn. — 71^M^^CWTT^'^^= ^ ^'^'^"■' C^''- 1°'- *• S ^- N°. 191- a Sin. X.Sin. — a aa\ I 1 ^ J 1 ^ Sin. n X ' J 1 7VrZT~i 2'^^ = V- — r ^ ~~, ^-^^ ScWomilch, Gr. 4. 23. J J. — Z xLos. X -Y x^ Sm. X I n{n -\-\) Page 37. ~~ F. Alg. rat. fract. a den. trin6me compose. TABLE 8. Lim. Oet 1. 1) f a^'+f + a;^-l> ^ n p Sin. X. Cos. pi — Cos. I. Sin, p X Legendre, Exerc. 7(l+2«Co».A + «»)» '^~ZSin.pn 5m». X *• 108. 5)[ "^ ^ ^ Sinlx-oArcta ^^'"'^ \ ^'S^'^^''' 7 1 +pxCos. X^p^x'' il— x)f~ pi Sin. qn.Sin:X \ ^ ^' 1 + p Cos. X\ Exerc. 4. 120. -\-'iqxCo8.X-\-q'^ x"^ "^ x"^ -\- 2ga!Co«.i + g» TT Sin. pX \ 9P+1 Sin. pn. Sin. X [ Legendre, E?erc.4.138, Co-i.pX n^+qxCos.X ^+ Oettinger, Cr. 35. 13. 3«-i/2 A r^caxvya-x^) = ^^-] f la/2 lb/2 Tj. 8) / x^" (1— a7»)4-§ dx = ^^^;;^ ^^^^^, Enler, Calc. Int. I. P. I. S.1.8. 340.- Oettinger, Cr. 36. 13. la/2 16/2 ^ *) = ^ /.w^ . ^ t/o T Kramp, Ee'fr. 3. 79. ' 2°/2(2+2a)V2 2 ^' /36/2 3a-l/2 jT a;2a(l_a;i)6+i^aj = ^^^^^^ 7 Oettinger, Cr. 35. 13. 3a + 6/2 4 /2a— 1|2 li/2 a;2a-l {l—30.i)b-i dx = ^^^^^ Euler, Calc. Int. I. P. 1. S. 1. 8. 340. — Oettinger, Cr. 35- 13, 2a-l/2 16/2 12) =l./2(l + 2a)6/2 Kramp, K^fr. 3. 79. f 2"— 1/2 13) /«2a-l (l_a;«)4+idaf = ,^ ^ . , .^ Oettinger, Cr. 35. 13. J (2 6-|-l)''/^ V/JTT.a — l.a — 3. a — SJ p^ ■ -3) p+p^ _ l-(a-3)p-.. (l-{-p)a-^ (1— p>'-3 P°'-h- 1844. |l-|-(a__3)p+p2 1 — (a— 3)p+p^ ) Eamus. Overs. Danske I (1- Page 39. F. Alg. irrat. ent. a fact. (1— a:'')*. TABLE 10. Lim. etl . 1) (x«-Ul-x'>rrdv - - ^^•°+'^ Zb.a^c-\-b Euler. Calo. Int. I. P. I. 7"^ U ^)* ''•'-ac-a+b.c-\-b'a+U.c+Zb S. 1. 8. 364. 2) -= ^ Oettinger, Cr. 35. 18. ^\b) ^\bf Legendre, Mem. Inst. 1809. 8) = , ,\ , oil b peut 6tre fractionnaire; 416. N^ 55. — Id., Exero. jr/— \ 2. 66. — Plana, Cr. 17. 1. 4) I j^-' (1 — a^) o ^^~h ^"^®'' ^' ^" '^^ ^* '^' P" ^* "~ ^^'' ^*''^" ^"'" *■ ^' ^' ^^^' ^— ° 7r bn x") a x'-b-y dx= -Cosec. — Euler, Calc. Int. 4. S. 3. 131. a a 5)J(1- Q)lxa+l^i(l^x'>)^dx: 1°+'/' l> -*+c d — ^ {±h-\-gYf9{a + b)''l'> 1^/' V^'- '^ " '^ ~ a-\-bd {ag±bh + b gY+^lh ^^K r » U + W 1 16^ 9 Page 40. I'g 6 F.Alg.irrat.ent.afact. (1— a;")*. TABLE 10 suite. Lim.Oetl. "i,-/i 13)1 iB"-! (1 — s'>) g d a; = ^ ^ \ — ^ r v-. U) j x^~^ (l—xb) h^ d^=L__J _ 7 ^ ' a<=l-b a — be ,V/i 9^ lb g a., h. 17) La*-i (1— a;*)? d a; = ^— ah[h^gYlg i ^ ^ (9 + ih-^bgYibg^^^-j-\J^ai Iga' f _i_*j.r (a + hy!g g''lg f h cflfg 21) j .«*-! {l~x^)r' da> = ,;,.^o/-;(/i + ^)« /• * c , (1 + 6)°/* 1^/' Y<1^ ga 22) j a;« (1— a; ]g dx — f^,j_g (^ ^ 5 ^ ^ j ^)a--<:/6<, "T^ l+ab Ig-^-a' )a—c/g ]g a Les Integrales 6 a 22 se trouvent toutes: Oettinger, Cr. 35. 13. 23) L*-a-i (1— a!*)f~' da; =-^ Cosec.^ Euler, Calc. Int. T. l.S. 1.8. 352.-Oettiuger, Cr.35. 13. 25)/a;''+*<:-i(l_ar6)-6 + =da;= fl— — ] ^4— — ] fc^ ,,, -,, „ ,, 6 Page 41. 6 WIS- EN NATUURK, VERB. DEE K0>1>KL, AKADEMIE. DEEL IV. F. Alg. irrat. ent. a fact. {i—3f)'>. TABLE 10 suite. Lim. et 1 . 27) jx"-^-^ (1— X*) I"*^ d a? = (—DC ^ Co«6c. aTt Des formulea 24 — 27 voyez Oettinger, Cr. 38. 162. F. Alg. irrat. fract. a d6n. mon6me. TABLE i 1 . Lira. et i , f a-x)P+i 2p+l 1) I ^i^ir~ dx = — TT Sec, p n -f W—xy-i ^ ; — a X = n Sec. p n xp+i '^ X - xy>—i 1 — Zp 3) j j^— J — dx = TtSecpn J xP-'i 7 xi»+* + i (1 -j- 2p)*/2 l»-*+"i / Oettinger, Cr. 38. 162, «)/^ . I A\«/l A (oettinger, Cr. 35. dx = A ) r (1 - P) /■ a^o+P+i d^ ( 1 + 2 »)a + i/a \ icP+idar 2jt>+l TT oec. p 7r ■ Oettinger, Cr. 38. 162. 'j {\—x)P+i " ^ ^ f xP—i dx .7) I = IT Sec. p IT 'j{l—x)P+i ^ , f xP-ldx 1 — 2» „ 8) I = n Seep n 7 {\—x]P-h 2 ^ r, 1—2!* r(l) » 7rv/27r ^)\dx\/- r = ^-^ -r^ — — Catalan, L. 4. 323. 7 '^1+^* 4i/2;r {r(^)}» 10) / ^-^ = ^TT Euler, Calc. Int. T. 1. P. 1. S. 1. 8. § 330, 356. — Oettinger, Cr. 35. 13. 11)/— 7^— — = 1 Euler, Calc. Int. T. 1. P. 1. S. 1. 8. 330. 7 1/(1-^*) 12^ { ^'"^^ = 3"-V2 TT Euier^ Calc. Int. T. 1. P. 1. S. 1. 8. 330. — Oettinger, Cr. 35. 13. — '/j/(i a;^) 2«/2 2 Schlomilch, Stud. I, 2. r_K2a--l_d^ _ ^°~' ^^ Euler, Calc. Int. T. 1. P. 1. S. 1. 8. 330. — Plana, Cr. 17. 1. — '^/(l a;J) ~ la/2 Oettinger, Cr. 35. 13.— Dienger, Cr. 38. 266. — Schlomilch, Stud. I. 2. , f 1—p^ X"" 00 fl'-— 1/21 » I4,)ldx[/ ■ , = 1 — .2" { —} (2n— l)!)*" Ohm, Ausw. 26. J 1 — X^ 1 ( 2"/2 J Cdx^yx 1—1/3 / 7r\ 2V/3 / jt \ 15) / — ;:; ^^ = ^ \. - 1" Cos. — ] +- E' Cos.— Legendre, Exerc. 1. 39. Idx^x^ 3i/3 / 7r\ 3 + 1/3 / 7r\ 16) / -— = -f~- E' Sin.— ] — ^ Y\ Sin. — ] Legendre, Exerc. 1. 40. 7l/(l-«2) ^3 \^ i2J 2^3 \ 12/ f X^P dx 7C 17) /,-:; TTZTr = - Sec.pn Euler, N. C. P. 6. 115. 7(1— a;»)P+i 2 ^ .„^f a;P-ida! 21-i' r(p+^)r(l— y) ,. /2;>~1 \ ^-, . ^ p- a lox ^^ / ri ^ = S 7 ./ ^ &». ^^^ TT , p <1 ; Legendre, Exerc. 4. 12*. y(l — a!*)P 2p — 1 Vn \ * / /" /c2a— 1 (ia; 2^/2 19) I ^ — = (—1)*-' T~, — tr Oettinger, Cr. 35. 13. 7(1— a;»)4-i 2a. 14-1/2 3a-i/2 ^ ' Page 43. »» F.Alg.irrat.fract.ad(5n.(l iarj-etCl ^x^)". TABLE 12 suite. Lim. Oetl. — — =(— l)*-l ^ ,; Kramp, Refr. 3. 81. /ar*" dx 3<»— V2 n (IZ^Tj^ =(-1)*-^ l6-./.4<.-a/2 4 °^"^«^'' ^'- ^^- 1^- „„ ' , . lo/Sfga— 2 6 + 2)*/2^ 22 =(_li-l „ ,o,wo -- Kramp, Refr. 3. 81. ^ ' 2<»/2 l*/2 2 Cos. I^^TT '8)/^^=^^^^.= """'\,i;( B (£ . i (1_^.)2 2Cos. P-^. ^ ' ^ Serret, L. 8. 1. 25) / ^ = i{»/p+ 1/(1 +P)) Schlomilch, Beitr. III. 7. F.Alg.irrat.fract.aden.(l — ^a;")*, pour a special. TABLE 13. Lim. et i. f dx 1 I n\ i)J7^rz;rj = ^T^F' ^^--i^) i^^^-^-' E"- 1- ^•*^- ^(l-.3)» == ^F~3 Jcl.^' ^''"'"' '^""- '• '''• { x^<*dx 10/3 2n: /• 3;3o-l da; _ 7lV(l— a=»)~ f da; 1 I n\ 6) / — ^ r; ==-1/2.1" '^»n- 7 Legendre, Exerc. / V'd — X*) 2 V */ f a;' dx 1 '') / "TTi r; = « Euler, Calc. Int. T. 1. P. 1. S. 1. 8. 887. Page 44. '/3 3 1/ 3 1 Kausler, M^m. P^tersb. 1811. T. 8. a;3«— 1 da: 3<»-V3 5)" 20/3 _ / 7r\ 1. 146. F.Alg.iiTat.fract.aden.(l — a;")*^ pour a special. TABLE 15 suite. Lira. Oetl. /■ d« 1 / SttN 9') = ~-E' [Sin.— Legendre, Exerc. 1. 147. 10) / r = 'E'lTq .-] Legendre, Exerc. 1. 148. f dx 1 I n\ IT f\/2 — ty3\ , ^ 11) /— == r Sin.-] +Sin. - F {- ■ — Legendre, Exerc. 1. 130, F.AIg.irrat.fract.aden.(l — a;")* pour a general. TABLE 14. Lira. et I. —J = _ Cosec. — Euler, Calo. Int. T. 1. P. 1. S. 1. 8. 352. (1 — X^) a (1—x^y n I = — (joaec. - •^ 6. 115. — Oettinger, Cr. 35. 13. 2\P'' ^'^'l ^ -Cosec— Euler, Calc. Int. T. 1. P. 1. S. 1. 8. 352, 360. — Id., N. C. P. (l—x")< (1— «°) r^^^^^ ^ ^y^ec.?,-'^ Euler, Calc. Int. T. 1. P. 1. S. 1 8. 366. •'(1 — ««)2a 4) / -z = — Cosec. - Ohm, Ausw. 14. — Eaabe, J. 147. J }X{1-XQ) q q 5) I — = Z Cosec. — , P > q—l ; Minding, Saraml. 115. J lyiX—Xi) q q r ii\ r It '/,i_^,^ „r(£±-') ^(1--^)'-? f^o-M-i d^ ^ \6 ff/ J_ ly 1 g > Oettinger, Cr. 35. liJ. / a\«/i . „ ^^ . /+BJ .l!"0^^ ^^/ .. ..ffj-c a+bdl h\c/-il^ . a hY-cn j|-|/i fxa—M-^dx _ 1 \ V / Page 45. F.Alg. irrat.fract.aden. (1 — ^a;")* pour « general. TADLE 14 suite. Lim. Oct 1 ^ (1— »*)* u,/ (l_«A)i+' /afl—bc-i^x r = « (1— a;*)J ^da; = "Vi,-*/! (a 4- 6)c/ft Ij/^ 1 (1— «*)y T^ :/ -r tf/ ]4 /* /^_6«_i 1 (bh—agYlf'9 15'' l""/ 1 7da;= — -r-'^ TT 1 — .^ t/1 ,-i/i 1 5) / 7 dx= \^^^^ 16) / n bV ~ ab{g—Kfl9 {\—x>>)g b<4l> 17)j 18)/ 19)/ arai da; (6 + 1)°/* ,1/1 ,-ii la 1 9 (1_^6^- l+ai{^-iA + 6j)<^*. ^i_*n a;aJ— Ida; 1 ^o/P aflbdx a b h<=/9 {g—hy -'l9 1 (1 + J)<^«» .ill ,-ift la 1 g \ \ Oettinger, Cr. 35. 13. *H l-\-abh<^9 ij) h—g—b pr)a-c;-6? !_*,, 9" (3^-cg-\dx «^o)j r;; •' (1— «?>+ Page 46. / F.AIg.irrat.fract.aden. (1 — a;'')*pourogeneral. TABLE 14 suite. Lim. et 1. ^^) / r~ "^ ^ -^^^ ZiihTZUy TT77 t p.-„ ot (1 — ^*)5^^ b ? Oettinger, Cr. 38. 162, f^a+bc—l dx n ^, an \ ''^i ~={-^f-,Coseo.-j /dx \ — - = 6 TT Cosec. b n 1 {\ — ^xf ( , , r Kramp, K^fr. 3. 83. 24) I r- ==bn Cosec. oq n ] ' j {l—t^xf) (l-lX ^)i-2/>-(l + iXg)'-2; > ( Legendre. ^7(l_a;);>(l_5x)P l/TT (2p— l)2l/(/ 7 124,145. dar TX f x^ 7 1 + a^ 1/ (1— a^) 8 7 1+^* dj! \ +P „,,,.„ T^i o. i\ \ Legendre, Exerc. ir + 1 1/ 2 . 1! I .Vm. - > 6. 308. 1/(1— x<) 8 7 l+a;* l/(l-ar*) 4 ^' \ */^ gt / ?.^-? = - — Ardg.p Poisson, P. 16. 215. N". 11. "7^-(pi + a;»)(l-ar») 2 ^^ Page 48. F. Alg. irrat. fract, a den. comp. sans fact, monome. TABLE 1 6 suite. Lim. et 1 . , ^^dx (l-p )-9— (l+p)-g ^ / g + 2 1— g f ^^<^^ ^ (l-p)-9— (l+p)-g ^ /g 3 ' 2 ((1_^)(1„^2^)| 2 ^^ ^ ' Uoncompagni, Cr. 35. J I 74. [ x^dx Sin, ql Cos.1l / g + 2 1— ^ \ ^7 f rr. „ ll±i "" oTang.l I 2 ' 2 ) Arndt, Gr. 10. 253. h — n\ [I ««-! pxP^-^\ [I a xP-^ \ a I J}^ '"'/ (ir; - iriP^j *' = »"• + f^' ("+ ^ [Ik l^^aj \ 11)1 — ; \ dx =k k ,\)0\xtk = as ; Legendre, Exerc j \\—x 1 — \y xj . 5. 12. t!» _ 1— a* b^x* ,.21 12) I ■ — ^ ; — x'^ dx = Q Eamus, Overs. Danske Forh. 1844. ' J V^ {1 + a^ a;^} l^{l+b^x^) 'j[l-x l-l^xj dq T{qp) A- ^^■ F. Algebr. TABLE 1 7. Lim. — 1 et + 1 . /dx — = I a, oil « arbitraire ; Cauchy, Cours. Le?. 24, X 2) = — (2 k -\- l)7ci, oiik aTbitT&ire; , } Poisson, P. 18. 295. N'. 33. > (dx 4)J^ = ^^^^[Co5.{(a— l)(2jfc+l)7r}— l],oii/!;arbitraire;^ 5) =0 pour a impair ) Poisson, P. 18. 295. N\ 34. 2 6) = pour a pair 1 — a f dx 7) I : = 2, pour » < 1; Poisson, Chal. 113. 'jl^{l—%px + p^) ' ^ y ^ ^ Page 49. WIS- EN NATUURK. VERH. DER KONINKI.. AKADEMIE. DEEL IV. <« F. Algebr. TABLE 17 suite. Lira.— let + i. f p — ^ 9) I dx = 0, pour » •< 1;, Poisson, Glial. 113. 2 I 10) =— , pour/>>l;y g > Plana. M^m. Turin. 1820. 389. N^ 9. 12) =— — ,pour r dx 1 1 J_r. 13)' '-^^ a X 1 1 -j_ p f 7 2o S^f == n^r^Z:,; Legendre, Exerc. 5. 124. — Liou- l/jd-Zpgx+pV)!^-— ^+^)| ^ ^ ville, L. 2. 135. /" d aj 11^ i^p q > ^'7 i/{(i-2^.+;,^) (1-2, .+,»)! =t::^,^-i:i775' ^^^p'<'>^'<'-^ V^pq \^p~\^q _ I p j9 • 1 v/g+i/ip {*°''-^^ 16) = i— ^^— '^, pourp».'■=. 72. — Cauchy, Sav. Etr. 1827. 599. P. 2. § 5. — Id., Lim. 1 + ar Sin. p 71 [ Imag. Add. 12. — Id., P. 28. 147. 1. N^ 2. — Bonnet, L. 6. 238. — Lejeune-Diriclilet, Cr. 15. 258. — Jiirgensen, Cr. 23. 142. — Oettinger, Cr. 35. 13. — Winckler, Cr. 45. 102.— Gru- ncrt, Gr. 2. 266. — Schlomilch, Gr. 3. 278. — Serret, L. 8. 1. fx^~P dx 4)1 = — 71 Cosec. pn Oettinger, Cr. 35. 13. /xP~^ dx = TT OP-* Cosee.pn , < p < 1 ; Scblomiich, Gr. IS. 198. — Dedekind, Cr. 45; 870. x+a Page 50. F. Alg. rat. fract. a den. af et (1 ± a;)". TABLE 18 suite. Lira. et oo 6) / = e(p-i)9t , 0 6 9) / = ± \ , ± selon que ; Jiirgensen, Cr. 23. 142. {b — ay—P Sin.p n « +? r(p+5) /* .t-?-! dx 14) = B (»,(?)= / Binet, P. 27. 123. — Schaar, Mem. Cour. Brux. T. 22. ' ^ j(l+^)p + 9 15) = (^1 Lejeune-Dirichlet, Cr. 15. 258. C'est rintegrale Eulerienne de premiere espece. /r? — ^ -I- irP — ^ ^^—— dx = %-a{q,p) Binet, P. 27. 128. [ :rP-l dx (— 1)« (b— l)«/-i , , \ 7(6-|-a;)a+l la/1 ^in.pTr 1 18) /^""^^^ = ^^:=1^ ^=^ Schlomilch, Gr. 12. 198. 7(l+a;)«+i l«/i .Sm.pTr ( /" x<^+Pd X (—1 )« 71 p^ .p^ — l^p'^— 2 ^.. . p'-g'' ] ^^^j (l+ar)2a+l "" 5fn7p7 ' ~12a+i/l / 20)1; = A" - Cauchv, P. 28. 147. I. § 2. Page 51. 7* Oettinger, Cr, 38.162 X ■c+21 F. Alg. rat. fract. a den. if et (1 ± x)". TABLE 18 suite. Lim. et oo « ( xP d X 1 2> „^ fxP+^dx l-\-p 23) I = p n Cosec. p it 24) / -; = ^ ^^ , — ^^^ p TT Cosec. p tt = / — /ari'feda; (l-{_p)c/i (1 + a;)4-<:+2 p*/l 1C-6+2JI ^ '^ /a,5— a— 1 cjj. la— I/l 1«— a— 1/1 /•a;a-l dx \ __ ^_ I I [\-\-xf Ifr-Vi j{\ J^xf / r a;«±6— 1 dar ia±i-i/i ic=fa6-i/i r tc±6-l da; ( ^/(l +ar)'» + «±2A "^ la + c±26-l/l "" j(l _|_a;)« + c±26] 29) 1 1 ar7-P — J dx = ^ ' , — - Legendre, Exerc. 4, 109. 'j\ {\^x)p) g-p + 1 r(p) Oettinger, Cr. 35. 13. F. Alg. rat. fract. a den. 1 ±a;" pour a special. TABLE i9. Lim. Oct oo dx + a;' Liouville, Cr. 13. 219. — Scblomilch, Gr, 4. 71. — Id., Gr. 10. I) I "^ ^ =T^ Euler. Calc. Int. T. 1. P. 1. S, 1, 8. 353. — Poisson, P. 18. 295. N". 26 2) f_dx__ _ ■^ Liouville, Cr. 13. 219. — Scblomilch, Gr. 4. 71. — J pi I ,1 ~ 2p'^ ^10. — Cisa de Grcsy, Mem. Turin. 1821. 209. II. 58. f dx 3) I ; == ' i(— 1) Poisson, P. 18. 295. N'. 26. — Plana, Cr. 17. 1. J 1 — «* 3') = Cauchy, Sav. Etr. 1827. 599, P. 2. § 5. — Schlomilch, Gr. 3. 278. /djB Legendre, Exerc. 5. 13. — Bidone, U6m. Turin. 1812. 231. Art. 2. N^ 31. — — m= Plana, Mem. Turin. 1818. 7. Art, 1. 3, 4. — Cisa de Gre'sy, Mdra. Turin. 1821. ^ — * 209. II. 56. — Schlomilch, Gr. 7. 270. ^,^ I ,, -- Poisson, P. 18. 295. N°. 38. — Cisa de Gr^sy, M^m. Turin. 1821. ' "" 26 209. n. 58. 4") = a, oil a arbitraire; Arndt, Gr. 10. 240. C'est la vraie valeur. Page 52. F. Alg. rat. fract. a den. 1 ±:af pour a special. TABLE 19 suite. Lim. et oo 5) J —^ — - d.v = - Cosecpn, 1 >-p >• ; Schlorailch, Beitr. III. 4 I r "* cP-i -j— ^ da; = - uuise.;. — , *^if^^v, - j^_^ Ex.eTc. 1826. p. 95. 7) = , 2>»> i Meijer, Int. Def. 154. 8)1- =~S€C.^—, 1>»>0: Schlorailch, Gr. 3. 278. 71-t-a;^ 2 2 ='^ = ^ = - Cot. — , l>p; Cauchy, Coars. Leg. 34. — Meijer, Int. De'f. 155. [ dx 2 TT \ 10/— -=-—1/3 [ Euler, N. C. P. 6. 115. — Id., Calc. Int. T. 1. P. 1. S. 8. 353. [ x^ dx 2 It \ 11)/ = 1/3 ^ i dx 1 1, 12)/ = -n 1(—\) Plana, Mem. Turin. 1820. 7 1— a;' y 3 ^ '' ^'x\ f '^^ _ ■•■ 1/0 Euler, N. C. P. 6. 115. — Id., Calc. Int. T. 1. P. 1. S. I. 8. 353. — 7 1 +a;* ~ 4 Cauchy, Sav. Etr. 1827. 599. P. 2. § 5. I*)/ r == -^1/2 Euler, N. C. P. 6. 115. — Id., Calc. Int. T. 1. P. 1. S. 1. 8. 353. 7 I +^* 4 i dx 1 \ 15)/ z = -Tt \ 7 1 + .^•« 3 1 f x^ dx 1 f 1^) /r~; r = ■;: '^ / Euler, Calc. Int. T. 1. P. 1. S. 1. 8. 353. — Poisson, L. 2. 224. J 1 -\- x'' 6 i f x^ dx 1 1 17)/ = -TT 18)/,-— ; .,, , , = — , _^ , Ohm. Ausw. 2. F.Alg.rat.fract.aden.(l±«")pourageneral. TABLE 20. Lim.Oetco. /^_l , Euler, Calc. Int. T. 1. P. 1. S. 1. 8. 351. —Poisson, - ^ ^ !! Cosec — » ^ a ^ ■ P- 16- 21^- N°- 6- — Cauchy, Sav. Etr. 1827. 599. P. 2. l-j_a;p p ■ ff ^1 ^^ , §5. — Mascheroni, Adnot. p. 63. — Oettinger, Cr. 35, 13. — Schlorailch, Gr. 3. 278. 2) = 00, 9>p; Poisson, P. 16. 215. N'. 6. Page 53. F.AlfT.rat.fract. Aden. (1±.T°) pour fl general. TABLE 20 suite. Lim.Oetoo. p-g-i dx n qn ^ ^ .. Elder, Calc. Int. T. 1. P. 1. S. 1. 8. 351. - Oettin- 7 iJ^.^P p^"'"'- ^.P>9>". ger, Cr. 85. 13. 4 / = ^ Sec. — , J I ? ^ 1 ; Raabe, Int. 416. /x^'>dx n jlbA-l \ Poisson, P. 16. 215. N"". 6, — Cauchy, Sav. -- — - = —Cosec. / TT ,2a+l>26; Etr. 1827. 599. P. 2. §5.— Serret, L. 8. 1. — I+.r2o 2a \ 2a y Grunert. Gr. 2. 266. 7) = 00, a a> • ^indmann, 71—^2(26+1) 46 + 21 46 + 2^ \46 + 2 /J' ^ ^"'Gr. 14.94. la) / ^~ -- ^ Cot ^ n^^n Mascheroni. Adn. p. C4. — Legendre, Exerc. 5. 13. — Cau- 'J 1—,-gp p^"'- p 'P-^V. chy, Sav. Etr. 1827. 599. P. 2. § 5. — Schlomilch, Gr. 8. 278. 14\ ("'"'dx TT^ / ^^H-1 \ „ ^ , 1-.^ „ .. Cauchy. Sav. Etr. 1827. 599. P. 2. 5 5. — ^*7 1 -^*« "" 2 a i^^^j ' 2 « + 1> 2 ^ Grunert. Gr. 2. 266. ^ ,,, /"j?-"— atf^> , 27r lq—nn\ ^^n — :rr.. — rrdx = Tang, r— i- - Ohm, Ausw. 14. — Raabe, Int. 147. ,„ fi — «* n 7t an /a4-l\ \ Lindmann, Gr. 14. 94. Page 54. F.Alg^br.rat.fract.aden.(l±a;")*. TABLE 21. Lim. et oo f dX _ 1 "-!/'' TV V 3) dx It d'^ 1 1«|2 TT 2) i- =± . \ Cauchy, Cours, Lee. 33. la/1 2a+2^>a^py /•da; 3^ /" x'^dx 1 \ 5) / = — TTf Poisson, L. 2. 23 1. 7(1+^^)3 16 I Plana, Mem. Turin. 1818. 7. Art. ]. N% 3. 1 1"/^ \ (o^+icM^+l 2ao2a+lla/l i _ V Schlomilch, Beitr. III. 12, 13. vyP)r(a-lp) ,^ ^^ I ->1>P>0;1 p/j-i da; _ r(| 2r(aj r^'^Z.^/ _M / _ M /i_ ^ IE p„,,,/_? Euler. Calc Int. T. 4. S. 5. 7(l+a;«)« I, a/\ 2a/ \ {c—l}a)a a 1''9- r^-a+c(Hi)-ida; ^ (6-a)«/4(A + a)9-i/A aTT , a tt /•^_a+e(t+i)-i(f^ / an / a^X I a^\ a \ n ait\ Oettinger, /"aj— a+6(^+i)— I (5 — aW6 Tf a^ (1+^ "" ? "' " ^^ixv—^dx p—q ^ In — q \ | Ohm, Ausw. N" 20. Page 55. F. Alg. rat. fract. a d6n. a fact. nion6me et bin6me. TABLE 22. Lim. et oo . [ dx I —— — 7 — = JT Cosec. pn, 1 > JO > ; Kamus, Cr. 24. 257. — Oettinger, Cr. 35. 13. J{l + ii)xP /dx (1+pK* = — ^ — . P7T Cosec. pn Oettinger, Cr. 38. 162. (l + x)e-H»ar*+;' lc-b+2/l pb/l ^ ^ ^ I ^— i-^ = Z' (p + q)—Z' (q) Lindraann, Stockh. Handl. 1850. U. /aj>— 1 -|- w—P die = n Cosec.p n ,p <^t; Dedekind, Cr. 45. 370. l + a; fx9-i — x—P . € 1 I — dx = n Sin. I (q-\-p) n>. Cosec.qn. Cosec.pn Svanberg, Transf. § 5. /xp—aP—la^ dx 1 "> » "> = TT OP- • (Cot. qn— Cot. pit), -^ ^ -^ ; Minding, Taf. II. X x—a 1 >■ 7 >■ [xP — x—P It pn I — dx — — - Tang.'— , l>p>0 ; Schlorailch. Gr. 3. 278. f dx 1+P |— — — — — = — - — p n Cosec. pn Oettinger, Cr. 38. 162. * f x^ dx n „ bn I == -Cosec Euler, Calc. Int. 4. S. 5. 155. J 1+^" X a a fxbc+b—i dx , > T „ ai I / — = {r-Vf - Cosec. - J 1— «* x^ ^ ' b b f ^ ^j-l)P (6-a)c/6 ^ a4 o^^j^g^^^ Cr. 88. y«<»+(Hi)ff+i (1 -j-a;*)<:-^+i a-\-bc{b—a)9ll>lo-9nb<'-9+i ' b( 162. /dx >''/-. **" a^+(6+i)c+ 1(1+^6) = (-^^' 6 Cosec — /x—P dx n pn = Tang.^— Cauchy, Sav. Etr. 1827. 599. P. 2. § 5. x)r(9) J C(a — xi) — * 4- (a -I- art) — * 11)1 ^ ~ — ^' ^ — ^'— .r2c d ;r = , 6> 2 c 4- 1 ; Cauchy, P. 28. 1 47. I. N". 3. Page 57. 8 WIS- EN SATUl'RK. VEhH. DEH KO^I^RI,, AKADEMIE. DEEL IV. . F. Alg.iat.lVact.ad6n.afacl.bin6mcs(l ^x)". TABLE 23 suite. Lim. et oo . ^ -—^ — '— a;2e-» dx = , 6> 2c; Cauchy, P. 28. 147. I. N'. 3. . fxP — a9 dm n (aP — Cos.pn aV — Cos. ott] 15) / T — r- = 7-r- -T^ - — V- -^ < 1' 'i' <1 ; y ar — I x-\-a I -\- a [ Stn. p it Sin.qn J /xp — \ dx n {ap — Cos.pn 1 . ) = \ ^ la\ ,p x—ls-\-a l-j-a(, Sm. pn n ) /xp — aar-^x^ — al It Sin. qn C aP+1 — 1 al — ap \ (p4-(/)^ n'ont pas de racine commune; p est^ et quelconque, rationnel ou irrationnel, mais X'*>0- Schlomilch, Gr. 10. 424. — Ohm, Ausw. 3, la ']l — %xCot.X-\-x'^ ~" Sm.i ' 2 ' t'°"ve fautivement egale a - X: SinA. 8\ I ^^^ = , - >/l>0: Schlomilch, Gr. 10. 424. ']\+ixCo8.X^x* Sin.X'Z^ -^ 4) /"_£!!Ziif_ ^ -liL 5i„, /^-^^ JT I . Coaec. » tt ,

; Gr- 12- 198. /XPdx n Sin.pX p' < 1, Plana, M^m. Brux. T. 10. — Le- — ;; ;; = — — — — — — . ,, ^ , gendre, Exerc. 4. 102. trouve fau- l + ZqxCos.X-\-q^ x^ qP+^Stn.pn Sm.X A Plana, M^m. Brux. 1837. ^ '^ Sin.pnSin. [Arctg.-^ [ z^-Pdx ___ TT 5m.{(l— p)^} I ,3 J ?^^f = i^i^ ?*?^, p»ab) > Ohm, Ausw. N". 2. /■ da; J. IT I /• a;i-id« '^/'^.o.. 3 /-.„.. ^"^ c- f^(^— >^) + «^{ Euler. Calc. Int. T. 4. Jl — 2x"Cos.k-\-x^<' a a [ a ) ^- ^- ^^^• 17) 18) I // .•&— II T - — *- 1: '/! ■■ 'Z. \ j^ I II 1: — i— 'Z. 1: U j^ li. I', i ^ } Plana, M^m. Turin. 1820. f dx It 19), 23) 24) |_ _-__-___-"^^-^^ — -_ ^ 1 Cosec.X.Cosec. — . Sin.[- -l] Euler, Calc. Int. T. 4. S. 5. 183. x^-^^ dx TT b IT la — 6,1 — — — = - Cosec.K.Cosec. — -|- 2 a!" Cos. /,-}-* " a a \ a a:a±A— ' dx n bn _ bk ;; = - Cosec.l, Cosec. — . Sin. — -\-Z x"Cos.l-{- x^^ a a a 25) / ^^— r- = - CosecX. Cosec. "-^ . Sin. — Euler, Calc. Int. T. 4. S. 5. 191. F. Alg. rat. fract. a autre den. polynome. TABLE 26. Lim. Oetoo Sin.X. Cos. pX — Cos. X . Sin.p X Legendre, Exerc. 4, Sin' X 108. f xP + ^ dx ' 71 p ^j {I -]-2,xCos.X^x^y ^ ZSin.pn , /" 1 dx n Sin. pX ^ 2) I = €-- »2 ^ 1 ; Legendre, Exerc. 4. 102 ^J l + ZxCos.X-\-x'- xP. Sin.pn Sin.X '^ ^ 4^ . /" x + a dx n Cos. (p Arctq.a) , „ „ ,.„ ^ . - 3) / — = . ~ ^-^ Cauchy, P. 28. 147. I. § 2. '6^ +(57 + a)* xP \y (aP- -\-b'^f Sin.pn Page 61. „ (a — biy—P 4-{a + b i)—P 4) == ~— — — ^ ^ Plana, M^m. Brui. 1837. Sin. pn 2 F. Alg. rat. fract. a autre den. jiolynome. TABLE 26 suite. Lira. et 00 f 1 dx 7 6>+(3; + a)» xP Sin. Ip Arctff. ^ \ JLL Cauchy, P. 28. 147. I. § 2. 6) r) 1^(0*4-6*)? Sin. pit ni (a — bij—P — (a -\- bi)—P Sin.pn 2 Sin. p Arctg. - a ^ "*" ' Sin.pix.Sin.\ Arctg. -\ /I dx It I 2 (jr — i.) Cos. u Plaua, Mem, ? Brux. 1837. ZnSm.Xp fxP — ZCos.fi-^x-P dx \^ q '"'/: -ZCos.i.-\-x—^ X ^. , o- P'' qSin.K.Sm. ? . / n—l ?,nSi.n.\p xp-\-x-P ax \ 1 q Sin. X x9 — ZCos.X-\-x-^ it -,. , ^. P'' qiiin./. Stn. Euler, N. A. Petr. Ill, 3. n,l— J X^ — X±P n — X n Sin. I p dx \ q ZC08.l-\-X- »> : Scblomilch, Beitr. III. 13. f.rP—i d X 2) I — — ; = n Sec. p n ; 1 + ^. fxP-'idx 1 — ip (l-\-x)^ 2 •xP+idx ^yo + l ■7t Sec. p It CxP+i d x 4) J 7(1+*)^ r a;P-^ + §da! (1 — 2p)4/2 „ , , ^ /" «*-P-Ma; >Oettinger, Cr. 38. 162. ^ p-g+l \ ^p^g /a;i(P— ?-l) d ar \ 2 / \ 2 7 (l+.T)P+4 . r(p + i) , /"ajjfp— ?-l) da: 9 I = 7 (l + a:)P-i .,e^|±i),to_, r ^o — M I ^^ ^' > Meijer, Int. Def. 329. r 1 P~g+M p /P + ? /■ .rP— 9 da; " \ 2 / " I 2 (l+a;^)P+i 2r(p + |) . xv-idx /aH-a;»)P-i 2r(p — I) ' ,„ r a;2«da; , r(a+«)r(6 — a) dx I n 1/(1+ a;") \ 4 i3)/,-^r^-F(*.^l L.,.„a„, w. ,. ue. /■ 1 a; ^*)/x77i TTT drf'^ Euler, N. C. Petr. 6. 115. Page 63. F.AIg.irrat.fract.adt^n.binomc. TABLE 27 suite. Lim.Oetoo Legendre, Exerc. 1. 147. /dx n 1 f 7i\ = Sec. - 1/ -. F' To. - Legendre, Exerc. I. 148. [ das 1 n I n\ rr ,/l/2 — 1^3\ 18)/ = Sec.~¥\Sin.-\-lrTg. — r\- — 7l/a+a;'>) 2IK3 12 \ 4J ^ ^ 12 \l + i/3/ 15) i , = E' 5m.— 7^/(l^-«6) ^3 \ 12 16) ^ ^s.Ylsin.-^] Legendre, Exerc. 1. 149. rf^ + «+i]r(^'' 1 — 'Z± ^ - \ L ^——i- Schlomilcl), Gr. 6. 213. /I \Hi lb \ /■^J6±a— 1 2p; Plana, Cr. 17. 163. *'7l7(TT^=^ .B(2p-,.,-p),,<2p;] .-fi /•«6(<.+i)-iciar 1 16 'W 23)/—— = - Oettinger, Cr. 35. 13. 24) j y^ = J Cosec. r 25)/^^^ a = 77 Cosec. , } (1— a,-A)J »* » ««— 1 dx n an \ — a = T Cosec. - ^)a * * V Euler, N. C Petr. 6. 115. 'x^+>>—^ dx an _ an\ F. Alg.irrat.fract.aautred^n. TABLE 28. Lira. et oo f I dx 1) I == n Dedekind. Cr. 45. 370. 7 1 + a. l/« f I dx 2)1 = Sohlorailch. Beitr. III. § 6. J \ — x \^x C dx 2» + 1 3)1 = ~— — nSec.pn Oettinger, Cr. 38. 168. ']{l-^xyxP+i 2 ^ Page 64. F. Alg. irrat. fract. a autre den. TABLE 28 suite. Lim. ot oo /dx 1 — 2io „ \ =t n bee. p 71 \ [I -\- x}-^ xP-i 2 '^ j ' s f dx r, f 5) I ' ~~T = nSec.pn >Oettinger, Cr. 38. 162. / (1 -|- x) xP—i ■ ' i f dx (l + 2»)«+'/2 gx / = (— 1)'' — -^~r- 1 2*-" ^ Sec. p n fjxlp x—iP\ ^ - 7)/ dx = Z{l—p7tCot.p7T),p^ < 1; Minding, Taf. II. /I dx {r(p — a)}- = ^^-^ '-^ Schlomilch, Gr. 6. 213. / l\2(j,— a) X 2r(2p— 2a) x+- X ■'^ >LobaUo. Int. § 53. 10 = — 77"^ r: ^ »g>p; /" dx Tt 11 W — = Legendre, Exerc. 1. 140. 7(l+pa;*)^(l -I-9p2.e) 4i/p fi a;2 +1 \ dx f( ax"^ -\-c 1^ ac — b^\ f ^'^ 2 / p* — jn \ ,. Winckler, Cr. 45. 102. /dx 2 I P — g*\ f et6'os>i(i=— ; l/a;(a; + p*)(«-l-g^)(.c+r2) ^ i/(p»— r^) \^''^p2— r^) [ ^'^ , „, IJacobi, Cr. 10. 7 1/ (P* +'* ■J') (g' +»»'«)('•' t-w* a;) 1pmnSin.xp y ' m p^n^ - rH"^) J ,». /" ^-^(ia; 1 /c\| jr v' (7— r!)2n/i r(p — «) , 17 / ,— ri ; 7^, 7 ==■-; TT - I l/- « — r jSchlomilcb, Cr. as. 'j{a+bx-^cx-')P+i T{p + \)\al c 2"/2(2l/ac)M*H-2l/ac)P-"( 268.- Id., Stud. f xP^dx _ 1 («\L ,^ J(g -n+l)2«/ i r(p-..) ^- ^^• 7(a + 6a;+ca;'')p+i r(p + A)\c/ c 2''/2(2i/ac)'' (6+2l^ac)P-''j Page 65. "o WIS- EN NATUDRK. VEBH. DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL IV. F. Alg. irrat. fract. a autre den. TABLE 28 suite. Lim. et oo P + i^x'' 19)1 = Poisson, Clialeur. N^ 159. q -\- -]y^ 2x dx\^—x ._ \ 1 C ^ ' p" 2 n p q^ -\--l^2x + P P Poisson, Chaleur. Suppl. Note B, q + -l^2x p ax n p " o X l + r»jr» %rl-^pq\^r 22) P P' , oil p < 1 ; 23) f ^ ^— ^ ^^^-+i E' (p) - ^^=^^ r (.) 7^/ (l+(2_4p»)a;»+a;*} (1 +a;»)s 8 p» ^^-^ 8p» ^ 24) P ~ — ^ = TT (7o<. 6 7r Dedekind, Eul. Int. S. 22. J 1 — ar X F.Alg.rat.fract.aden.ii^". TABLE 29. Lim. — oo etoo .idx 1) / = Grunert, Gr. 2. 266. Jx±q f dx 2) / , : = TT Ohm, Ausw. N" 2. J l+x^ f dx 1 j.r» +p» p = a;»+p» 5) = Z « , pour — cc = — a (00 ) • 6) / , ^ , g= Poisson, P. 18. 29B. N». 41. J x^ — p* f (— xi)p — ' 7)1 . , — dx = 7t {(— t)P-l 4- (»■)/'-'} , p <2: Cauehy, Cours. Le«?. 34. 8) Page 66. 3) I ;r* -f- p- p 1 Cauehy, Cours. Leg. 32 f( — xi)P-^ pn) Meijer, Int. D^f. 154. dx = n Cos. — 599. p. 2. §5. (pour a L. 8. 1. — Grunert, F. Alg. rat. fract. a den. 1 ± x". TABLE 29 suite. Lim. — oo et oo 0) I ^ dx = - {{— i)P + {i)p], p <2; Cauchy, Cours. Leij. 34. J 1 • X hi fx'^-t'dx n [26+1 1 Cauchy, Sav. Etr. 1827. 5< ^M 1 — I 9^ ~ ~ Cosec. j— n\, 26<^a — 1; et 6 quelconques).— Serret, J y -\- x"^ a y Za ) Qj. jj 2gg_ [x-^b-Xdx ^J x'ibdx n ^ r2A + l Tj-I f 3) / — - — : = " -r Cot. {- '— -{) Grunert, Gr. 2. 7 1+a;2a-i 2 a— 1 i2a — I2j( f x^''-^ dx J 1 4- a;2a-l '/ I ^2a a l2a I aeto quelconques). — Grunert, Gr. 2. 266. 2)/ _ n \. '^5<2«— 1; 7r bn 4)/rT^,_, = 2-a.ri ^-^- ^^-zr, Cx^^^ d X r'la f x^''dx _ /l_a;2a-l ~ f x'^f'-'^dx jl_a,2a-l ~ > ^, 26<2a— 1; - r. j^^+l '^1 ^ Grunert, Gr. 2. 2 a— 1 ■ (2 a — 1 2J TT ^ b It "~ 2 a — 1 ^^^' 2 a — 1 1 F. Alg. rat. fract. a autre den. TABLE 30. Lim. — oo et oo 'j{r-\-xi)r>{a — xi)p>0,l>5>0; [ dx I 2) I ■ =0 \ ■'y (r4-a)i)p (s-f- ,rt)? ( Cauchy, Lim. Imag. N'. 102, 106 "/(^ d X = xi)P(.s — xi]i aA I P — 1^ , P + 1^ \j o 1 o / ^ Cauchy, Cours. y\a; — r — st a; — r -\- si/ ^^v' ^'^■ 5) = 2 TT g Cauchy, Cours. Le?. 32. — Grunert, Gr. 2. 266. 6) / _ + \dx= Grunert, Gr. 2. 266. y \a; — r — si x — r -\- sij Page 67. 9* F. Alg. rat. fract. a autre den. TABLE 30 suite. Liin. — oo ct oo . 7)/ ^ = V. T. 113, N'. 17. et T. U7. N^ 8. /(p + xi)"-^ T(a)r(b) \ 1— » — .rO^ + i r{a+J) -- ^ • I JCayley.L. l?.23l. [ dx %n 10) I = Ohm, Ausw. 8. yi+a' + af' 1/3 C dx Zn \\)\ = Ohm, Ausw, 9 71 — -^4- ^' V/3 I ar — a 12) I ^ dx = a, pour — x = — « (°^ ) ; Cauchy, Cours. Le(j, 88. 13) =0 j / Oettinger, Cr. 35. 13. _. 1)1— p \ 2) / dx ■= — n Cosec. p n fdx 1 J aP p — 1 I 3)/-= Baabe, Int. 120. 4) = » .p 162. 'j «4+c + 2 iA+c/1 ^ J a;*+<' + ^ 9)/^^ = r^ — -pnCosec.pn = r -'' 7 a;4-c + 2 ic/-ii6-c-i|i^ ^ j a!*-<=+2 1 1 \ I V i __ _— ___ I '. i dx\ 'j a;a±26+c ia±26+e-i/i J a!»±24+c >Oettinger, Cr. 35. J 3. f{xfi — l)<'dx llfr'^l"^ 12)/ = — J ^'''+«-' c _^c__^,ji f dx 13)/ = oc CxP d X 15)/ -^ dx=V,{p,q) Binet, P. 27. 123. 7 (1 +^)P+? ^ C dx> n 16) / = - Haabe, Int. 136. — Ohm, Ausw. 3. 71+^2 4 17)/ — dx ^ Sec. \- --] 'j xP+ (1 -fp)*-'/' lc-*+M '^ J /xP~^ — x~P~^ n „ pn (f/p __ 5gg_ — Malrasten, Cr. a8. 1. i^ — x-l Zq Zq F. Algebr. irrat. fract. TABLE 32. Lim. 1 et oo f(x — l)P-i , ^ \ 1) / dx = n Sec. p n \ 2) I dx = TT Sec. p IT 3) I '^ ^^— dx = -^— ^ — TT Sec. p n J X* 2 f(x — ly+a+i , (1 + 2 p)«+i/2 (1 — 2 »)*/2 ' /•(« — 1 )P+*-i , Oettinger, Cr. 38. — l)P+i-i — — ^^ /"f if— !)?+<•+* (l + 2»)<'+'/2 iix — l)p-*— i 7 .ira-i+2 ' (l+2p)*/2 1a-*+l/l ^ / .Ta-6+2 7j(f_ ^ '' dx = - Cosec. ""^ Oettinger, Cr. 35. 13. ' J X h h b b /•(a;* — 1) 6"^ (6^':/*(6+a)# an- an /•(«* — 1)~6"*^ , /, a*\ L a*\ / a*\ « 1 ^ a ttI Oettinger, 9)/- ^T"^ ^<^ = 1— TT *— lT ••••'•■' — .ThlTT; . . T Cosec. — > Cr. 38. 7 x2ft<~9-c)- x<'i9-€)+\ {b~-a)9/l' V-g/i ' b Page 70. F. Algebr. irrat. fract. TABLE 32 suite. Lira. 1 el oo. 4.C 11) C( rb 1^6' TC 0,11 \ ^.f tl dx = {—\Y~ Cosec. —■ Oettinger, Cr. 38. 162. J X bo C\^'^x^]\ x) , T{a + \)T{b-a) 12) / -\ — ^-^ '— dx = Z^-i-i — --"— r-'TT Schlbrailch, Gr. 6, 213. 7 / , . 1 *+i r J+. ..ir dx In = - 7T Cosec. - x^ix-" — 1) 2 — l)i 2 2p+l TV Sec. p Tt an = - Cosec. —~ ( Oettinger, Cr. 38. 162. dx n an = (~ 1)<: 7 Cosec. ~ ■-+C h b {xb — lf f dx , , (6 + a)<:/* a69-c- 1 ^ an I :: — = I — l)g „ . ':,: :—, — n Cosec. —r' J xi IX , , (0 -\- a)'-'" aoy-'--' aii = ( — 1)9 — TV Cosec. — , «+„ ^ ' a9/l> lo-g/ia + bc b Xb — 1)6 ^ -3)6+1 (a;6— 1) ] F. Algebr. entiere. TABLE 33. Lim. etj). ,/. 4b I '/ %) \ xdx\y[p'' - x'^)= - p^ Sohnke, Samml. Page 71. 3)lx^dxi^{p^—x^) = ~p*n, F. Aljjebr. entiere. TABLE 33 suite. Lim.Oetp. ) Sohnke, Saraml. 2*/2 /• 2W2 5) / ar24+i da; I/- (p» - re' ) = ^^^^^ p^b+s ] 36/2' /l*/2 TT ixV/(o«— a;»)2*-i = — »2*- 26/2^ 2 8) 7 6 + 2 '^ Dienger, Cr. 38. 266. 24/2 /16|2 1<5'2 ar2*da;l/-(»»— a;n2<;-i = — —— o2,i+c)_ ^ ' 2*+«'2 2 /1 6/2 2c/2 a;2* dx 1/ (p» — ar')2c = . ^ a2(M-c)+i ^ 36+0/2 F. Algebr. fract. TABLE 34. Lim.Oetp. * — — [ dx 1)1 ^ = Arctg.p Kaabe, Int. 136. f kdx 1 2)1 = — JT, poar A = 0; Schlomilch, Gr. 11. 63. ^'/?^=- ( Bidone, Mdm. Turin. 1812. 231. Art. 1. N°. 31. —Plana, Mem. Turin. J Q I 1818. 7. Art. 1. N. 4. ' Zp Zp] /dx = Arcsin. p , p^ 2A+l 12, f ^^ = iFf^ J l^ (P^ — x^) (b^ — x^) b \b 1^1 [ ^' ^-^ A I V' (^^ T?' (pW (Poisson, L. 2. j\^ip^—x-'){b^ — x^) 3 1\ ^J^j \6/ \ 6V \*/i. _,/" iE^i^ 16/2 \ la)/ ; — - = V" Tt ^ '^ J ]^ ip X — X') 2*/2^ i 16) [^ 1/ />--c-^-^PZ^r_ J _J_ IVf M-r+l ( Rogner. Mater. 7 .-c /)2_^2 2 I 2n— 1 i2''/2 \p/ J -* [ 17) t ^f = -^ 1 i^^y-' (p-Y jl-^(p—x){Zbx — x^) 1/26 \2"'V \^^} I ^o^/^ <^^ _ 1 [, 1^(1+9^)— (l^l—io) ,;V^(l+g')+l)p »; Dienger, Gr. 10. 341. 7l/{(6' + p'— ^^j(6>^— (6^+p^)a;^+a;*)} 2 ' =^' 20) /t: — ^ = y)K) IL_^ Winckler, Cr. 45. 102. F.Algebrique. TABLE 35. Limites diverses. C dx \)\ — = — 00 Cauchy, Cours. Leg. 24. ] _^x 2) / {l — p^x')1-idx = Lindmann, Stockh. Handl. 1850. 111. Jn 27r(? + l)2p Page 73. 10 WIS- EN NATUCRK. VERB. OER KONINKL. AKADEMIE. DEEL IV. F. Alg^briquc. TABLE 35 suite. Liraitcs diverses. fp_fl_f_ ^ 1 2- (i-ill\ _ Z' (^^ |i Lindraann, Stockh. Handl, 1850. HI. apres la ditf^rentiation on doit mettre q au lieu de r; ; Sur les int^grales 4). 5) voyez Cauchy, Sav. Ktr. 1827. 124. Note 16. 6)/ f^ ,s =l[p-\-^^ip'-^)\ .P^i; Ohm, Ausw. 10. 7) f- ^^^ = -_J=1^- ^.ei,. ^^f^4; Raabe. Int. 421. Poisson, 7^V/(x>— a»)(6» — «») b \b ) [ 184. 10) r "*'"- =q2fl + '''V'|V(6'-a^)}-fF{l,/(6^-a'-)}l a 11)1 — = 00 J 'J x^ — a"^ { Bidone, M^m. Turin. 1812. 231. Art. 2. N. 31.— Plana, M^m ^*^ " 2a 2a t dx .1 18 , Turin. 1818. 7. Art. 1. N. 4. J If — == i -XP Schlomilch, Gr. 4. 71. — Arndt, Gr. 10. 225. 7^a;(^+l) p C dx 11 + Co», A, \A.\\ = —I Legendre, Exerc. 5. 76. ^ 1] x^ —1 2 1 — Cos.X 15) r — = Cauchy, Sav. Etr. 1827. 599. P. 2. § 3. — Matzka, Gr. 20. 1. J — n —P Page 74 F. Algebrique. TABLE 35 suite. Limites diverses. J [b — x) {x — a\ ^^)t T~~ — 7~, T = , r; T, Cosec.pn , b <'a; j ', Ramus, Cr. 24. 257. r 18) r _„J«+^)*:i(^^-l.l^^ ^ _ r(6)rW «*l!r!___ Winckler, Cr. 45. / {g{a-\-a;) + h{a~a;) + 2k}'>+c 2T {b ^ c){ga j- kf (ha + ky 102. /■'d ^ 1 fq\ ^ 19) / — = - I {-] —la Arndt, Gr. 10. 240. J ^x 2 \pl 20) = Z - Ohm. Ausw. 1, 2. 21) = -/ i-\ Matzka, Gr. 20. 1. r rf^* 1 f t/(l+r')4 . t/(l— p ) t/(14-r^) -t/(l- g)| Kaabe, '] {r^^x)\/{l-a;') v/(l~r^) {i/(l+r2) + ,/(l -<^) v/{l+r^) — l/(l-p)j !"'• ^^l- P .a— 2b {a— 2 6)°-! 2:3)1 /c(a— 2 6— a-)"-' dar -= '"- '"',n iioj,^e, Cr. 40. 142. ' f a (a + 1) •' F. Exponent... Forme e^". TABLE 30. Lim. et 00 ) / e— ^ d a; = )je-P^dx = - J P 1 Cauchy, Cours. Le?. 32. — Grunert, Gr. 2. 266. -, , , Cauchy, Cours. Le?. 32. — Cisa de Gi'esy, M^m. Turin. 1821. 209,11. N'. 45, — i)fe V «^ — „ Liouville, L. 4. 317. — Oettinger, Cr. 35. 13. — Grunert, Gr. 2. 266. Z)\p^dx = — — ,p < 1 ; Poisson, P. 19. 404. N\ 76. J ip 4!)feP='dx= 00 Cisa de Gresy, Me'm. Turin. 1821. 209. H. N. 45. — Cauchy, Cours. Leg. 24. 1 \ 5)/ 6)fe-iP+ ^_y _ _pg p 4 ^^_ Schlomilch, Stud. II. 24. 8) |(r-x+2pV-'x dx = peP^ \^n — \ V. T. 37. N°. 5. 9) / (eP» + e-P'^) e-x*-*p' dx = l^n Cauchy, Sav. Etr. 1827. 124. Note 2. ir-x ^\q pr—VX dm: = - r(p + 2 + i) 10)/(^^-l)..-P^cf.=. ^(^ + ^^^^^ Cauchy, P. 28. 147. P. 3. N^ 1. 11) = A' • - pour q en tier V '/ 12) / (e2px -j- ^-2px) e— x» dx = eP'i/7r Cauchy, Cours. Le?. 40. 13) I(e2px + e-2px) e-?»*> d.j! = -^^ e*' Schlomilch, Stud. I. 12. — Helmling, Transf. 7. 14) I (fiPl/x — e— Pl^xj g— « (i a; 3:^ pg4 j/'TT Helmling, Transform. 11. Page 77. F. Expon..Forme fract. a den. binome. TABLE 38. Lim. ct oo /dx — — = ' / 2 Cauchy, Sav. Etr. 1827. 599. P. 2. « 5. e** + 1 * fepi — e-P* 1 2) I dx = Cotp Malmsten, Cr. 35. 55. ' / «»* _ 1 p - '^ 3) /'"''--^ dx =, Z' ip) —Z(q) V. T. 5. N'. 8. J 1 — e— * /"I — e— P' 4} I -— dj, ==. _A — Z'(l- ») V. T. 5. N\ 3. / 1 — «' ——da! = Z'(l—p) — Z'a—q) V. T. 5. N\ 4. 1 — e* 6;/ — p^ = „'- i2 Lobatschewsky, U6m. Kasan. 1836. 1. II. N'. 20. da; 1 7) J X dj. == — Sec. ^— V. T. 5. N°. 17. / 1 + c-2/« 2 p 2 p -~ = — Poisson, P. 19. 404. N^ 77. — Kaabe. Cr. 42. 348. 4 feP'^ 4- e~P' re pn 9) I — ~ dx = — Sec. ^— J J ^' + «~9^ 2 5 2 9 ^ > feP' — e~P' n pn [ 10)1 dx = — Tang.^~ \ ' I e9^—e- 'r 'Jqrx_q-rx Zrlq ^ \ZlqJj ' Cos. p . Cos. q \ rr n Cos. Zp-\-Co8.Zqf ' ^ 2 ' ^ "^ 2 ' fepx .— g — px 1 1 1 13W '- dx ==■ Cot.-p Malmsten, Cr. 35. 55. 7 «2»x_i p z z^ /• (e2px.{.g-2px)(e2gx^ er-iq') 14)1 ax = Z 7 e« + e- * Cu'i px_,- 2px)^^x.e-^'l') ^^ _ ^ ^.-S^^^S'":? I Poisson, P. 17. 612. N». 21. J e'x.j.g-T* Cos.Zp-\-Cos.Zq] ift\ r*^''!_+il^ J _ ^ p Poisson. P. 18. 295. N^ 22. — Legendre, Exerc. 5. 45. — Malm- '\ e^*-\-e-^' ax — - >ec.p ^^^^^ ^^ gg j j^ ^^^^^^ ^BVi\:\yc \ Sec. \ p. Page 78, F.Expon..Formefract.aden. binome. TABLE 38 suite. Lim. Ocloo. n)i'^''"'~^~^'"' dx=-Tana v ^°'*^°"' ^- ^^- ^^'"^ ^"^ ^^- ~ Legendre, Exerc. 5. 45. — Malm- '/ g'^-^ e— 'i' 2 s*-^"' ^''- ^^' '■ '^'* trouve fautive Tang. p. r, „^ „^> , „, , > c,. Poisson, Mem. Inst. 1811. 163. 181 / (^P"- ^7''"H^ ±JZll)dx = '^*"-^ -^ » ^^- N". 26. - Id., P. 18. 295. N\ 21.- ''/ e^a:_e-a-r Cos.p4-Co8.q'^ ' Plan". Mem. Turin. 1818. 7. Art. 4. i\". 20. r(e/'^ -|- e— P^) (e?-t -j- e-?-^) 6o«. /? . Cos. q \ 'j giTK -|. e-iTx *^ ~ Cos. 2/) + Co5.i2g/ . ? < 't , P < ^; ^^fiev^ — e-P^)(e'!^—e- — e(9— P)^ , tt ,^ 7r\ 3) I — ■ dx=^ — Tang, f- 1 ^ ^ „. 'j e2p^_2^e-2p^ 2/) ^ 2p( ^ P > ?> 'e(p+7)i + e— (p+?)^ + e(P-9> + e(«-P)* t ^Tf) Raabe, Int. 148. ' ' dx =^ — Sec. — ) eipx j^ % j^ e-'^px 2p ipj 4 I n — X Sin. p epx j_ e~px JT \ a , ^ dx = ^ ^— V. T. 8. N°. 10. e?^— 2 Cos. I + e-?^ y _ pn Sin.X . Sin. — 9 gpx _J_ g-pz 6 / • , ^ . ' , . dx = ^ V. T. 8. N'. 12. /e9* + 2Cos.? ' — ~ X-\-e~9'' pn qSin.K, Stn. — 1 Page 79. q Sin. n . Sin. = i 2 V. T. 38. N». 6. J8 V. T. 5. N°. 24. F.Expon..Formefracl.aden.polyn6me. TABLE 39 suite. Lim. et oo . ^feP'—ZCos.l + er-P", ^ tn.\p-— I ^_ 7)/ ;; ~- — -dx = ^ ^—'- — — H^ Cos. k V. T. 8. N». 9. ' j 69' + 2 Cos. .u + e-?-' ^ jj .^ _ ^ .^ Pjr q Stn. ,u ']^V'-\-e-P^')^ ~~ 2p» 7(e^ + e-^)2p 4r(2p) T- ^ — ^- dz 5= — V. T. 38. N'. 6. /eP' —1 1 dx ^ -(1—m V. T. 38. N°. 6. [eP'+D^ p^ ' 12) /;; ; = + i— ^^-^- V. T. 39. N=. 9, 'y (er + e-^)2p+i p22p+2 ^ 8r(2p) /{e2px _ e— 2px) (gTx — e— Tx) „ „ ^ dx ^ ^Sec.p, o<-; V. T. 38. N°. 16. ^ r. dx = -■^— 5ec.^, 9>»; V. T. 38. N». 9. (e9x + e-?x)i 2 J? 2j' "''^^' \h)l^--^ * ^^ /' -(ei'-e-9')dx=~ '—,p-\-q<'^; 38. N». 7 (eTx_e-Txj» ^ Cos.p+(:o5.f ^^^ fg /■ e(?-p)x + c(9-p)x 1 16)/-^ r^~r^ d3! = o B(p,<7) Binet, P. 27. 123. 'J (gx ^ e-*)P+? 2 u" ■//, •> ^ ^ ' K Meyer, Int. D^f. 312. i«x _ r(g + />)r(?-y) ^ ~ 2r(25) J 19)ff^x_ _-I_L-(,+.)x d, == — i— ^^^^^^P-g^ V. T. 22. NO. 16. 7 1 (l + e-'W 9-p + i r(p) 20) f «^^^'J__ ,^ = .V4 ^ - — ^ V- T. 39. NO. 1. *"7 (e? 4- e-' — 2 6'o«. i)2 4 Sin. ^ ^ 4 i _ Cos. X ->/: '—pitStn. — ■(gx_e-px)(,,x_,-,^) ^^ ^ 2_ . p < 1. V. T. 39. N'. 5. („x + ,-,x+2Co,..)» ,5.-n.A.5e..^ Page 80. F. Exponent. TABLE 40. Lim. — oo et oo I) je^ dx = oo Cauchy, Cours. Lep. 24, 2)leP"dx = Poisson, P. 19. 404. N°. 69. 3)/e— ^»d^ =1/ TT Poisson, Chal. 74. — Grunert, Gr. 2. 266. 4)/e— P^' (far = e^4-4P''' p/ - Schlomilch, Stud. I. 13 } P P 15) =(l+i)e 4^1^/ _ ~P( Cauchy, P. 19. 511, 2p; Page 81. 11 WIS- EN ^ATUURK. VERH. DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL IV. F. Exponent. TABLE 40 suite. Lim. — oo etoo. dP'*-^')>dx = (l+Ae p 1/ — Lejeune-Dirichlet, C. K. 8. 157. Zp 181 /«— {i'+P+2?') tiiT = e-P+1* i^ 71 Fourier, Chaleur. 364. 19)j'e-(P-'+«x+r) d^ ^ r^%V-- silapartiereelledepestX);) ,i,^^^et„„„J ^Exerl' ( imagiuaires; | 1827. p. 20) = 00 , si lapartiereelle clepest<^0;' ' 283. 21) le~^''^~xi dx = e-Wpi \^ - J P 22) je 4xi dx = e-* v^ 3T > Cauchy, P. 19. 511. 23) fev'^'^^J' dx = (1+i) e^'VP9 \y ^~ J 2p 24)/e~('"''^'v' dx == (1 — i;e-2'V>? 1/ - J ^PJ J p + q^ 26) le '^ I p-9«' dx = — \ Ciuicliv, Exerc 1827. p. 233. ; 9^—P I 27)[e~''l^yp\ dx =^\^- 28) i dx = - Cosec. — V. T. 22. N°. 9, J 1+ e-'" a a (eP^4-e-P' , TV pn] 29) / — -^ dx = - Sec. -~ \ '] el' + e-9' q 2ql /eP^ — e— P^ Tt „ pTi\ dx =- ~ Tang.'—-\ eqx — e-1' q 2qj f e'p-?)* 1 31) / dx == - B (p , q) Binet, P. 27. 123. j il+e-')1—l ^ z' (p 4- <7) — Z' iq) V. T. 22. N'. 3. Ohm, Ausw. li. 32) Page 82. F. Exponent. TABLE 40 suite. Lim. — oo et oo. 33) / / ^ ] dx = k-\-Z'{p) V. T. 22. N'. 17. 34) 1 1 1 \ j^ _ 2' (p]—Z'{q) V. T. 22. N". 18. F. Exponent. TABLE 41. Limites diverses. ■ ( dx 1 1) / = l[\ —pe-9) Hoppe, Cr. 40. 139. 3 f—V P f . 2(7 . So ... . / e-^'' dx = ^ Oettinger, Cr. 35. 13. 2), ' 3)1 a;-P''dx = 2' Kummer, Cr. 17. 210. •' 0"—' 1 n" 4)1 e^<^V''dx = - (e2a e^<^ + — | Dienger, Cr. 46. 119. '] a\ 2a^2a/ ^ f^ «? — 1 5)/ pV'^dx = ~ Meyer, Int. Def. 98. J, 9iP 6)je'dx = e—l } Moigno, Int. 33*188. /•'^ dx 8)/ -^^-; : = , p }^ Tpe^^^qe^ ^ ^M Ohm, Ausw. IS. 9) =27r , p >5;] 10)1 p^dx = ^-^^-^^ Jo - ^P Meypf, Tut. De'f. 93. J -I P''P J Page 83. " 11* F. Exponent. TABLE 41 suite. Limites diveises. 12)/ &>^i dx = Poisson, P. 19. 404. N». 78. —It 14)/ (pe^O^dx = •' — T / dx : Ohm, Ausw. 18. r 2 16) I (/je^')? rfa; = ~ pi Sin. qir , q -eCH; •' — «r 5 r da; 18) =0 ,p>?;! 19)/ e-""*/" d.F = --pa Cauchy, Exerc. 1826, p. 205. )/' ■'' r" (e^')«+i dx ^^n ~ZT^ cTwTi — r~i — Sw^ ~ ^ Dirksen, Ber. der Berlin. Acad. 1848. 120. -2e"(7os. i + fiS^') )/ e'dx = I Ca 21)/ c*dx = 1 Cauchy, Cours, Le• — 1; c'est rint^grale Eulerienne de seconde espece. Voyez: Legendre, Excrc. 2. 54. — Id., Mem. Inst. 1809. 416. N\ 53. — Binet, P. 27. 123. — Cisa de Grdsy, Mdm, Turin. 1821. 209. I. N', 16. — Schaar, U6m. Cour, Brux. T. 23.— Lejeune-Diriclilet, Cr, 15. 268. 3)1 (l-\ dx = Z Plana, Cr. 17. 1. Page 84. F. Logarithm.. Forme rat. ent. TABLE 42 suite. Lim. et 1 . 4,)l {l-{-l{l+pw)]dx =:^ -^^l(l-\-p) Dienger, Cr. 38. 331. 5)llai.l{l—x)dx = 2 7r» V. T. 152. N^ 9, T. 160. N^ 9 et T. 42. N^ 2. 6) jlla; dx = — A Mascheroni, Adn. p. 18. 7)l{l({x))}Pda; == {—l)l>r(p-{-l), — oc>p>— ]; Ohm, Ausw. 14, 8)jil-Y dxll- --= Z'(p)r(p) V. T. 377. N". 1. ^)\l{xJf-q)dx = {I J\. q) [l[] Jf. q) — I) —. q [l{q) — \) Kaabe, Cr. 25. 146. F. Logarithm.. Forme rat. fract. TABLE 43. Lim. et 1 , 1)/— = k + lo Cisa de Gresy, Mdm. Turin. 1821. 209. Art. 1. N°. 25, 27. 2) = — 00 Legendre, Exerc. 3. 57. f d X n 3)/7-m7 = Cosec.pn V. T. 126. N\ 8.. C dx ^jTfx^ 4)1—— := Mascheroni, Adn. p. 18. 5) /, — = - Zi. ?:> Schlorailch, Gr. 5. 204. J l~ ' ^ ~ d X 1 lp-\-lx p q — Ix d X q -\-lx 6) / — = — e? li. (e-'i) V. T. 129. N\ 4. f da; If T ) 8 /• .,..,. = - 1^«. (g) Sin. q— Si.iq) Cos. q + Cos. n} V. T. 130. N". 4. 9) / ^ Z' da; = Ci. [q) Cos. q + Si. ( 1; Arndt, Gr. 10. 247. f'^dx . Sclilomilch, Gr. B. 201.. — Mascheroni, Adu. 4 propose de I'appeler hyperloga- 5) / y— == li.ip) rithrne. — Voyez sur le Logaiithme Integral: Soldner, Theorie et Tables d'une •' '" nouvelle fonction transcendante. Munich. 1809. J /■« d X \ fdx , ..isa de Gresy, Mem. Turin. 1821 209. Art. 1. N». 27. dx ' 1 ~ e I- . X j Page 87. F. Logarithm. TABLE 45 suite. Limites diverses. /ao dx ~[ = — =« Cisa de Gresy, M<5m. Turin. 1821. 209. Art. 1. N». 27. 1 I - a> ti dx 10)/ — = 00 V. T. 112. N". 4. [ dx 11)/ , — ; — == — » V. T. 150. No. 6. Jo ^^+? /' dr -= 4- oo V. T. 149. N». 15. r 11 13)/ d.r l/Z - = - 1/ TT V. T. 112. N", 6. y 1 X 2 e /' dxlx 1 1 V. T. 112. No. 5. rT?^- da! 1 TT 16) f ' — r— = -T— V^- V. T. 150. N". 1. F.Circ.Dir.rat.ent. TADLE 46. Lim.Oet- 4' 1)1 Tang, xdx =2^2 Meyer, Int. D^f. 121. [ „ (—I)" \ 2) / Tang." xdx = .2" . ^ . , J f „ a— I ( — l^n I ;j)/ 7an^.2» arda: = (— !)<• - + -S ' „ ^ r) J 4 2a — 2n — l' n « ( — 1)» Arndt, Gr. 6. 484, Cauchy, Cours. Lcc. 32. « (— l)"f 5) / Tang.^^+i xdx = (- 1)" ^^ 2 + (— 1)" 2 ^ — - C 1 .) / Tawi^.aa+i xdx = (- 1)" ^ i 2 + (— 1)" 2 Page 88. F. Circ. Dir. rat. ent. TABLE 46 suite. Lira. Oet|. 6) / Tang:^<'+^xda! = (—1)" - Z 2 + ^ — Arndt, Gr. 6. 434. j ^'2^o2a — 2n 7)jTang.P xda; = - Iz' i^-^\ — Z' (^^) } V. T. 3. N». 13. %){Tang.Px.Sin^ xdx = —^ JZ' (^-^) — Z' (^~^)f ^' '^- *6- N'- '- 9- 9) / Tang.Px. Cos.'' xdx= -^- Iz' (^^) — Z' (^~^) [ + " V. T. 4. N'. 18. 10) (TangPx. Cos.Zxdx = -— - |z' l^-Y^) — Z' (^~^)} ^' '^- 46- N°. 7, 9. 11) |cos.P-i 2«. Tang. xdx = — - jz' |-J — Z' (^-^ )[ V. T. 3. N°. 1. lZ)j{CosJ'-^%x — See.P2x)Cot.xdx = nCotpn V. T. 5. N°. 6. 13) / [Cos.V-'^ Zx-\- Sec.P 2 a;) Tang, xdx =- n Cosec. pn V. T. 5. W. 1. 14) l(Sin."+^ 2^ — 1) Tang. - + x] dx = ^ V. T. 3. N". 4. 1 5) / {Sin.1 2x— Sm.P 2 x) Tang. W + A dx = ~\z' [p + l) — Z' {q + 1)| V. T, 3. N '. 8. \Q)\{SinJ>2x — Sin}~P%x)Tang. [^ -\- x\ dx = -nCot.pn V. T. 5. N". 2. 17) / (Sm.P-1 2 ,3; + Cosec.P 2ar) Tang. \^^ x\ dx = - n Cosec. pn Y. T. 5. N\ 1. /■ 11 18) j {Tang.P X + CotJ> x) dx = -nSec.-pn V. T. 5. N". 11. '/< 19) / (Tang.P x + Coii' ar) Sin. 2 xdx = ~ V, T. 4. N". 2a, Page 89. 12 WIS- EN NATUURK. VERB. DER KONINKL, AKADEMIE. DEEL IV. F.Circ.Dir.rat.fract.uden.monome. TABLE 47. Lim. Oet-. 4 1) /t; ^ dx = ^ ^ , \\ V. T. I. N«. 4. f Cos. ' 2 2^ Page 90. TT F.CircDir.rat.fract.aden.monorae. TABLE 47 suite, Lim.Oet-. 4 V. T. 5. 10. f ^ „ Cos.lpn.Cos.lqn v 16) I riangj' x-\-Tang-p x)(Ta7)g.?l;) ,, [ Tang.'^xdx ^ an «— i naiti 'i c-\-h-\-n\ lc-^n\\ ,. . ^ „ a;r J.''=~*) ^. naixi I b+c — n\ I c+n\) 13) =Coaec.—-- 2:{—lf-^Sin.-—VL'\-~ — _Z'(-— U, pour a + i pair; [TanqP x -\- CotJf x , n Sin. p X 16)1 ^. — — ;■ dx = — ^ — - V. T. 7. N". 7. 7 l + Sin. r - ^'- ' fNM3,14. 2 X. Cos. X Sin. p IT . Sin X . a; , 1 S '^"*- " ^ dx = ^ ■ Cos. X Sin. X I n (n -j- 1) . r 1 — Tang, u, , * ^ ""'• » » 17) I r: ^ — - dx = — —r 2 V. T. 7. N°. 22. 'jl—Sin.2x.C" ' ^- ' -/- . l^ f l—Tang. x Cos. X—Tang.''+^ x.Cos. {(a+ l)X) +Tang.<'-^^.v.Cos. a X « Co«. n A. y T 7 ^"^7 l-Cos.X.Sin.2x '^^^f 7+7 N'.IB.' /5m. i — Tang." x. Sin. Ua+l)X]+ Tang.<'+^ x. Sin. aX " Sin. n X ^ ^ / ^ dx = 2 V. T. 7. N». 16. 1 — Cos. X, Stn. 2 X 1 n -j- 1 Page 92. F.Circ.Dir.rat.fract.aden. compose. TABLE 49. Lim. Oet-. f TangP oe -\- CotJP x n i^i.^nVTS f Tang-x.Cos^x l^g |a + ^^ 2n^„,fi+i\ , «„, /«\ , 1 V. T. 8. 2 — a ± 16 , r -Smi'-iZj; ^ I r(p)r(') 5) / — dx = ^ ^^ V. T. 4. N". 3. 7 (Cos. a; + Sin. xfP iP+i T (p+^) CTanq.l x — Tanq.P x d x "'/ L.-Sinl 61;^=''"+'"-^"+^' ^■^•'•''"- /(7o<.? A* — Co^.P X dx Co...-Sin., ^ ■= ^' f^-") - ''■(' -«) ^- •'■ '■ "•■ *• [TanaJP—^ x 4- Cot.P x dx Cos. X -\- Sin. X Cos. x . ^Tang.P-^ x — Cot.P x dx 9) / t; = n Cot.pn V. T. 5. N^ ' Cos.x — Sin.x Cos.x f- f CotP X — 1 dx ^^)j:^—r~^~ Tzrz - A-Z'(i-p) v. t. 5. n^ 3. Cos. X — Sin. X Cos. "angj" x — CoLP x Cos. x — Sin. X Cos, x , ^ , fTangJ> x — CotP x dx 1 ^^^j r.,^ cv.^ ;r7T. = ^ Cot.pn-- V. T. 5. N'. 5. f Cos. 2 X dx 1 1^ / . , o- o — 7^-, ;r-T~ = ^0^- ^ ^ (2 (1 + Gos. I)) + - Sin. X — \ V. T. 7. N°. 6. J\-\-Sin.%x.Cos.l Cos.^ X i v ' ''-' ' 2 /■ran5r.P.j;4- Tang.lx dx 1 tt fo — p n) 1^ /~^r T r;— ^. ^ = Sec. \- -} V. T. 31. N^ 17. J TangP+q X ■{: 1 Sin.2,x 2 p+? \q + p %} [Tang.lx — Tang.P x dx In fo — p n\ ^^)\~~^ :; . 17. = X Tang. {- -\ V. T. J Tang.P+~ ^ ^ SinJ> X dx Sin.x)P Cos.^ X 1 , TT V. T. 31, N". 20. 1+p /Sins' X dx 1 - == — 71 (A)sec. p {Cos. X — Sin. x-f Cos. 2x2 f Sin.P X 25) f = J (Cos. X — Sin. x)p— ■' Cos.^ X 2 p7T Cosec. pTf V. T. 31. N'. 22, f Sin.P X dx 1 ^ 26) / = - TT Cosecp 71 V. T. 4. N'. 6. ' J (Cos. X — Sin. x)P Sin.Zx 2 ^ fTanq.P—7x+Cot.P—^x dx 1 , , , 27)1 ^ — = -B(»,o) V. T. 5, N". 26. 7 (fan^. or + Cot. x)P+9 Sin. Zx 4 ^'^ f Tang.^Px+ Cot.^P x dx _ T(p + q)T{q- [Tang. x + Cot.«)2? Sin. 2 a; ~ ? T (2 3) /■ 7anff.2p x-^ Cot.^Px dx r (» + o) r (o — ») 28) I ^^ — = ^ — — V. T. 5. N". 26. Tt Sin. '^ f TanqJ>x-\- CotPx dx 'a 29)/^, V^T-^ ■ ^^ , ^7: = V. T. 8. N». 12, 'J Tang.^x+CotQx+ZCos.X Sm.Zx „ ^. , r,. i»^ J if ^ ^ ZqSin.X.Sin.^— Zq [Tan g.Px->rCotJPx~Z Cos.x dx ''^*"- (~V^ ii — nCos. I 30) f = i - L 4_ V T ft N° ') 7 ran(;.9jr + CoWar— 2(7o«..u Sin.Zx X l«+*/2 2a+4+l r Sin ^P V 1 10)/ 7; , X ' \, d« = - nSec.pn V. T. 12. N°. -17. J Cos.P+^2x.Cos.x 2 '^ 11) /'' ^ i dx = -J— I— nSec.pn V. T. 32. N'. 3 , f(Cot.3!—l)P-i 1 12)/^ — dx = -7i:5ec.»7r V, T. 32; N°. 1. J Sin.Zx 2 ^ Cos. ^ Zx Cos. ^ 2ar 15) 1(1/ Tanjf. .« + 1/ Co<. a;) dx = - tt v^ 2 V. T. 15. N". 2. 16) /(Cos. 2 «)«-*. Cos. (»rawa. a) ~ = - /l+l'(_l)'> — ^^^' " }v. T.192.N°.( J ^ ^ Cos.ao+U- 2«+2 1°/il^/ ' l"/'(a+l)"/il Page 95. F.Circ.Dir.irrat.fract.aden.dedeuxfact.monomes. TABLE 51. Lim. et-. 4 fCo a-iix— l . 1 Tang, o! 1)1 '"'^'"' " dx = ^11 V. T. 15. N^ 5, dx 1 = - TT V. T. 12. W. 10, J Cos. x\^ Cos. lie 2 S)/ ^ ,^'"'!, o d^ = 1 V. T. 12. N». U. 4)/ da; = V, T. 12. N'. 18, Cos-^'xi^ Cos.Zx la/2 dx = z V. T. 12. N». 12. Cos,2 a+i a; 1/ (7os, 2 « 2'V'2 2 6)/ ^ , l- —-^ = 1 — ^ {- — — [ (2n— l)p2» V. T. 12. N». 14. 7Cos.» a; Cos. 2a; 1 (. 2"/^ ) ^ ^' ^f dx ■ Co8.*x—p^Sin.*x cF(c) + 6F'(6) 6 — c ,„,„ oil 2c> = ^^ 5^-^-!- , 2 i' = '^ ^*^ ^> ; V. T. 13. N'. a, 14-p 1+p ., r Sm,M2^ , 2 r(» + i)r(i— B) „ f2»— i l «) I ;; ;; — dx = ^^^ ^ ^' Sin. \ — n} v, t. 12. N'. jCosJPix.Cos.x 2p— 1 l/nr (. 4 I 13, 9)f ^-^l / Co».*«-2*+2 X 5tn.2a-iar , . 20/2 1 dx == (— 1)*-' -T-r^ T?-^ ^- !'• ^2. N°. ig. (7o«.*-l2a! ^ l*-'/2 Sa-i/a 2 a f Sin.^<'x . 31-1/2 TT 10)1 ; dx = (—1)*-! V. T. 12. N". 21. 7 Coa.2<»-24+3 ar. Co^.J—i 2 a; 1*-V2 4<'-*/2 4 r(Ce^.^-^5in,^)^ ^W:*. ^^ _ i^inA2 ^ ^ ^^ ^, ^^ 7 Cos.''+»a; 1/Sm.a; 2''+W2 /(Cos.x — Sin.xy-i ^ l"!^ „ m ,. .r « ^ '- d* = — - 71 V, T. 15. N'. 7. Cot.<'+^x\^Sin.x 2<'/2 „ C{Sin.x — Cos. xy>+l , 8p + 1 ^ ,r m ,, xt« , 13W^ . — dx = n Sec.pn V. T. 11. N". 1. 7 SinP-^^x. Cos-' X 2 ^ {(Sin.x — Cos. .t)p— i , _ ,r m , , XT, » 14) /^^ ; dx = n Secpn V. T, 11, N', 2, 7 Stn.P+la:.Coa.a; ^ n)( — = — F (Sm.— ^ V. T. 15. N', 11. 'jiySin.*x.Cos.x l^Cos.Zx 1^3 \ 12/ Page 96. F.Girc.Dir.irrat.fract.aden.dedeuxfact.monomes. TABLE 51 suite. Lim. Oet- 16) / :7— ; :; -^ = I" Cos. — ] v. T. 15. N'. 12. 'J IK i'm/c. <7o*.* X l^Cos.Zx ]y 3 \ 12/ ffyTang.x dx 1—1/3 /^ tt \ 2|/3 / n\ 17 / — -^— = !^-— I" Cos. — ] 4- -^^— E' Cos.— V. T. ^ J l^ Cos. 2 x Cos. X ty B \ 12/ ^ 1^-3 \ 12/ f \yTang.^x dx _ 3 1/ 3 ^, /^. jr\ 3 + 2lx3 _, /_. tt 7 1/' 12. N'. 15. 18)/ ;7-^ ^ = -^ WSin. — \ ' I" Sin. — ] V. T. 12. N^ 16. "--Cos.2xCos.x 1^3 \ 12/ 21^3 \ 12/ TT F.Circ.Dir.irrat.fract.aden.afact.binoraes. TABLE 52. Lim. Oet-. 4 1)/- ■ = TT V. T. 15. N". 6. y t — ' da; Cos. X \X Sin. X {Cos. x — Sin. x) f dx 2 2)/-— — = ;ri/« + |/(l-J-»)} V. T. 15. NO. 10. J Cos.xi^Sin.x{Cos.x-^pSin.x) i^p *■ ^ ^ "^ ^ ^^" 3j/'___J ^ ^ ^ 6ni = a ni=0- ^- ^' •^^• J aCos.x — bSin.x \^ Sin.x {Cos.x — Sin.x) l^a(a~b)' '" "' '^^ ' N». 15. 4) /;;; — r; t; = — 2 V. T. 12. N°. 2. Sin ax • dx 2"/2 Cos.a+^x ^^Cos.x{Cos.x~Sin.x) ~ 3«/2 Sin." X dx 1°/^ Cos.<'+^ X l^ Sin.x{Cos.x — Sin.x) ~~ 2"l^ 5)j^..„^, T—^;;^ 77. 7:r~. = ~. ^ v. t. 15. No. 9. ... f dx 1 6)17; ::; = I (l^pA-l^(\.+p)} V. T. 12. No, 25. ^J Cos.xi^{Cos.^x-\-pSin.^x) \^ p i^ ^'t i-- K TPJJ f Tang, x dx it , ^) I 7, — , , o. OS ;; = Ardg. p V. T. 16. N'. 6. J l^ipCos.^x -\- Sin.^x) l^Cos.2x 2 '^ ^ „, , ^ — 1 dx 8) / ~ — = i 4. V. T. 15. N"=. 5. . X Cos. X i \y Cot . X —1 J Cos. X — Sin. X I (1 — Tang. x)—l — 1 9)/ ^. V dx = 12 V. T. 15. N^ 1. om, 2 X in. I -^ dx n ^^)\m 1 7—77—.. 7. — — = - V. T. J6. W. 3. J lang.^x - Tang.^x + CoO x 1/ Cos. %x 8 ^^\{ CoO X dx TT 1 / 7r\ J Tang.^ X -\- Cot.^ X l^Cos.Zx 8^4 \ 4/ /■ SinJ>-i X dx ^^lliTr-- 5^ TTTl -7, — - = nSec.pn V. T. 12. N". 6. J [Cos.x — oin.x)P+i Cos.x Page 97. 13 WIS- E?i NATUCRK. VERH. DER KONINKI,. AKADEMIE. DEEL IV. F.Circ.Dir.irrat.fracl.adon.afact.binomes. TABLE 52 suite. Lim. Oet-. 4 f StnJ>—*x dx 2p— 1 _ „ „, ,„ „„ „ 1=3)1 ;; r ;:; = nSecpn V. T. 12. N'. 7. 7 ((7o». ar — -Sin. x)P-\ Cos. =• a; & ^ 14) / 5- J {Cot.x — '. dx 2p4- 1 nSec.pn V. T. 32. N'. 17. l)p+i (7(M,»a! 2 ']{Cot.x—'i)P+i Sin.Zx 2 &nj'-i2a; dx 2i-P r(p4-') F (1— p) = _ nSecpn V. T. 32. N'. 15. f I Sin.x Y j \Cos.x — Sin.xj )^P Cos. X 1 — 2p \y n P dx Cos. X 1/ Sin. X (Cos. x — Sin. x) Sin.^1 X, Cos.^ xd X 1 . P < i; V. T. 12. N\ 4. = nSecpn , p < I; V. T. 15. N°. 17. ^ = ^ Sin.qX.Cosec.lB(^-^,^=A \?-}'- {Cos. X — Sin. x) Cos. {x-^X). Cos. {x—X)j ^ \ 2 ' 2 N=. 8 -Sin.ax. (7os.l-*<»2ar d rl^-±l] r(2-« f *Sin.a X. (Jos.l-*" 2 ar dx _ \ 2 / \ 2/ f l+(a-3\p+jo» 1— (a-3)p+pn V. T. 9 7 (Co«.»a:— />»-Sin.*ar)i''-l Cos^x ~ \^ {7r(a-l)(a-3)(a-5)} 1(1+ py-^ (l_p)a-3 ~j N'. i4 F. Circ.Dir.rat.ent.auiifact. TABLE 53. Lim. Oet-. 2 1) jSin.bxdx = , pour 6 2) 3) 4) 1 4a + l 1 2a+l 1 4a+3 4a 4a + l , pour b , pour 6 == 4 o + 2 ; , pour b '/ b) ICos. bxdx = , pour b «) 8) Page 98. — , pour b 4 a + 1 , pour b — 1 4a + 3 4a + 3 4a 4a + l 4a + 2 , pour b = 4 o -}- 3 Meyer, Int. D6i. 97. F.Circ.Dir. rat. ent.iiun fact. TABLE 53 suite. Lim.Oet-. 2 'f 1 5m. x dx , Meyer, Int. De'f. 97. 10) j Cos. xdx = 1 11) j Cos.* xdx = -'^ Liouville, Cr. 13. 219. 4 /la/2 n Sin.^"xdx = —— — Cauchy, Cours. Le?. 32. — Poisson, Chal. 78. — Dienger, Cr. 38.331. Sin.^a+^xdx = ■— Cauchy, Cours. Le?. 32. — Dienger, 38. 266. — Oettinger, Cr. 38. 162. 14) = ^ ^ 22a ' 12a+l/l Lobatschewsky, Mem. Kasan. 1835. 211. ( 1"!^ n 16) I Cos.^a^d^ — — Cauchy, Cours. Lee. 32. 'J 2<'/2 2 (^ 2«/2 17) I Cos.^a+\ xdx = — - Cauchy, Cours. Le?. 32. — Oettinger, C r(p) 19) = rrrrrr", Lobatschewsky, M^m. Kasan. 1835. 211. 2(|p)i/-l r. 38. 162. IS) jSin.P xdx = 2p—^ ^^'^'^ Lobatschewsky, Mem. Kasan. 1835. 1. 20) fsinj'-i xdx =-i^n -^-p-^ Kaabe, Int. 222. 21)jCosJ'xdx = -. -^r- Lobatschewsky, Mem. Kasan. 1835. 211. J 2^+' lr(ip + i)}^ 22) = 2P-I {LilP+2111 serret, L. 8. 1. 13) fco8.P-^ xdx = -^^n -^ A Eaabe, Int. 222. Page 99. 13* F.Circ.Dir. rat. cnt. aim fact. TABLE 53 suite. Lim. Oet-. 2 /Jo/l \a,'\ Sin.«a+l Zxdx = ^ ^22" Oettinger, Cr. 38. 162. 25) / Tang.^p—i xdx = - n Cosec.p n , 1 > p > ; Bonnet, L. 6. 238. — Oettinger, Cr. 38. 162. 26) iTang.Pxdx = i tt &c. ip :r , 1 >p > ; S^t^OO.""'' ^^^^" ^' ^°^' ~ ^'""'""''^' F.Circ.Dir.rat.ent..Fact.5m.''a;etunautre. TABLE 54. Lim. Oct-. 2 I) \ Sin.l X. Sin. [{q-\-Z)x] dx = Cos. — Serret, L. 8. 1. Cos. ^— \—q 2 Z)jSin.9—^x.Sin.qxdx = -^ — Cos. ^ Serret, L. 8. 489. /jr Ta-U 6 4- 2)<»— 4/1 Stn.s-'+i X. Sin.{{Zb+ i)x) dx = (-1)6 —— ^ ^, ^ ^ , a > &; Jacobi.Cr. 15. 1. 4) = , a < 6 ; Ohm, Ausw. 13. J IV -r ; i 2>— (26+l)^4'— (26+l)» (2a)»—(26+l)» 26+1 Ausw. 13. 6) /5z«.-..&-„.pxc/.= i -i^^^^ h-Cos^Jll i_P!_PJ:i!^^_..._PJ:^!=^Mi«^ j 7 ^ p2'-p^.4>^-p' (Zay-p^\ 2\ 1.2 1.2.3.4 12a/i j| Ces deux formules se trouvent chez Raabe, Int. 153. 8)jSin.9x.Cos. {{q + 2)x] dx = ^^— Sin.~ Serret, L. 8. 1. J I * 1 q-1 11) = 0, a<6; n)jSin.^^^x.Cos.2Bxdx=~ _^^^^,^^,_^^^^, (2a + 1)> -(26)^ 9)jl^n.9-ix.Cos.qadv = Sin.^ Serret, L. 8. 489. TV (a + 6 4- 1)<^'/> 10)/5tn.2<'x.Co«.26!cda; = <— 1)* ^^^ --^— ^f '«>^; ^^^°^'^' C""- ^5. 1. 12a+l/l ) Ohm, Ausw. 13. X.Coa.2bxdx = --;; ,^ , . „, — 1» — (26)».3»— (2 Page 100. F. Circ.Dir. rat. cnt.. Fact. ^^m". a; etun autre. TABLE 54 suite. Lim. Oet-. ■ ■ ■■ — ■ I I I. ■■ — .. — 11 -i.ii II. . ... . I I — I ..I ■ I I , , 'j P 2 2'^— pU^— ;32....(2a)2-p2 ( 1.2 1.2.3.4 P-^i J r ^ 12a+i/i f 1 pjr/»'- pn-'-p"- »2.1i— »2....(2a— 1)2— »'A) ] 4) / Sin:^<^+^x.Cos.pxdx=- — \ 1 —Sin.—i-^'^ — + ....->r' ~^, — ^ \ 7 ^ \^-p\Z'—p\..{la^\f—p-^{ p 21,112. 3^ 12«+i/i jj Sur ces deux formules voyez Kaabe, Int. 153. \^)\SiinJP x.Cos. \p\ x\\ dx = Cauchy, Exerc. 1826. p. 235. J I \2 /J 2p + 1 F.Circ.Dir.rat.ent..Fact. Cos."a;etunautre. TABLE 55. Lim. Oet-. \)\Cos.1—^x.Sj.n. {{q-\-l)x]dx = - Serret, L. 8. 1. — Id., L. 8. 483.— Kummer, Cr. 20. 1, C 1 « 2« 'Z)\Cos.'* X .Sin.ax dx = JE — Serret, L. 8. 1. 7 2a+i 1, a 3)jcos.1x.Sin.{iq-{.2h)x]dx={ x.Cos.qx dx = ^-—, ^T^Z^n T 1- - Id-' ^- 8- 489- " Kummer, J ~ r ^^-^!^^ + l r^^ ^+1 Cr. 17. 210. - Id., Cr. 20. 1.— I -^ / \ 2 / Lobatschewskv, Mem. Kasan. 1833. 211. — SchlOmilch, Stud. I. 24. ') = T^rJTT, ;; 7^ \^ ^^^ret, L. 8. 1. — Binet, P. {p + l)ZP+^B^^- + l,P^^+l] 27-123. 8) / Cos.9x. Cos.((q+2 b)x^dx = P°'^s°n- ?• 19- 404. N^ 76. — Id., Conn, des Temps. 1836. p. 1.— J '•^^ ' ' -• Serret, L. 8. 1. Q\(r„,a^ (r , at.\ ^^ ^ {q~b-\-l]l'n , Poisson, P. 19. 404. N''. 76. — 9) Cos.'ix. {Cos.{q-2b)x}dx=-~~^'i-—^^,qyb-l; Binet, P. 27. 123. - Serret. L. J ^^ 1 ' 8. I. — Jacobi. Cr. 15. 1. Page 101. F.Circ.Dir.rat.ent..Fact.Cos.''^etunautre. TABLE 55 suite. Lim. Oet-. /^ ^ r, , Sin.pn la/lrto Cos." x.Co3.{(a+2 p)a;]da; = — Kumraer, Cr. 20. 1. 1 1\ ir^.r,^ r^. (10 A «N ,1.7^ '" ^(P+^) Cauchy, Bull. d. So. Math, de F^russac. \\)jCotPx.Coo.{{U-p)x)dx = ^i6/,rfi_,_^_t^ 1825. N^ 2B0. - Hill. Cr. 7. 102. 12)[cos»x.Cos.2ba;dx = ~ —, h°5f',Vr''^' ^^"'" ^''""" 7 aa+i r(ja+6 + i)r(ia — 6-f 1) isss. 211. /jj- Serret, L. 8. 1 — Id., L. 8. 489. — Lobatschewsky, Mdm. Kasan. Cos1x.Cos.qxdx = 1835. 211. — Poisson. P. 19. 404. N'. 76. (la trouve faut.) — 2'+' Id., Conn, des Temps. 1836. p. 1. /Cauchy, Exerc. 1826. p. 205. — Serret, L. 8. 1. — Id., L, Cos.1—^ x.Cos.{{q-\-\)x]dx =1 8. 489. — Kummer, Cr. 20. I. — Lindmann, Stockh. Hand!. 1850. II. [ n l^+Vl \f>)\Cos.<'+f>x.Cos.{{a—b)x)dx=-~— Cauchy, Lim. Imag. 123. — Oettinger, Cr. 38. 216. ,e\/"/i a« r- oj. J '^ 1'°^' Cauchy, Exerc. de Math. 2. 368. — Oettinger, i6)jCos.-^<'X.Cos.Zbx dx = ^^^ ,„+j/, i,_4/i Cr. 38. 216. ^ ' 22"+' \a-bll I } Jacobi, Cr. 15. 1. „ (a + 6 + 2)"-*/! [ 22a+2 IQ— i/1 1 Eaabe, Int. 163. 1 8) I Coa.sa+i x.Cos. {(2b+l).r]dx = f iSa/l 1 1 1 9) / Cos.^" X. Cos. pxdx = Sin. - pn J ^ 2,^—p'^.4>'—p^....{2ay—p^p 2^ /I2a+1/I 1 Cos.^'+^x.Coa.pxdx = ; ; ^ Cos.- pn n)fcosJ>-^»x.Cos.pxdx = ZzIJttPl _!L_ 1 ^"^-^ ^ (^\ Schlo-ilcl. 7 ^ l*/ir(p) 2P+2*-l (p+6— l)"/-i \nj Cr. 33. 853. F.Circ.Dir.rat.ent..Produildedeuxpuissances. TABLE 56. Lim Oet-, f 10/2 16,8 „ l)lSin.i<'x.Cos.^''xdx = t— - Jacobi, Cr. 15. 1. i) = ^^ — i-J-U Schlomilch, Gr. 4. 316. 2 r (a + 6 + 1) Page 102. 7C F.Circ.Dir. rat. ent..Produitdedeux puissances. TABLE 56 suite. Lim. Oet-. At f X J."/** Til"/" 3) j Sin.^" xXos.^'>+^ X dx = ;— 7 -^^zTTir Oettinger, Cr. 38. 162. I i°/2 2*/2 : 2a +1 So+J/a f l°/2 li/2 4) ISin.^<^+^(r.Cos.^^x dx = Ohm, Ausw. 49. 3a+6/2 5^ /"^^Sa+la; Cosi!>+^xdx - ^°"^'^'^^" ? Oettinger, Cr. 38. 162. - Lobatschewsky. 5;iOt«. -r X.LOS, -r xax — ^^_j.j_^j,, 2(a+l) Mem. Kasan. 1835. 211. 6)f*Sjn.2p-1^.^0S.l-2pa;d^ =i nCosec.pn ^^T*A ^'oo' !?^ ~ Hettinger, Cr. 38. 162. - 'J 2 W- Cr. 38. 216. 7) / Sin.P-^ X. Cos.'}-^ xdx= ^^ ^ ^^,^ Eaabe, Int. 22?. /2*/2 \ Sm.^-i X. Cos.2i+i a; d X = -^-^ 1 9) / (?os a-i a;. »Sm.2i+i xdx = > Oettinger, Cr. 38. 162. r lal 16/1 1 10) / 003."+'' X. Tanq.^+^ xdx = 7 ^ la+6/i 2 6 11)/ (7o«.«+i X. Tung.^"+ ^ xdx 2 (a + 1) > Oettinger, Cr. 38. 162. la/1 la/ 1 ' * 2 . 12a+l/l 12) / <7os.2a+i ^ ran^.2a+i xdx f la— I/l 16—1/1 13) / (7os.2«+24-2^.raw.2a-i ^d^r = — — 7 2 . l«+A-i/i 14)/cos.2«-2a;.rana./'-i :rd.t- = ^Hp^^^'^ — yP) y rp gj jjo_ g 7 2 r (a) r / p— g + l \ ^ /P + 3 lb) j Cos.'^p-^ X. Tang.P—9 X dx = —A ^ / \ ^ / y^ rf_ g^^ j^„_ jq^ y 2 r (p + I) , f„. o ' ] \ o ; Lobatschewsky, Mem. Kasan. 16) jSin.'^+b+i a,. Co,.<'~b+i.r,J.^ _ \ ^ / \ » / 1335 gll J 2.1«+i/i Page 103. F.Circ.Dir.rat.ent..TroisFact.Sm.ouCos. TABLE 57. Lim.Oct-. 2 I /Sin.s<«-> X. Cos.S"-^' x.Sin.bxda; = 0, 6 > 2 a ; /(Cauchy, P. 28. 147. I. § 3. Sin.2<» X. (7oa.''--2«-2 x. Cos.bx d x = , & > 2 a+1 ,/^n.2a-i ..go.»^-..- .. Cos.2bxax = ^(^l^^ T? + yjy ^'7"^ 2T~s;mJol: 10 11 12 13 14 15 16 2 r (6) r (6 + ^) r (i — a) stud. I. 24. 12a— 1/1 12i— 2a— 1,1 \ (—1)" Oettinger, Cr. 38. 216. /]2a— 1/1 126 -2a— 1/1 \ Sjn.2a-26-l X. CosM-^ x.Cos.2bxdx== (— l)6-<» faj:.!! ) (sin.P-.-^x.Cos,-^:c.Sin.pxd:c = ^'~"' ^'~'-"' Sin. {^' n\ ), oupet, J ^ iP-i/i ) 2 ) / tioDS seul /I?— 1/1 Ip— ?-l/l fp n \ SinJ'—Q—^ X. Cos.1-^ x. Cos.pxdx = — — Cos. Y- -Tt\ ^ iP-i/i I 2 J / »StnJ'-i X. Coi.l—^ X. Cos. {{p^q)x)dx = B (p , 5) Cos. — Serret, L. 8. 1 des frac- ement ; Oeltinger.Cr. 38.216. rfp)r(?)^^^p7r\ ,2>p>0; r rf»Uf-^x.Cos.{%{a+b)x}dx=i-\)a ^,„^,,_^^, \' "^seulement; la — 6 — 1/1 7j 1? TT ' X. Cos."—''—^ X. Cos. axdx = ; Cosec. — l"-'/! l*-i/i 2 2 /IP— 1/1 ly— p— 1/1 p^ [■ Oettinger, Cr. 38. 216. SinJ>-^x.Cos.v—p—^x.Cos.qxdx = Cos. — ^ 19-1/1 2 /iP-l/l 19-1/1 pjT 5mij>— 1 a;. Cos.1—^ X. Cos. Up •\-q)x\ dx = ; — — — Cos. — Page 104. TT F.Circ.Dir.rat.ent..TroisFact.Sm.ouCos. TABLE 57 suite. Lim. Oet-. f (a — 2»)?— 1/2 lq-p/2 ip/2 ^ \ , ou » et o des 17)/ &«.2/'-i a;. Co5.2«-2/>-i ^. Cos. %qxdx = ^ ^^^^piji^ 2 <^'<'*-^ ^ fractions senle- \ ment ; r f2 2»^P + 2— 1/2 lP/2 l?/2 TT \ 18) /5m.2/'-ia;.Cos.2?-ia;.Cos.|2(p+9)a;}(?a! =^^ 2~Z5'~i7T Co<.;?7ryOettinger, Cr. 38. f „ A TT l«/i lQ)\Cos.<'X.Sin.bx.Sin.xdx = /„ . j i 3\ ia—b4-2,\ ^obatsdiewsky, Mem. Kasan. •' oo+2r(— ^^^ — ^'^l r I ^^ 1835.211. 30) / Cos.^ X. Sin. a x. Sin. Zbxdx = — — — — - i I Poisson.P. 19. 401. N^ 76. — Id., Conn, des Temps. f ^ n aV-l( 1836. 1. 21) / Cos.^ X. Cos. a x. Cos. Zbx dx =■ -, — \ J 2''+2 W ] f n (a J 4- 1 )*— V 22)j{2Cos.x)<'-^.Cos.{(a-\-l)x].Cos.Zbxdx = - ^ -^ Kummer, Cr. 17. 210. F. Circ.Dir. rat. ent.. Fact. 2'an3r.''a;etautres. TABLE 58. Lim. Oet-. l)lcosJ>-^^^x.Sin.px.Tang.xdx=^^~^^ . ;ri^^ O , ,f"'w f vf ""'='' "^^^ ''^ 2)ICos.P-^x.Tang.'>x.Sin.pxdx = V. T. 58. N°. 4, 7- 3) I Co«J'-2 X. Tang.b x.Cos.pxdx == V. T. 58. N\ 5, 6. 4) f<7oi.P+i-ia;.rana.c-i^.(;o».»a;.Sm.((6+l)a;)da; = (- 1)^ -^^-M:^ J(— 2)»f''~M - — ^"'~^ J ^ f \\-r ) i \ ^ 2P+*-i iVi r(?;) 0^ ^ ^ n /(p + 6-1)";-' 5) [cosJ>+b-^ X. Tang." x. Cos.px. Cos. ((64-1) ^1 dx = (— 1)^ — ^^ n^_+Pl J (_2) J"] ^!^ J . \y-r ] s V ; 2P+A-1 14/1 Y{p) ^ W/ (p + J — 1)"/-' Q)\CosJ'+^-^x.Tang.<=x.Sin.px.Sn,n.UbA-\)x'\dx = {—\)^ — ~— - [ "^^ .Z(— 2)''( j ^ F u -r w V ; 2P+4-1 l*/ir(p) o^ ^ \^ ^m/(P + 6 — !)"/-! 7) \CosJP+'>-\ x.Tang.c-^ x.Sin.vx.Cos.{{jb-\-\]x']dx=l—\f'^^ — ^ ^|~~ J(— 2)n( '^~'^\ ^.^L~l 7 f' u -r ' ; V ; 2p+4-U*/ir(p) o^ '\n )(p+b-i)''/-i Sur ces 4 forraules voyez: Schlomilcli, Cr. 33. 353. Page 105. 14 WIS- EN NATUURK. VERB, OER KO.NINKL. AKADEMIE. DEEL IV". F.Circ.Dir.rat.ent.comp.aarg. Tflngf-a;. TABLE 59. Lim. Oel-. 1 2 9 10 11 12 13 14 15 16 ]\Cos.(pTang.x)dx == - n e—P Serret, L. 8. 489. — Dienger, Gr. 10. 341. )\Sin.{pTang.x)dx = - {er-P Ei.{p) — ePEi.{—pj} V. T. 204. N". 7. \\Cos.'^{pTang.x)dx = - tt (1 + e-^P) V. T. 205. N\ 22. \jSin.^{pTang.x)dx = -n (l — e-^P) V. T. 205. N°. 21. \\sin.{pTang.x).TaT^.xdx = -ner-P V. T. 204. N'. 3. \\Cos.{pTang.x).Tang.xdx = — - [e-PEi.{p)-\-erEi.{—p)\ V. T. 204. N». 8. /Tang.{pTang.x].Tang.xdx=— — V. T. 204. N°. 9. e^? -|- 1 I / Sin. {p Tang. x). Sin. 2xdx = -pne-P V. T. 208. N". 3. \ \ Cos. {p Tang. x).Cos.'^ xdx = ■ ne-P V. T. 208. N\ 7. I I Cos. (p Tangr. x). Sin.^ xdx =^ -^^ jt e-P V. T. 208. N\ 8. \\Cot.{pTang.x).Coa.'2,xdx = ~pne-P V. T. 69. N°. 9, 10. \\Sin.{pTang.x).Tang.^<'+'^xdx ^ {—\)(^-e-P V. T. 205. N°. 27. I / Cos. (p Tang. x). Tang.^" xdx = (—1)"- e-P V. T. 206. N". 26 \jCos. ipTang.-\. Tang.^ xdx = _|e-P? V. T. 205. N'. 12. t / Cot. (p Tang.-]. Tang. xdx = -j-^ — ^- T- 205. N». 16. I fcos.i"-^ x.Cos.{Z Tang.xl^c)dx= y^l , {r(a) v,(l-a,c)+r(-a)c« .Kl + a,c)} Cn^Ss. Page 106. TT F.Circ.Dir.rat.ent.comp.aarg.rangr.a;. TABLE 59 suite. Lim.Oet- 17 18 19 / CosJ>~^ X. Sin. f (p+ 1) x\ Sin. (c Tang. x)da; = cP (r^ I Cos.P-^ .r. Cos. {(p+ 1 ) x] Cos. (c Tang. x)dx =■ ^ / {Cos.{q Tang.x)+ Tang. x. Sin. {q Tang, x)} dx = ne-1 V. T. 204. N^ 18 Kummer, Cr. 17. 228. TV Circ.Dir.rat.ent.comp.aautrearg.moQome. TABLE 60. Lira. Oet-. 1 Cos.2qx.Cos.{2pCos.x)dx=^—Sin.qn\lJlr^(.— l> 7~ r] pI^T^^'in /Sin.{aSin.x).Sin.2xdx = V. T. 192. N'. 1. a I Sin. (a Cos. x). Si> jSin.{pCos.x).Tang.xdx= ^ ^ f^ZZTT? ^- T- 192. N". 5. Sin.lxdx = V. T. 192. W. 1. a "i 2n + l 12n-l/l Sin (p Cot. x). Tang.xdx = - (1— e"?) V. T. 212. N". 4. 4i 10 11 / f , IT eP — e-~P I / Tang.ip Cot.x). Tang.xdx = — V. T. 212. N^ 5. \&in.{pCot.qx).Tang.^a-i xdx = (_l)«-e-P V. T. 212. N°. 14. \Cos.{pCot.qx).Tang.^<^xdx = {—lY^e-P V. T. 212. Im°. 15. \Sin.(aCos.x\Cos.-i X. Cos. {p Tang. X — px) dx ^= (-) Legendre, Exerc. 3. 40. J r(p + i)\ey Cosf—^ X. Cos. tc Tang, x — (p + l)x] dx = cp e-<= \ ^ ^ ^ "^ T{p + l) j 3) I Co«J'-i X. Cos. [c Tang, x -\- {p -\-l) x] d x = \ Kumraer, Cr. 17. 228. / TT 1 4) I CoaJ*— 1 X. Cos. [c Tang, x -\- (p — l)x}dx = — e— « / J AiP / 5) I CosJ'-^ X. Cos. [px — c Tang, x} dx — ~— e— « cp~^ Lobatschewsky, M^m. Kasan. 1835. 211. J r iP) 6) [cos.P-^x.Cos.{cTang.x-{-hx}dx = 'L'ZllM / ^— P+1 j „ \ n CP e~<' Cos. \ n i I 2 1 r(p+ l)Sm. pir De ces deux int^grales voyez: Kummer, Cr, 17. 228. Co8.(Zx—2 Tang.x)dx = - — V. T. 209. N°. 19. 9) I Sin. i-pn — pTang.x\. Tang."-^ xdx= ~ne-P V. T. 205. N°. 24. 10) I Cos. i-pn: — pTang.x\. Tang.<*xdx = -ne-P V. T. 205. N°. 25. Page 108. qp ,1+P. 2C TV F.Circ.Dir. rat.ent.comp.aarg.binome. TABLE 61 suite. Lim. Oet-. 11) jSin.P—'^x. Cos.l—'i ^_ Cos. ^cTang. x -{- (p -{- q) x] d x = — Cos. — qiip, 1 — q,c) -\- + c? Cos. ^ r (— 2) ()P(p + ?, 1 + ? , c) 12)/ 5inJ^~i X. CoB.l-'^ X. Sin. (c Tang, x -\- (p ^ q)a;} dec = ~^^LJ3l g^^. ^ (p{p,l—q,c) 2 + c1 Sin. ^Ti-q)(p{p + q,l + q,c) 13)1 Sin.P -1 a;. (7os.?-i x. Sin. 1 c Tan^. x -\- {p ■{- q) x — — 1 d ^ = 14)/5ini'-iar.Cos.?-'.r.Sm.{cran5r.a; — (p + j)a;} d« = ~^-—^ Sin.^-- (p{p,l — q,-^c) — — c? 5in. j ll 4- .yLj r (— 5) (p (p + 5, 1 — 2,— 0) 15) /5OT.P-1 «. C0S.9-1 ^. Co5.(cran(7. ^ — (p + 5)4 d^ = ^?li^ Cos. ^ p (p , l—q, — c]-[- + <=^Cos.U^+q]n\T{-q)cp(p-\-q,l—q, — c) f . Tt T (p) 16) / SinJ'—^ x.Cos.^—'^ X. Sin ^cTang.x — {p-\-q)x-\- (| p + ?) tt) d«= p (p, 1 — q,c) J ^(i-- q]T(p-\-q) 17) j Sinj>-^ x.Cos.—^x 1 Cauchy, Exerc. 1826. p. 205. — Serret, L. 8. 1. — Id., L. 8. 1)/ — -^ dx = -n 489. — Liouville, Cr, 13. 319. — Kummer, Cr. 17. 228, — J Sin. X 2 Schlomilch, Cr. 33. 353. — Id., Gr. 6. 200. — Id., Stud. I. 15. „. fSin.i2k-\-l]x , 1 2) I — dx = — TT, pour^= 00 : Schlomilch, Beitr. 1. § 4, I bin. X 2 „, /•C0S.2P-1 X 1 3) / ^ _^ dx = -n Cosec. p 5t , 1 > p > ; Oettinger, Cr. 38. 162. Page 109. F.Circ.Dir.rat.fract.animi.nion.ctden.i>w.''a?,Cos.''a;. TABLE G2suite. Lim.Oct-. [ 2 rCo«.2»-ia; (— 1)6 2''/2 /•Co«.2»-ia; (—1)* ^"1'^ d.i; = (— 1)*- — r- V. T. 12. N". 21. 4, 16/2 20—6/2 Cos.^p-^ X ^ r (2p — 1) r (1 — /)) ^^ ^ dx = ■ ^„ — r— T ^' V. T. 4. N'. 19. 6)f '] Sin.^P-^x"" 2^P-^T(p) /"Stn.aa-i X (—1)* 2°/* 7)/-;7-T:I '^^ = -IT^nJT-, Tii V. T. 12. N°. 19. 7 Cos.^^x 2 a l*/2 10-6/2 fSin.^''x . n la/2 «) /^ — 1-dx = (— 1)* - ,„ „ ,„ V. T. 12. N». 21. JCOS.^I'X ' 4 I*/2 2a-6/2 9)i:r r-da? 7 Cos.2p-i X CSin. f (2 — ») «) , 1^1 \ r(2»— i)r(i— ») _^_i^ L. V. T. 4. N% 19. 22/'- 1 r (p) 1 SinJP X "~ 1 — p [Cos.{{1~p)x} , 1 „ 1 11)/ \. / ^ dx = 5m. -p7r,l>p>0; J StnJ' a; 1 — p 2 Schlomilch, Gr. 6. 200. F.Circ.Dir.rat.fract.anum.mon.ctautredon.mon. TABLE Go. Lira. Get— . \)\ ^-da; = 2 7rg» V. T. 354. N». 8. J Tang.x fSin.iax Stt^i 2an7r nit 2) / — dx = —r 2 Cos. — - — Z Sin. — ,oiik= ; — L > L 7 ra7igJ>-^ X 2 r (p + j) [ Sin. p x. Cos.P—^ X r (p -}- 2 — 1 ) 1 \ 'V Tanpx '^ = 2r(p)r(,) '^ ''''''' i ? '^ ' '^ > ^ > « ; ^ScU..ilch. G. _6^^_ fCos.px.Cos.P-2a! T(p + q—l) 1 ( 353. — Id., Stud. I. 10/ '^ dx = '^ ; ^ TT Sec. -«7r, l>fl>0;\ 15. 7 Tanc/.? « 2 r (p) r (?) 2 ^ "^ ' -^ ' ] 11)/- dx = V. T. 21. N°. 7. J Cos.'i,x fSin.^ X 1 12)1 dx = Tc V. T. 24. N°. 14. 'jCos.^x 4 , rCos.^ a; 1 13) / dx =^ -n V. T, 24. N°. 13. Cos. 2x 4) CTangJ'-^ x \ 1 14)/ ^ dic = -7vCot.-pn V. T. 19. N=. 9. 'J Cos. 2 X 2 2^ /■ dA- - 1 ^ 1 15) / = TT Cot -p n V. T. 19. N*. 9. 7 Co«. 2 .K TangJ>-^ x 2 %^ F.Circ.Dir.rat.fract.anum.binoraeetden.monome. TABLE 64. Lim. et -• 2 fSin.P-^x — Sin.^-Px 1 1 1) I - — — dx = ~ n Cot. - p n V. T. 5. N\ 12. 7 Cos.x 2 2^ , /" Sm./" X — Cosec.P « 1 1 2)1 dx = — -nTang.-pn V. T. 5. N^ 13. Cos. X 2 2' CSin.V X — Sin.l x 1 f /o + 1\ /p + IM ,^fCosj>—^x — Sec.p-^ X 1^1 4) / — — dx = - nCot-p n V. T. 5. N'. 12. 7 &M. a; 2 2 '^ h) \ {Sec. x — '[)P Tang, xdx = — jr Cosec. p tt V. T. 31. N^ 1 6)/(5ec. a; — l)i-;'»Sin.aa;da! = (1 — p) pirCosec.pw V. T. 31. N^ .5, Page. 111. N". 14. F.Circ.Dir.ral.fract.anum.bindmectden.monome. TABLE 04 suite. Lim. et 5. 7)j{Cosec.x — lV-PSin.2a!da; = a—p)pTtCosec.pn V. T. 31. N°. 5. , fa4- b Tana. * x a — b 8)/—^- dx = n V. T. 24. N'. 9. J Cos.iiC 4 fiCoaec.x - 1)P . 9)/ „ dx r= — nCosec.pn V. T. 31. N°. 1. /TangP—^ x — TanqA-P x 1 _— — ? da, ^ „ f;^^ V. T. 47. N'. 7 et T. 92. N\ \. Cos. 2x 2 . , fSinP-^ X 4- .««.?-> ar , 1 ^ /9 — P \ /^ + P \ ''^j^-'C^.-^iJ— ^^ = l^'- (47 ''^''' ('^-]B(i;',i?) V. T. 12. N'. 23. ^'^^1 Cos.P+9-^x ^" = 2^'"- (-- 4 -j-C''''««{^--)B(ip J?) V. T. 12. NO. 24. [CosP—^x+Cos.l-^x 1 /(/ »\ /Q + P \ CCoaJP-'^x — Co«.9-i« , 1 /o — » \ lq-\-P \ ., '*7 Co.J»+.-i:. ^^- = i^^"- (V7^"^''-( 4 ")^^*^'^^) ''• "^^ ''• ""'' '*• f ^ w,^ ^ <^-» — 2 7r5m.»7r V. T. 47.N'. lb)l{Tang.Px—CotJ'x){rang..v){Tang.9x-CoUx)dx = ''"^'^^^^1211^ t! 9^ S. 3."' '' '' F.Circ.Dir.iat.fract.aden.bin6medul'''degre. TABLE 05. Lim. Oet^. f dx ^n 1)1 . == V. T. 7 i\". 1 7 2 — Sin. X 3 1/ 3 '72+ Sin. a- " '' V. T. 7. N'. 2. 31/3 ,3\f ^— == -^^^ V. T. 48. N\ 2 et T. 92. N'. 5. 'jl—Sin.x.Cos.x 31/3 f di .a?.Co«.a; 3 1/ 3 ?«ge 112. V. T. 25. N'. 1, F. Circ. Dir. rat. fract. a den. binorae du l«''clegre. TABLE 65 suite. Lim. et -. ^ - ■ . — — ' • 5)/ FT-^ — r = (TT—X)CosecA V. T. 7. N". 3. 'J l—Sin.x.CosA ^ ^ 6)/ ^""" ^ — : = ICosecX V. T. 7. N'. 4. dx -\-Sin.x.Cos. X C Sin. X <7 r 'T 1 7) / dx = — ~ \ — ±l q\ V. T. 24. N". 3, 4. 'jSin.x±qCos.x 1+q'hq ^J f Cos, x , 1 f 7 TT , ") , 8)1 — dx = ^±^ lq[ V. T. 24. N°. 1, 2. 'jSin.x±qCos.x 1 -\- q^ \ 2 ^j [ dx 1 q 9) I = Arccos. — , pour q <^'p\ Lobatto, Int. 53. JP ' ~ " ~ -\- q Cos. X l/(p* — q^) P 10) = ;-77:;7- -r^^ ^^ — , pour ? > p; 1 11) = - , pour q = p; P \ Bjorling, f dx 1 i^fq2_p2^_g _ /Gr.21.26. '')j_pJ^qCos.x = - ^^(q^-p^)^—p ' P°'" P < ^' (^^'- P""^-)| 13) = — cc , pour p = ^; /• TanqJ> x n Sin. p X . 14 / r-^ 7r-7 dx = — -V , A* < 7r% pi < 1 ; V. T. 25. N". 5. J 1 -f- Sm. 2.r. C/os. /. 5ot. p tt 5in. A 1 5) / r ;; d a; = (7o5ec. p tt. &n. <— — -n) , 1 > p > ; V. T. 25. N". 4. 'jl+Stn.xCos.x I/' 3 I 2 j -^ f ^ [Cos. X — Sin. X 16)/ : dx = Q V. T. 24. N^ 5. / Cos. x + Sin. X fa Sin. X — Cos. x 17) W dx = Iq V. T. 24. N°. 6. / Sin.x -\- qCos. x F. Circ. Dir. rat. fract. aden.binomedeplushautdegre. TABLE 66. Lim. Get-. f Sin.'^ X n p — 2 1) / dx = r + n Kamus, Danske Afh. 6. 265. 7 1 -l-p5m.=' a; 2 p^ l^ {I -\- p) ^ 4p^ f dx Tc 1 2) / = - ilosta, Gr. 10. 449. 7 1+p* Tang.'-x 2 1 +p Page 113. 15 WIS- EN NATHCnK. VERB. DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL IV. F. Circ.Dir,rat.fract.ad«in.bin6raedeplushautdegre. TABLE 66 suite. Lim. el-. ■ .■■■■.■ ' „, C Tang.* x n 3) /—; -^ —dx = ; V. T. 24. N°. 7. /dx JT = V. T. 65. N'. 1, 2. 5) / —-—-dx = V. T. 65. N». 1, 2. /da; n . o- . ^ = V. T. 66. N°. 3, 4. l — Sin.*x.Co$.-*x 1/3 _^ /" x — Cos.lx ^ n {a — p n) ^^n n n^n "T~ To.ng.xdx = —~-Tang.\~-^ -I V. T. 31. N\ 18. J Cos.P+1 x—1 •' p-\-q ig +pZJ . ^f Tang, x , 1 ^^)\ Pn, r-7, dx = —n V. T. 5. N^ 23. JCos.Px + SecPx 4,p ^^^( Cos.^x.Tangp-ix , '^ ^ , c- /2 — » ) V T 9i ^'n^-^Sin.*^.Cos.^^^' ^ I^ C7.,.c. . p..5.«. j-^ .j, 4 > p > ; V; f/; ,^ f (7o».»a.^ X. Cos.* x ^ ^ ) 1 dx It 18) / ■ „ , ; — r- o- ■, = :; Catalan, L. 6. 340. - Tortolini, Cr. 34. 101. J p* Cos.^ * + 3 Stn. * X 2pq Page 114. JT F.Circ.Dir.rat.fract.aden.binomedepIushautdegre. TABLE 66 suite. Lim.Oet- [ Tanqr x \ 1 19) I dx = ^ n »'■— 1 n—r—l Sec. —rn Schlomilch, Hoh. An. 85. 20) / dx = - Serret, L. 8. 489. 21)/ dx = Za V. T. 24. N^ 12, Co5.° X. Cos. ax n b"—^ x+b^ Sin.'' X ^ ~~ 2 (6 + 1)« Sin. Zx 2 i2 5m.2 a; + Cos.^ X "^ " 1 + a^ „„ C Sin.'Zx —2 , 22)/ -dx = la V. T. 24. N'. 12. ^in.i'aj + a^Coi'.^ar 1 + a^ TT F.Circ.Dir.rat.fract.aden.^puiss.debinoraes. TABLE 67. Lim. et /Tang, x ^ dx =:= n Cosecpn V. T. 31. N'. 20. {Sec.x—l)p ^ ,-; ^ — r-dx =: (1 — »1 » jr Cosec. » TT V. T. 31. N^ 21. 3) / _"""^""^^^ (ja; = (1— p)p3rCosec.p7r V. T. 31. N^ 21. Sin. 2 a; (Cosec. X — \y Sin. 2 X. Cos. x it — 1X ■Cos.^l.Sin.-'xY ^ ~ Sin. 21. Cos. X 4) f — --■--■-- — dx === . "" , ~" , V. T. 66. N^ 9. ^ . f Cos. ^ X. Tana. !>+''■ x , n p Sin. l. Cos. p X — Cos. A. Sin. p k 5) I- "- dx = ■ ' — V T 2fi N' 1 'Jil + Sin.2x.Cos.X)^ %Sin.pn Sin.' X v. i. ^o. in . i. /Sin.^—P x. Cos.P X 1 — p — -— — dx = ~ p n Cosec. pn Y. T. 18. N'. 23. {Cos.x-\-Sm.x)^ 2 ^ ^ I d X n p^ A- Q^ 7)/ , ,^ , , , o- , X, = 7 , , Tortolini, Cr. 34. 101. J {p^ Cos.^ x-\-q^ Sm.^ xY ^ p' q' I Stfl "^ X 5T 1 8)/rT7^ — '■, ,' , o. , ,, dx = -— Grunert, Cr. 8. 146. — Tortolini, Cr. 34. 101. J {p^ Cos.^ X -{■ q^ Sm.^ xy ^ p q' • gN /'______^££:lf dx ^--^ ' J (p« Cos.^ x + g-^ Sin.^ x)^ ^ 4i p' q ^^7(>V;«.2._L.2^V«2.N3 = ~^~^ .:. ;. " '~ > Tortolini, Cr. 34. 101. dx n 3p* +2p^g' +3g^ (p'^ Cos.^ X + q'^ Sin.^ xY ~ 16 p^ q^ i Sin.^ X ' TT 3p=+2 2 11)/ ^^~ dx = -~ (p^ Cos.^ X j-q^ Sin.^ xy 16 p' q^ Page 115. j5# F.Circ.Dir.rat.fract.aden.^puiss. de binonies. TABLE 67 suite. Lim et ' J (P^ Cot.* X -{- q^ Sin.' xy 16 p^ q» '] {p*Cos.'x-{-q*Sin.*x)* 3 2 p'' q'' f Sin.'^ X J _ ^ ^PUi^PIsIjJlSI 7 (p* Cos^^^'^'Sin.* coy ^ ■" F2 p^ g' ' f Cos.^ X n p* + 6y' q^ + 5 g« 16) / , '^"•^^ dx = -!LiZMl£! 7(p*(?oa.*«4-g*/Stn.*^)* 3 2 p' 7' /■ /Stn.* x.Cos.^ X 7r p* -j- ^* 'jip^Cos.^x-^q'^Sin^xy ^^ r go^. 2 X I {p^ Cos.^ X + q^ + 5q' Tortolini, Cr. 34. 101. 19) 20) dx = 3 2 p5 55 n: q^ — p* 5m.» a;)* 4> p^ q^ Cos.2x ^^ /.* — «* dar ^ — Sir q* — p' f _^ J (p^ Cos.'' X -\- q^ Sin.^ x)^ 16 p^^ 5= 2jx/" ^0^- 2 a; ^ ^ tt 5g« — p" g* +p4g^ — Sp" 7 (p» Cos.* x-\-q^ Sin.^xy ^ ~~ 3 2 p' 9' 22) ( ^°^-^'~'^-'^'"-^'~''g ^ _ r(r)r(s) 1 J {p* Cos.'^ X + q'' Sin.^ xy+' ^~ T (r+«) 2 pZ*- j^* /Sins'— ^ 2x i T(p) r(l\ 7^. rr ^^ ^^ =^ -^ w^-TC V. T. 49. N". 5. et T. 92. N°. 9 {Sin. X + (7oa. x^P 2^ r (p 4- ^) dx V. T. 67. N". 8, 9. V. T. 67. No. 11, 12. V. T. 67. N«. 14, 15. Sohlomilch, Hoh. Anal. 85. M)/ {Tang. X -{- Cot. xy 16 = — TT V. T. 21. N". 5. F.Circ.Dir.rat.fract.aden.^prod.demon.etbin. TABLE 68. Lim. et -. 2 /— J Sin. Tang.V x dx l)/7r -f~X 77— = nCosec.pn V. T. 22. N°. I. .x-\- Cos. X Sin. x dx Sin. X ■\- Cos. X Cos. x Page 116. = n Cosec. p n V. T. 22. N». 4. F.Circ. Dir.rat.fract.aden.^prod. demon. etbin. TABLE 68 suite. Lira. O^t- 2 , f 1 dx 2jr (l—p ) 3) / 7-T~^. ^ ;;,; 7~ = ;; Oosec. p n. Sin. \ ttL 1 > p > ; V. T. 25. N". 4 ' j 1 + Sin. X. Cos. X TangP-^ x i/3 '^ \ 2 j ^ 'jl — SSin.^x.Cos.^a;TangJ>-ia! 1/3 2^ (6 J N . 15. I TT f Sin.^ X dx 1 » ,v 5)j ^,^,.,.. , c,.-... .TTTTT = - - rV- T V. T. 24. N". 14. ''/. p^ Co*.* X -\- Sin.^ X Cos. 2x 2 1 -{- p^ _ Cos.^ X dx 1 n ^ Cos.'' X ■\- Sin.''- X Cos. Z X 2p 1 -\- p^ Sin.''' X dx 1 JT Cos.^ a -\-p^ Sin.^ X Cos. 2 x 2p I -{-p'^ dx 1 pn ^ Sin.^ X Cos. 2 X ~ 2 l-\-p V. T. 24. li\ 13. 7)1 = — V. T. 24. N=. 13. 8) / X— , ^. , = - -^ V. T. 24. N». 14. 9) f CotJ>x ^ 1 'T „ 1 • ' \ , o» <1; I I dx = — Sec. - p 7r , »* <" 1 ; \ 'jl—{2q-q^)Cos.^x {l—q)p+l2, 2^ '^^ 'j f Cot.P-'^ « , 1 TT 1 f 10)/ ,,^ -- .. ■■ dx = Cosec. -»7r, 2>»>0;> Schlomilch, Stud. I. 15. 'J l—{2q-q^)Cos.'x {i — q)p2 2^ ^ "^ [ C CotPX 1 TT „ 1 \ 11)1 dx = : Sec. - » JT , «' <' 1 ; I 'Jl — qCos.^x i^(^l — q)p+\z 2^ '^ ^ ' / f 1 x + CoiJi> x Sin. Zx Asp jTanff.^s + Tau9P. _d^ _ _n_ ^^^ (g-p nj ^ ^, ^^ ^„ ^^ ^^ ^^ ^^^ ^^_ ^^ 7 Tang.P+ V. T. 49. N°. 14 et T. 92. N 7 TangJ'+Qx—l 5in. 2a! p + 5 (7+^2) [Tanq.1 x + <7oi.9 x dx tt _, o tt £2)/ ^ — = — Sec.^— V. T. 22. N'. 14. 'j TangJ>x-\-CotJ>x Sin.1x 2p %p , fTang.gx — Cot.l x dx ^ ,„ 9^ 23) / ^^ = — Tang. ?- V. T. 22. N'. 15. 7 Tan^f.? a; — CotP x Sin. Zx 2 p ^ 2 p f Sin.^ X dx TT pSin.X.Cos.pX — Cos.X.Sin.pX 24) I -, = ^r- — V. T. 26. N». 1. o. 12. // Tanq.P x ■ — v.,^v.. .1. , . ^^n\'~Pr ?^ dx==^2{l—2p-!TCot.Zpn} V. T. 28. N». 7. (1 + Sin. 2 X. Cos. X)'^ TangJP+^ x 2 Sin. p n Sin. ^ X n Tang.P x — CotJ> x \ 9 J \ Cos. X — Sin. X f Tanq.P x dx \ A- P 26)/--——- = —^-i-pnCosec.pn V. T. 18. N^ 23. 'j (1 + lang. xf Sin.% x 4 ' ^ f Cos.^<'x dx (p+ ;)"/=' 7TSec.\pn Schlomilch, Stud. ^J{l — qCos.^xY+^TangJ>x~ 2°/2 2(l-a)i(/'+')+<'+i'^ ^ ''^ "^ ' 1.15. dx \)P Tang, x 28)/-;:; — ;=; = nCoiecpn V. T. 31. N'. 20. J (Cosec.x — ■'^"'^ — - f(l-\-Tang.x)9—l dx 1 , , 2» / 77 ^ ^ , 77. == - fZ (P + g) - Z' (0)1 V. T. 22. N'. 3. 7 (1 4- Tang. xy>+9 Sin Zx 2 *• ^^^^' ^^>i /J 1 {(1 + ran5-.a:)- 1 ; ttf' S- Page 118. F.Circ.Dir.rat.fract.aden.binome. TABLE 69 suite. Lim. Get-. _^ 2 g)f . o'f"'". . Tangj>xd. = InCosec.kpnll-P^Y] ,pour5^ 1; ^^ J. Luu. , r Cosfix.Cos.ax -ZqCos.%x-\-q'^ 6) j ^__„ ^ - — r-T- <^^ ■ (a^ &"n.2 X + 6^ Coj.^' ^ ~ £ 1/ (1 —a^ c^) (1 — 6^ c>) da; \Cos.'^ X. Sin. a x. Sin. Z x ■2qCos.2x-\-q^ „.f dx ^ij i"i:7r/T7 c,-„ , „ . 7,2 /Cm = ;77T71^ _,...,-. TT-TT Plana. Cr- 17- 345. '/ It Sin. {p > . ^ 1 ) Tang.1x-\-Cot.lx — a Cos.A 5in.2.i: „ a- j o- Pff , „, I Tanq.Px d x ^ „ ■ 10)/;^ r^r ;r-T 77: = ^— ^ V- T. 26. N^ 10. ^^.(TangJ>x-\-Cot.Px — 1Cos.a dx "^ '"' F o j ;i— ;r(7oa.-< 111 I = i — i- 4. — L V T 9fi ■\r° n 'J rang.g.x-\-CoUx — ZCo8.X Sin.2x ^^ ^ ^.^ pn ^ ^ gin. X ' fSin.Px — J Sin.lx — mi, '■ pX fSin.Px — ZCos.l-^-Cosec.Px dx \ q ) u—ttCos.X ix,]!—. = — J- - — — V T 8 N^ 9 2Cos. u-\- Cosec.lx Tanq.x p. a- P ^ o Sin u. • ' • • .• ■^ q iSm. u.Sin. ^— ^ • f* 1 o^ { '^'"•P ^ + CosecP X dx 'a 13) / ; — ^^ = 1 V. T. 8. N^ 12. J Sin.9x + 2 Cos. A + Cosec.g x Tang .x « • 5 c • ^'^ 14) i ^in.Zx.Sin. {{%h-\-\)x ) dx _ , p^ < 1 , pour k == ao ; J l~2pCos.2x +p^ Cos.x ~ SchlomilcL, Beitr. II. 1. Page 119. F.Circ.Dir.rat.fract.aden.bin6me. TABLE 69 suite. Lim. Oet- 2 . /'^:^^<'*- ( (2^+l)a^ } dx __ , p* < 1 , pour k = oo ; J l — ZpCos-Zx + p"^ Sin.x Schlomilch, Beitr. II. 1. Ig./" if. '^ "L^l Roberts, J {l+qHl—p^Sin,''x)]{l—p^Sin.'^x) 2l/(l— p*) 2lx'{(l+?')(l-jo»5»+9')} L. 11. 157. F.Ciic.Dir.rat.fract.comp.aarg.rangf.a!. TABLE 70. Lim. et -. /Stn. (a Tang, x) 1 ^_ dx = — JT Lobatschewsky, M^m. Kasan. 1835. 211. la trouve faut. — t. Sin. X. Cos. X 2 /dx 1 Sin. {q Tang, x)- = -tt (1 — C-?) V. T. 212. N». 4. Tang, x 2 /^ j; \ £^ g — 9 Tang, {q Tang. x)- = -tt V. T. 212. N°, 5. Tang.x 2 e? -)- r-9 /da; 1 Sin. (q Tang.x) = -Trfl— Cos. o) V. T. 218. N". 11. ^^ *^ ^(7o«.2a;. T-an^f.* 2 ^ ^ /,T, Tang.x 1 5in. (J Tan^. x) -— ^— da; = tt Cos. p V. T. 204. N». 22. /dic 1 Cos. {q Tang.x)- •= - n Sin, p V. T. 204. N\ 21. Cos. Zx 2 7) / Sin. (q Tang, x) = Ci. {q) Sin. q — Si. (q) Cos. q V. T. 206. N'. 9. J Cos. 2 X f Tana, x 8) I Co». (? Tang, x) ~~- dx = Ci. (q) Cos. q + Si. (q) Sin. q V. T. 206. N°. 10. J Cos. 2 X f dx TT 1 9) I Sin. {q Tang. x). Sin. [n Tang.x) — = — Sin. q , pour ■< 9 <^ tt ; i / Co*. 2 a; 2 f V. T. 204. N". 23, 24. 10) = ,pourj'>jr; ) /"_ . _ . Tana, r 1 11) / Tang.ip Tang.x) - , ^ dx == — - tt V. T. 206. N'. J 5. J Cos. 2 .T 2 /Tang, x Tang, {q Tang. 12)/ ^ '— g-- J ^ ^L_ V. T. 204. N". 10. "'" ' '" .x) «'«— 1 i 2 ana. x uic l 13) / ;;; ^^ = - tt V. T. 206. N'. 19. J Tang, (p Tang, i^ " ~ " dx 1 .a;) Co«. 2iP ~~ 2 Page 120 TC F.Circ.Dir.rat.fract.comp.aarg. Tang-.a;. TABLE 70 suite. Lira. Get-. , Tana. ,r d x 14,)/— — = V. T. 206 N'. 20. 7 Sm. (jp Tang, x) Cos. li x 15) I Cos.'^ (p Tang, x) - — — = 7 ^ Sin. 2 p V. T. 206. N^ 21. Cos. la 4 di 1(3) iSin. (p Tang, x) ^-— = (— 1)« - e-P V. T. 212. N^ 14.* 17) I Cos. (jD Tang, x) ~ = (— 1)« - e~P V. T. 212. N^ 15. J Tang.^<^ x 2 I ft fi^ 1* \ IT 18) / Cos. (p Tang, x) - — '- — dx = - (Sin. p~p Cos. p) V. T. 208. W. 17. j \Cos. 2 xj 4 f 1 — Cos. (p Tana, x) it 19)/ ^~ ^—^dx = -{e-P^p — l) V. T. 212. N". 13. J Tang.^ x 2 [Cos. ( Tana, x] — Cos. * x — 1 20) I 5^ '^^ — dx = — A V. T. 212. N". 6. Tang, x fCos. (a Tang, x) — Cot ^ 7 Tang.^ x — Cos. (b Tang, x) t , ^ — « ^ — ^—^dx = -(er-l> — e-<']+ n V. T. 212. N^ 7, 2^ ^^ 2 [Cos.P—^ X 1 22)/—^: Sin.{aTang.x^px)dx = - tt Kummer, Cr. 17. 228. — Id., Cr. 20. 1. Sin. X ^ [ Sin, px — Sin, {px—a Tang, a') 1 Lobatschewsky, Mem. Kasan. 1835. 211, ' ' Sin. X 2 trouve fautivement : ir. f F.Girc.Dir.rat.fract.comp.aautrearg. TABLE li. Lim. Oel-. dx 1 Tang, x 2 1) I -Sin. {q Cot. x) ^""^ ■ = ^ tt e-9 V. T. 204. N'. 3. ' [ dx 1 2)/Co«. {qCot.x) — = {e-^Ei.{q)-\-elEi.{~q)} V. T. 204. N'. 8. J X ang. x JL 3) I Tang.iqCot.x)-^^^^ == J\ V. T. 204. N°. 9. 4) / Cot. (5 Cot. x) -~:r~ = ~ n„ " T ^- T. 204. N°. 10. Tan^. X ~ e^l ^l dx n Tang, x e^l — 1 Page 121. 16 WIS- EN NATUORK. YERU. DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL IV. F.Circ.Dir.rat.fract. comp.aautrearg. TABLE 71 suite. Lim.Oet- 2 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 /Tana, xdx 1 Sin. (q Cot. x) -— ^ = -n (Cos. g — 1) V. T. 212. N'. 1 7. /dx 1 Sin.{q Cot. x) = -nCos.q V. T. 204. N<>. 22. Cos. 2 X. Tang, x 2 [ dx I / Cos. (q Cot. x) - ^ = — Ci. (q). Cos. q — Si. {q). Sin. q V. T. 206. N°. 10. J Cos. 2 X. Tang, x /dx 1 Sin. (q Cot. x) — — — == (— 1)* - ne-i V. T. 205. N^ 27. /dx 1 Cos. (q Cot. x) r- = (— 1)* - n e-1 V. T. 205. N^ 26. ^^ ' Tang.^b x ^ ' 2 C dx \ I / Cos. (q Cot. x) = qe-1 V. T. 205. W. 12. 7 ^ Tang.-^ x 2 ^ I / SlTl X \ TT \ICos. (qCot.x) h,— ^— da; = -{Sin.p —pCos.p) V. T. 208. N". 17. J \Cos.Zxj 4 JCp«. (q Cot. x) ^ = "^ V. T. 205, N". 18. J ^^ ' Tang, x e? — 1 [ dx \ \ I Cot. (q Cot. x) T^-r- = '^ ^- T. 206. N=. 19. 7 Tan^. a;. Cos. 2 x 2 /Cosec.(gCo«.j;)= ^ r= V. T. 206. N'. 20. J , Tang. x. Cos. 2 x f dx 1 \ICos.*(qCot.x)- == nSin.2p V. T. 206. N°. 21. J ^^ 'Cos.Zx 4> ^ /dx 00 »2n-l 1 Sin. (p Sin. x) -— = 2 V. T. 192. N". B, ^ 'Tang.x i P—'/i 2n+l \isin.^x.Sin.(aSin.x)-=r-^ = ', — ~^ - V. T. 192. N^ 4. J ^ 'Tang.x (Iq)* + a* g \ISin.{pCosec.x).Sin.(pCotx)—-^ = n Sin. p V. T. 192. N". 10. y Cos. .t /Sin.(p Secj!).Sin.(pTang.x)—^ = nSin.p V. T. 192. N". 10, /Sin. X l/&n.(io7r — flCo<,a;) = - jre-« V. T. 206, N». 24. J ^^'^ * 'Tang.P-^x 2 Page 122. TV F.Girc.Dir.rat.fract.comp.aautrearg. TABLE 71 suite. Lim. et -. dx 1 -Tte-1 V. T. 205. N°. 25. 21) / Cos. {^pn — q Cot x) , fCos. (q Sin. x) — Cos. (a Cosec. x) 1 „ 22)/ ^i -^ i^ ' dx ^ - 71 Sin. q V. T. 192. N». 11. J Cos. X " 23)j- 24.) / { Sin. (q Cot. x) + Tang. x. Cos. (o Cot. x)\ - J Tang. Tang.P x 2 2 'os. (q Cos. x) — Cos. (q Sec. x) ] 7- -dx = -TtSin.q V. T. 192. N". 11. Sin. X 2 = Tre-? V. T. 204. N». 15. F.Circ.Dir.irrat.ent. ^ TABLE 72. Lim.OetJ. \)\dx\^{l-~q^Sin.^ X) = 1— J j^-^| '(2 n-l)92n, 2<1; V. T. 12. N\ 14. 2) = E' (5') , la Fonction elliptique complete de seconde esp^ce. Legendre, Exerc. 1. 138. Catalan, L. 4. 323. 3) / Sim. xdxl^{l—q^ Sin.^ ^) = _ 1 + ^^^^ I ^^^^\ , g < 1 ; ^°^^"°' ^- 5- US- - V 2 I ^ 2(7 l_oj'^^ ' Dienger, Cr. 46. 119. — ^ ^ Grunert, Gr. 4. 113. 4>)jsin.-^ xdxi^a~q' Sin.^ x) = ^^^ ^' ^^^ + T^^'^ ^' «^' ^ < ^ ' i V Legendre, Exerc, &)^Sin.^ xdxA^a-q' Sin.' x)J^^+ ~'^' ^^Y l^-^ , q)lsvn.x.Cos.'xdxV-[l-q'Svn.'x) = -+^— ^ + ^^ ~^'^^ ^— ^,g< 1; ^'Z^'\\. J ^ \ 'i ' ^^ 8q' ^ 16(/3 i^j'V^ ' Cr.46. 119. 9) I Tang.' xdx\^ {\ — q'^ Sin.^ x)= 00 , 5 -< 1 ; Legendre, Exerc. 1. 138. l^)\dxu^[l-q'Sin.'xY = i^^'(,)-^F'(,),, 1 _ (p _ 3) 5 4- j5 j /. II 2a/2 13) / ran^.2<»+i «. Co*.-^' » da? = 14)fra«5r.2a+ij;.(7o«."'^'^*a!da? = ,^ T ■-.>._? ;._,_. m ^° )■ Oettinger, Cr. 38. 162. a+6+i_^_ l*+'/2 la/1 (2 6 + 1)0+6+1/2 15) f 7an^.2 ardar 1/ ail ^Cos. 2 a:)*+* dx = —7—- ]/ 2 / 20) jd^ ^ 5m. ^ = ^^7^^' (^«*- 1^) + ^Y E' (cos. ~ j V. T. 12. No. 15. 2\)jdx^Sin.^x= ^ ^'(^"-ra) - ' t^V ' ^' ('^'"•Ti) V.T.12.NM6. 2Z)jdx^Cos.x = 1=1^f(co..j^J+^E' (co«.^^^ V. T. 12. N". 15. 23) /"d.lKCoa.^ . = ^ E' f^in. -^] - ^ + '^' f I Sin. ^] V. T. 12. N-. 16. y 1^3 \1 2/ 2|»^3 \12/ Page 124. F.Circ.Dir.irrat.fract.aden.monome. TABLETS. Lira, Oet-. 2 ■ CSinF'^x , l^-P r(p+ ')r(i— ») „ f2p— 1 I 1)/ ^ , , dx = ^^^' ^ ^&«. M^- n\ ,p ^ Exerc. 6. 308. , ou 2 c^ = — -— et 2 6^ = — -— ; 1+p 1+p s i dx 14)1- -\y'0. — p"^ Sin.x) = oo Legendre, Exerc. 1. 138. J Cos.'' X 15)l{Sec.x — lf'^^Sin.xdx==.^^^-^^uSec.p'n: V. T. 32. N'. 3. Page 125. F.Ciic.Dir.irrat.fract.aden.nionome. TABLE 73 suite. Lim. Oet^. \G)l{Sec.x - \f~'^Tang.xda! = nSec.pn V. T. 32. N'. 1. 17) j(Cosec.x— I f^^ Cos. xdx = —-—nSecpn V. T. 32. N'. 8. lH)l{Coiec.x—lf~^ ^ = nSec.pn V. T. 32. N'. 1. / Tang, x F.Circ.Dir.irrat.fract.aden.binomcdul^degre. TABLE 74. Lira. Oet^. i dx % I Zb \ J l^ia -{-bCos.x) ~ 1^ (a + b) \ a -\- b) f dx 2 r / _1L\ -p fl -l^U -(a + .){E'(v/^)-E(U,./^)} /■ ^os.a: 2 f , ^ / 26 \ ^/ 2b \] ^)f :r7; — ;r3 = ■^^' (^'"•tI "^- ^- ^^- ^'- ^• d;jr = i— i^i -T-^^T- V. T. 13. N=. 9. 2;^) 81/ TT {r(J))» 1 dz = - 2x) 4 ± Cos. Zx) 2 \ 4 /" Sin.* X 7 V (3 + Co«. r Sin.^ X 1 7)1 da; = -1/2 V. T. 13. N% 7. 7 1/ (3 — Cos. 2 z) 4 ^ dx = ^ nSecpn V. T. 27. N-. 4. [Cos. X + -Stn. «)» 2 '^ 9)f e ^'''\^. dx = ^^±^ .5.C.;,. V. T. S2. N". 17. '/(-Seo.a; — l)P+i 2 ^ 10)/——^^^^ — :d» = TtSecpn V. T. 32. N'. 15. 'J {Sec.x — iy-i '^ Page 126. Dienger.Gr. 13. 424. F.Circ.Dir.irrat.fract.aden.bin6medul*'"degr(5. TABLE 74 suite. Lira. Oet^. -/ dx = -^-^—nSecpn V. T. 32. N'. 17. Cos. X % p-\- \ ex — f Sin. M , J. — t^ iJ „ 12)/ -—I dx = ~n Seep It V. T. 12. N°. 8. 7(1— ASen.r^"-*'^ « ^ (Cosec.x — ])P+i 2 ;Sm. P+* a; ^ 1 — Zp f~i Tariff. X F.Circ.Dir.irrat.fract.aden.bin6medu2'*degre. TABLE 75. Lim.Oet-. i dx 1 _, /„. n\ 1) / — = - 1/ 2 . F 5m. - V. T. 13. N°. 6. 7 1/ (1 -j_ 5j„.j a;) 2 \ 4/ /• Cos.:* a; , (r (i)) ' nly^^n 2 I dx = *^ ^^'^■' — , , V. T. 12. N\ 9. 7l/(l + 5m.»^) 4v/27r {r (|)) ^ i Sin.^ X , 1 ^, I r,. A TT 1/ 2 TT (r (' )} » 3) / ; ^-7— ^ dx = -1/ 2 . F' aSiw. - + — — *■ ^^'^ V. T. 75. N". 1, 2. r >Sm.' X , 1 i)l dx = - V. T. 13. N\ 7. 7l/(l + ;St».»a!) 5) v) 2 (Sin. a; f ijZfl 3B TV I : -^^ ^ Arctang.p V. T. 16. N^ 6. Jl^{p'^-^Sin.-'x) 2 ^^ Sin. X 1 ^) / , ^ /-■ 7 L c;„ . ^N ^^ = Z ^'•C<««S'- P , / Sin.^ X 1 f » ■) ( Dienger, Cr. 46. IH 8)1 ^, ^ , ^ .^ dx = - — Ardauff.p V. T. 16. N'. 6. (7o«. re IT 1/ (jt>* + Cos.* «) ■* ~ 2 Q> /" ^^ V'(n\ ' ^^ I'onction elliptique complete de premiere espece; 'j\y^[l—p-^Sin.''x)~' ^' Legendre, Exerc. 1. 138. , „x /" 'Sin. X 1 1 + » 1") / 777^ r^^-r^ dx = ~-l --^ , p^ < 1 ; Dienger, Cr. 46. 119. yi/(l — p^ Sin.^ x) Zp I — p „ r Sin.^ X 1 , \p'^Sj«.«ar cr'(c)+JrY6) b—c , . (l-l/p)* fl+l/p)* V T IS Page 128. 7C F.Circ.Dir.irrat. a den., prod, demon, et bin. TABLE 76. Lim. Oet-. f dx \ ^jCos.-' a? 1/ (1 — />* Sin.-" x) "" °° / .P<1; i Legendre, Exerc. 1. 3)/-— ^ ■/'' , ,.. , ■ = F'(^) — E'(/>)-i/(l— p = ) Roberts, L. 11. 157. dx 1 _ 1 _ . . '', ^-^^.(l_p.5,-„..^)=^^'(P)+(l_^.)p- ^ Dienger, Gr. , , 1 11. 88. . . - dx 1 p ^)\\ T^— 7777— IT^in-x -= -tE' (P) + 1/(1 — p^ Sin."^ x) p* 1 — p^ p*— gn V.T.28. y 1 — p Sin. X '] \/ {Cos.x{Cos.x+p^Sin.xXCos.x+q^SmjoXCos.x-\-r'Sin.x))^y,^(p-'—r^) y'^ p^-r^ j ^°- !*• jj ^ g p/ ?'-g' \ V.T.28. '] ]/{Cos.x{p^Cos.x+Sin.x]{q^Cos.x+Sin.a;)(r^Cos.3; + Sin.x)} vip^-r"^) V'^'^p*— r»j N". IB. s,/: Dans les formules 4, 5, on a Cos. cp ==~ , ofip'^q^r ; P dx \y [Cos. x(p'^ Cos.x+i'' Sin. x) {(/ ' Cos. a;-\-m^ Sin. .v) {r ^ Co.s: ic + n ^ Sin. x)} 2pmn Sin. (p / n p^ m^ — ?* ^'\ rl ^h ^~^~rr. — 7 , ou Cos.* g) = — ,pjn>oZ,pM>rZ; V. T. 28. N^ 16. .,/; l^{Sin.x(p^ Cos.x-^P Sin.x) {q'^ Cos.x-}-m^ Sin. x)(.r^ Cos.x-{-n^ Sin.x)] 2 I q r Sin. if I r p'^m''' — q''' l^\ pn y'p^ p' n^ —r' I' j ' "''^ ^"''^ '^^rr g^ >P»^» ^^>y»; V. T. 28. NM6. f Sin.P-^x dx ''^lcos.x + Sin.x d^^P^x - ^^"•^'^ ^- ^- '^- ^^- ^• ^^);;^ — r^^ — 7 — ^^ — ?=r" = '^'SecpTr v. t. 28. n^ 5. y Cos. X -f- iiw. a; 60s. X. 1 ang.P ^ x ^^) / 7r TF nT ^;^ P+r~ = ~^ — nSec.pn V. T. 27. N^ 4. ^^^]{Cos.x^Si;n.xf^^ C^J^^^x = V ^ / I ^ / ^- '^- "• N". 8. r(p+^) Page 129, 27 WIS- EN NATOURB. VERH. OER KONINKL. AKADEMIE. DEEL 17. It F.Circ.Dir.irrat.adeii.,prod.demon.etbin. TABLE 76 suite. Lim. Oet-. r 1 dx 14) / — r— i = nSec. pn V. T. 32. N'. 16. 'J(Co»ec.x—lf~* Tariff. X ^ •' (1 — p»5tn.»a;) « ^Y \ / Sin? a> dx Sin. qX /2 -f" ? 1 — ?\ B — —^, '\ V. T. 16. N^ 8, ^7^ ,, „ ^ ?i-i Co«.9d; 2oSm.A"i 2 ' 2 •' (Ciw.U — 5m.» a;. -Sin.' X) ^ a \ 17)/ :; == -1/2 V. T. 28. N'. 1. } Sm. x + Cot. X 1/ 5in. 2 x 2 { Sin. x. Cos. X dx \ (n , ISin.n\]\ 18)/ ■ = } u—Arccos.\ } \ J l—Sin.*X.Sin.''x]^{Cos.\u—Siti.n.Sin.^x) Sm.U.Stn.Vl^ \Cos.Xj } \ ,«v/" Cos.^x dx ^ ^/Sin.X\ (son. 19 / ; = Sec. u F 1 — > Cha- 7 1 — Sm. » X. Sin. » x ix" [Cos. > n — Sin. * A. -Sin. ^ x) '^ [Cos. ft) i leur. Pois- 5in.* ^ 5in. 20) /"__£l?f:lf <^a; ^ Tanff. ^ 1 Cata- J l-\- p*Sin.^x 1^(1— q-'Sin.'^x) 2l/ (Cos.* ;« + ?' •S'*"- V) P""' [7r+2F'(^- V- T. 224. N' 5. F. Circ. Dir. rat. ent. mondme. TABLE 78. Lim. et n. 1) / Sin.x d X = 2 y Poisson, Chaleur. 82. 2) I Sin.^ X d X ■= - } I Sin.^ xd X ■= 3) /Sm.2a+la;da; = ^ , ,. Z^a Oettinger, Cr. 38. 162 ^ TT r (a + 1) xdx = ^ ——I r-T-2 Lobatschewsky, Mem. Kasan. 1835. 211. h)\Sin.P-^xdx = l-^ , \ l^ n V. T. 53. N". 20. I r f ' ») 1 * 6) = i_JlSlL. 2?-! Lobatschewsky, U6m. Kasan. 1835. 1. 7 ) 1 003.^"+^ X d x = \ Cauchy, Exerc. 1826. p. 205. la/2 8) lCos.^<'xdx = 9r 1 \ 9) I Sin.^ pxdx = — TT Euler, Calc. Int. 4. S. 4. 91. — Poisson. Chal. 92. jSin.^ pi C 1 \Q)\Cos.'^ pxdx = —n f • \ 11) / Sin.ax. Sin. 6a;da; = 0J ^ ,. J / , a > ou < 6; f ^ i Poisson, Chal. 92, 12,) j Cos.ax.Cos.bx d X =0] /aSin.pn \ Sin.px.Sin.axdx = (— 1)°-^-^ — ^ i )\Cos.p Cos.px.Cos.axdx = (— 1)" ^- '-^— pT + (l-p^)=" li) I Cos.p x.Sin. X dx = -; ^ + ~^ r^i Schlomilch, Beitr. I. § 8. Page 131. 17* F. Circ. Dir. rat. ent. mondme. TABLE 78 suite. Lim.OetTr. 16) Lobatschewsky, M(5m. Kasan. 1835. 211. ) / Sin.9 X. Sin. qxdx = — Sin. — 1 17)1 -i xdx = Poisson, Chaleur. 80. Zi)ISin.''x.Cot.i''xdx = ^ '^ / \ ?__{ r(« + 2 + i Lobatschensky, M^m. Kasan. 1836. 1. •.■.)fco..»^i..Co..ii,.Cc..;.,,. - ^, {^ + 1 {") 0} 1 J6) ICoe." ^a:. Coa. jaasdx = — I Page 132. F. Circ. Dir. rat. ent. trinome. TABLE 79. Lim. et n. \)\(\.^p-i — %pCos.x)dx = (l+p»)7r ^) / (1 + P* — 2 P Cos. x) Cos. xdx = — ■pit !i)/(l +P* — 2pCo5.«)*da; = (1 4-4p^ 4-p*)7r > Euler, Calc. Int. 4. S. 4. 23. 4) /(I -f p' —2,pCo8,xy Cos.xdx == — 2p(l + p^)7r' 5) / (1 + P^ — 2 p Co«. a;)» Cos. 2 t- c?.r == p» ti 6)/(l+P* — 2pB ;iP*>2'; 33. 268. — Kamus, Danske Afh. 6. 265. — Bjor- Jp-\-qCo».x V/ (P' — ?*) Ung, Qr. 21. 26. Page 134. Sin, X. Cos. A - = 2 ;i Cosec. % V. T. 25. N». 8. F. Circ.Dir.rat.fract.aden.binoraedu l*'"degrc, TABLE 82 suite. Lim. et n. i die J — p-\-qCos.x n \ Bjorling, Gr. 21. 26 .p* >?*; 1/{P'— ?') 9) == (valenr princ.) j p* i'> 0; Bonnet, L 17. 265. J a — 01 Cos. X 1/ (a + '' ) 7(l+&n.A.Cos.a;)«+i l"'! ol (2a— 1)»/-2 \2 n/ 2" J /• Cos.oar , ia;2 (_i)a^ „f (n+l)«/i /a\ 1 „, , , ,i 15) / : dx= ~l, ^JS'U— 1)» ^ 1 — raw.2Ca-''J+i ill 'y(l..j_;Sm.A.(7os.a;)«+i l°/i /Sot.«+i ;i qI M2a~l)"/-2\^2nj 2" ^ J r *Sin.« X 1«-Vi TT ^^^/f» 4-0 Cos a;^«+l'^'^ ^ ' "±ir /a\)2a Lobatschewsky, Mem. Kasan. 18.35. 1. •^ '^^^ ■ 2«-2(p^_j^)2 jrj-jl 17) = 5+T I (P' — ?') 2 r(^a+l) f Lobatschewsky, /a4-l\ \Mem. Kasan. 1830. i Sin. ax 5^ _ ^i'T")'^'' J (ln-l ) "/-MI «)"/' M^-l 7(p+3Cos.# p6rf-+l\ ° (ia+l)""!"/! y j H^)r^^ 19) = , » ^44 Schlomilch, Hoh. Anal. 85. 20)1 ^-^ = 2 7r V. T. 30. N^ 15. y 1 =fc /Sin. a;. Cos. x\/ 2> Page 135. F.Circ.Dir.rat.fract.aden. bin.du2'*degr6. TABLE 85. Lim. Oet^r. / Sin. X 1 1) / dx = n Grunert, Gr. 4. HI 7 1 + Cos.* X 2 /dx n = V. T. 66. N». 6. 4,—Sin.^x 2i/3 f Sin. X n 3;/ TT-r- dx = V. T. 66. N'. 7. 'J4, — Sin.^a! 3^/3 f dx 1 */ / :; = - 7T V. T. 30. N^ le. Ji—BSin.*x 2 5)/ ;; — ^-7^ = 7t Cosec.X V. T. 82. N" J 1—Cos.^X.Sin.^x f Sin. X 6)1 dx = 2(n—2X)Cosec.ZX V. T. 82. N'. 4, 5. J 1 — Cos.' A. (Sin." X 7)/ =r^ — Grunert, Cr. 8. 146. — Lobatto, Cr. 11. 169. J p'^ Sin.' ^ + 3* <^os.' X p q 4. 5. 8) / == ^ ^ '^ 7r V. T. 83. N^ 7, 9. Ix p' + q' ■ -\- q' Cos.' xy ~~ 2p» (/' /• Sin.' . rfa; = Grunert. Cr. 8. 146. ip' Sin.' x-\-q' Cos.' x)' 2p' j /Cos.' X n —dx = V. T. 83. N". 7, 9. ip' Sin.^ x -\- q' Cos.' x)' %pq' C Cos.Zx P^—Q- 11)/; ^^r-, ; — , ^ , ,, dx = —n V. T. 82. N\ 9, 10. ' J ip' Sin.' X + q' Cos.' x)' Zp'q'' f C0t.9x 1 TT 1 *\ '^^ll-i2p-p')Cos.'x''' = a:rp^^2^''■2'''^'''<''{,p'i;' P^ — 1 t Cos. ax np" \ ^nr"i 2 or ^^ = ^ I.P*l;\ 2 p>+« ] n 1 -\- p^ -\- p"^ ~2pCos.x 2 1— p*' , r Cos. ax. Cos. a; n 1 -\- p^ „ , Bierens de Haan, Gr. 13. 193. T P* + 11 8) = - ^— t-i ,p^>l; /* dx n j y l-l-p2 -|-2p(7os. ar ~ 1 — p-i [,p /Cos.x vn \ Baabe, Int, 161. dx = — \ 1+P +2pCos.« p' — \) , - > r Cos. k X \ 11)1 da; = 0/ , 7 1+pi— 2pCos.^ I , pour A; = CO ; [ Sin. kx. Tang. X { Meyer, Int. Def. 220; il trouve pour 12) faut. =0; encore ^g) L| ^_ ^^ drr =Go\ ;!; y doit ctro de la forme 2A+1. ,„, r ^^ "■ n ^ ^ 1 Bonnet, L. 17. 13) I = — . l; y 1 + p-" — ipCos.zx 1 ^^fSin.\{2a—l)x].Sin.x ^r p" „ f ^ „ 15)/ ^-'^ ~* dx = ~—^ — ,p^ <1; \ Bierens de Haan, Gr. 13. 193, ji + P''—zpcos.zx 21 + p'^ ^ r 16) _ f-P — ,P*>1; Page 137. 18 WIS- EN NATUORK. VERB. DER KONINKL. AKAOEHIE. DEEL IV. F.Circ.DiiMat.fract.ad^n.d'unfact.lrin6me. TABLE 84 suite. Lim. elTT. ,^JSin.{{ia-l)x].Sm.2x ^ . \,pJl T 17)1 '^^ — dx = 0, \ 'J I ^p^ — 2pVo8.Zx I Cos. {(2 a— 1) a;} 71 + P'- ZpCoa.ix Cos. 7, ax. Cos. x dx = da; = C Cos. 2 a J I + p'^ — ZpCos.ix fCos.(i2a — \.)x).Co3.x n p" 20) / '^^ -~ dx = — , p 'J I -\-p- — ZpCos.2x 21— p^ n p — " Bierens de Haan, Gr. 13. 193. 21) 2^—1 fCos.{[2a-l)x].Co3.2x , ''^jv+V^-2pCos.2x''-''P'<'^'^''>'-^ 23) jl + P 1 — p Cos. 2 X dx = It Smaasen, Cr. 42. 222. ^ — 2pCos.2x CCos.x Cos.U2c-{-\)x) , T ^ r 91 fl <7 1 '^1) / -; , ^^ , ' dx = - Cos. j(2 c -I- 1) Ardg. \y 1\ . Tang?c-\.\ _ ^rccos. \^ -^-t 7 l+(oj C Cos. X. Cos. 2 C X , ''^ „. f ■ ?) „ fl <7 ) 25)/ r-TT r^TT<^^== *«• {2c^lrc.rana.2c]- Arccos. \^ -\ ']\J^{aSin.x-\-by a { "^ 2j ^ U 2 6»J De ces deux fomules, oil o = — (l+a* — 6M +i/f (l+a*— 6^1'+46»1 , \?y^^= Legendre. • ' «.\ ' ' ' J ' txero. 5. 121. vr » / c r 1 — pi> Coi.bx ., r I ^ , - 26)1 — , ^ — ; — - — - Cos.'^ 2 X. Cos. \cxdx = r— T 2 2 p* Cos. b X -\-p 2b 2«H-i I \nb p"* Smaasen, Cr. 42. 222. F.Circ.Dir. rat. fract.aden.d'un fact. trindmeetd'autres. TABLE 85. Lim.Oet t. f Sin. X dx n J 1+p' — 2p Cos. X Tang. ^ a; 1 — p ' 2) p-1 ;p*>i; Sin, X. Tang, h x f Sin. X. Tan-. . _ . - 3)/ . , , ,% dx = — — ,p>l; yl + P — 2pCos.x 1 + P f 1 da; y I + p — ZpCos.x Cos. X 5) = 00 ,p* > 1 ; Scbiomiloh, Beitr. II. § 1. H trouve faut. : Iponr 4) ■ , p^ < 1 ; 1 1 — p , 2 Jrp /pour 5) — -, p- > 1. ' p' — 1 Page 138. F.Circ.DIr.rat.fract.aden.d'unfact.trinomeetd'autres. TABLE 85 suite. Lim.Oet'r, 6) 7) 9) /, dx + P \ + p"^ — ^ p Cos. xy (i_p»): TT ,p' < 1; TT , »^ > 1 ; / (1 +jo^ •— 2pCos.a-)' (l_p2)5 1 + 4p» +p 10 I dx 7 (l+p^-2 11) 12)/- 13) U) l + 9p» + 9p^ +;>« 1 +»i»* + 9p' +P* (p^-l)» Euler, Calc. Int. 4. S. 4. 22. da; n C lf\i 2 p Co.. .)«-f. = (1 -p^)^' ^0 I J "'" ' ^'^ ^ ^ ' \ c lA^ ^k Cos. a X Trp" ^ a2",p^>l; Euler, Calc. Int. 4. S. 4. 31, 67. — Legendre, Exerc. 3. 62. TT^i^C^if' " - ^r=^ {« + 1 - (a - 1) p.} .p' < 1 ;| K,.,.,^ C*.^^.,«. Legendre, Exerc. 15) =^-^f£^{(« + i)P^-(«-')],P^>i;) '■''■ 16) Calc. S.4. 17) !«)/ f Cos- «^ /«+2\ 'rp" f a-2 a— 2a-l ) NEuler; j(l+p^-2pCo.v..)3'^^-i 2 j(-IZ^^-aTl'^^+a+I^^ T^^''(S^-te._ a+2^_,,p::^f a-2 0-20-1. ^ ^ . J^^^^^^^^^^ 2_i^stP a+/P +a+ia+2J'P >-^')62. Cos. ax (1 + p'^ — 2 p Cos. a;)* + d.-c 2 /(p= 'o -j- 3\ jrpa 3 ;(i-p^)' f a — 3 „ o — 3a — 2 a — 3o — 2a — 1„1 I + 1*^^0 + 10+2 ^ o + l + 20 + 3*^ j*^ ^ Page. 139. [Euler, Calc. Int. 4. S. 4. 22. 18* F.Circ.Dir.rat.fract.ad6n.(l'unfact.trin6moet(rautres. TABLE 85 suite. Lim. et ^. )[ ^SL^ d^= /« + 8\_JIp:!_ 1 f o — 3 . a — 3a — 2 a— 3a — 2a— I) . /Cos. ax , la + c\ np" da; = ' ^ ' T. 4. S. 4. 81. /I Legendre, Exerc. Con. ax = r'^*') ?PH_ I 3- 62. f lc\a — c „ /rX <'' — ca — c4-i „ , 1 22) f ^-S^ d. .. !LPl__(^±i)ll , p, < 1 .) 'y(l^p»_2p(7o8.a;)<»+i (l_p2)2a+i la/i ' i' ^ '/ Euler, Calc. Int. T. 4. > S. 4. 30. — Legendre, Trp" (g+l)"/! J I Exerc. 3. 62. ^^) = ^_l)2a+l ""i^T" ' ^ ^ ^ 'j 24) I —dx = — — TT ,p> < 1;] J{l-2pC0B.X-\- p^r 22<'/^ ^^ j^^^g_^^^ jj^g^.^^ j^^^g^^j^ ^^^^ jj^, 120/9 jr I trop.). 25) = ; ,p*> 1;] I 220/2 p2o"^ -^ '.' /Cos. ax n d*— I po+i— 1 TT": T7. 77 <^« = ,, ,,. . -m • T. Boole, Phil. Trans. 1844. {l-^-p — 2Cos.xl^p)l> lA-i/lpi" dp*-i (1 — P)* f 1 da; TT 1 +py ^ ^'''jr+p»--2pCo«.;i! l-\-q^ — 2qCos.x ^ (l—pijd—^s) i_pj'P'<^' ^'^^ ' 28) = T-TTv— •T^^^'P">l'^'>l;f^'''''°■ (p^— 1)(9*— Dpg— 1 [ milch, /Beitr. /• &'n.* X dx _ n 1 ^ ^ [ II. 2. ^Jl+pi—ZpCos.x l-{-q^—2qCos.x ~ ll—pq'^ , <7o5.a;4-p,»)'(l-2pj Cos.x+p^ ^r. ... (kA facteurs) "''"" r(ijr (m).... i^'"' di//"~' Z— 1 m— 1 r / \ I'+a—l , , A+a- 1 (l-y.)'{l-^.r , oh les fonctions Y = ^ ^./ \ P2I \ P \ Pj \Pq PJ \Pj Pj "" \Pg Ph Apr^s la differentiation mettez pj ^ . P2 * • • • • Pk^ ai lieu de y , , ^2 > • • • • .^a Voyez de oette intdgrale: Boole, Phil. Trans. 1844. Cos.lkx dx 1 p Cos. X -\- p''' Cos.x 32) I ^ 'n .. n _ ==" ^ ' P"""^ A = 00 ; Schlomilch. Beitr. II. § 1. F.Circ.Dir.irrat.fract. TABLE 86. Lim.OetT. I Cos ^ X 1)1 — dx = Y (p) Eaabe, Cr. 25. 160. 7 1/(1 _ pi Cos.* a;) ^^' C Sin. X 2)/ dx = 1^2 7 1/(1 — Cos. a;) ^) / ^ /I I rj" '"o „ /^/ „"^^ ^ -^ = ^ > P^<1;^ Poisson, Mem. Ac, 1823. 571. N°. 12. Sin.x 1/ (1 + p^ — 2 p Cos. x) 4) . =-, p'>i;j P ' C Cos X 2 5) / — ^ dx = - (F'(p)— E' (p)l,p < 1 ; Ramus. Danske Afh. 6. 365. 7l/(l +p2 — 2 p Cos. a;) p^ ^' ^^U^^^ ^.f Cos.ax l«/2 00 ln/2(2a + l)"/2 \ 7) = 1!/! -^p" 1 d"^-)- (-^V.p<,/.; gl: 2<'/2i/(l— p») o2"/2(2a + 2)«'2\p*— 1/ '^^'^^'z 8) / :; 7'" " ^ dx = — ^^— ,»»1;; dx 1/(1 +p^ — 2pCos.a /■ dx 2 / 2 1/ »\ ■— = E' — — ^1 Smaasen, Cr. .T) 1+p \l+pj 42. 222. E'' ^ Cos.*)' I/(p*-l-7) P*? \P*+9 2 f „./ 2v ^^7l/(p»-9'(?oo.^)» "" 9l/(p^+'7)l Ip»+?/ p'-9 Ip'+9/) Plana, [M^ra. Tu- frin. 182tl. 389. 17) '^ '' 2-r^ 2ai2i/(l— p*) o2'v'2(2a + 2)«/2\p tj .P 7 ^ \ ^;)/22«.l2«(i( ^ / ^ 22«.l«/'(l-j-2a)'>|iJ F.Circ.Dir.rat.fract.aden.monomeetbinome. TABLE 88. Lim. 0et2^. . i c. 2a-i-i da; l<'/2 \)\Sin. ^ X— — = %n Eaabe, Cr. 23. 105. J Tang.\x 2«/2 CSln. a X. Sin. x „ 2) / ^ . dx = (— 1) 2 7r V. T. 356. N'. 5. J 1 + 60s. » f Sin. a X 3)/ dx = Q J 1 ~ p Cos. X I p < 1 ; . f Cos. ax a n jl — 1/(1 — p'')!"! Eaabe, Int. 172. — Ohm, Ausw. 26. 7 1— pCos.a; '"^ ~ 1/(1— p») i ^ J /■ (Si«. a X 5) / ;~~; ::. dt; = , p ■< 1 ; Ohm, Ausw. 26. y 1 + p Cos. X Page 143. Sin. X , , . dx = 4, {tt ~ 2 X) Cosec. 2 }. V. T. 30. N^ 17. F.Circ.Dir.rat.fract.adon.monomeelbinome. TABLE 88 suite. Lim et 2 ^. f Cos.ax (—lyZn fl — V^d — jp^)|° , /j < 1 ; Jl+pCos.a: 1/(1 — 7)^)1 /> i Ohm, Ausw. 2(i. "/rrcs^^iT^:; - ^ •"^''- '• "• ^' ■'"■ "'• "• ^7 f— Cos.* L Sin.^ X ^^lp + qCos..T ^ I/(p'-5^) '^ ■^*'' 10) ' = (val. princ.),;)*<(^» ; da — a-ir ^ ^ ( 12) == (val. princ.) , p* > --. > 1,2. F.Circ.Dir.rat. fract.aden.trinomedeCos. TABLE 89. Lim.0el27r. y Bjorling, Gr. 2o. 26. Eaabe, Int. '}l^p* — 2pCos X ^ 1— p» 'P<1;| i 1 -f p" — x,p t/0« * X — p- r Bierens de Haan, Gr. 13. 193. — Ohm, Ausw. 86. 271 " p — 1 3) a a , ^ ] Eaabe, Int. 172. dx = ' /Sin. X , , \ dx = I 1+p^ —ZpCos.x I , p < 1 ; f Sin.t 7l -\.p* — ZpCo8.x /Cos. X 2 71 p rjn — T~? ^i — ^ >pl;i pp» — 1 / Page U4. F.Circ.Dir.rat.fract.aden.trinomedeCos. TABLE 89 suite. Lim. et 2 tt. f Cos. ax 27rp<» }Raabe,Int.l72. - Bierens de Haan, Gr. 13.193. p — 1 C Sin. a x. Sin. x 9) / ;; d. 'J l+p^—ZpCos.x X = n p"^^ ,p<^\; /^ ^ ) Bierens de Haan, Gr. 13. 193. Cos. a X. Cos. X 1 4- P* I — ; dx = 7r»a— 1 — -^— , »<: 1:1 , p < 1 ; , o ■ J Sin. ax — p Sin, {(a + 1 )ir] ^ j3iI ; '"— dx = 7 l-\-p^ — ^pCos.x [ Cos.ax—pCos.{{a+l)x } ^^ ^ l Ohm, Ausw. 26. - Raabe, Int. 172. 7 1 +p2 — 2pCo«. « "^^ ] 15) /-— ""°" ^ ^ dx = 27ra —^ Poisson, P. 17. 612. W. 20. 16) Cos. a; e— « dx = 'Zna e« -j- g— o — 'Z.Cos.x e" — e-" fl — p Cos. X -\- pi Sin. x fl — p Cos. X -\- pi iiin. X I -~ — ;; T^T ~ = 2 tt , p < 1; Moigno, Calc. Int. 138. / 1 — 2pCos.x -\-p^ F.Circ.Dir.rat.fract.aden.trinomedeSm.etCos. TABLE 90. Lim. et 2 tt, f dx 2 TT ] J a-\-bCos.x-]- cSin.x ]/ (a^ — 6^ _ gs ) ' ' ( pienggr, Gr. 12. 409, 2) =0 ,a^ ^1 ^' a> > ft» + c*;> Biorling, Gr. 21. 26, J ~a-\-bCos.x-\-cSin.x l/(a^ — 6-' — c^) • '/ j si 6) =0 (val. princ.) , a* < 6* + c»j 1 7) = _ 00 , a* = 6* +c*;/ Page 145. 19 WIS- EN NATUURK. VERH. DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL IV. . 5) F.Circ.Dir.n.l.fract.ad6n.trin6mede6m.et Cos. TABLE 90. Lim. 0et2i. ^'/r — ;:; = 2 tt , » < 1 ; Moigno, Calo. Int. 138, p Cos. X — p t iStn. X /dx In __ — Jacobi, L. 10. 229. a -\- In Cos. x-\-ci Sin. x v^ (a» + 6» + c») 1» = ^a-GH) ''^-^'''<''+'" Cos. X 2 71 —- dx •~~~ — . — ■{p + qi)Cos.x — {r-^si)Sin.x G , „ [ Sin. X 'jl—(j>-{-qi)Cos.x — {r-\-si)Sin.x"'^~ Q I , ^ . /" Sin. a X 14) / r^; dx J \ — (p + 2«) Cos. X — {r -\- si) Sin. x 2ni dx = ^i {l + TX(l-GH)}''-(l-l^(l-Gri)}° V/{1— GH) Q« .^Z' !/ ^ // -r . Sin. ax ni G — H ^^1 l—(p-\-q()Cos.x-{r+si)Sin.x^^ I/(1-GH) {l + l/d— GH)}<"^^* ?»•)'(p« — ?r)»+(pM— j<)*; Jp-\-qi — \r-\-s%)Cos.x — [t-\-ui)Sin.x Dans les formules (10) ^ (18), trouv^es par Jacobi. Cr. 32. 8, on a p, q, r, s r&ls, {ps — qr)^^ ?*+«*» p5 — jr>0, a entier et >■ , G = p + s4"(7 — »•)» . H = p — «+(? + »•)«. 1/ (I — G H) positive. f d X Zan 2 ij j J ^^7 (a + i Co«. X + c-Sin. rr)> "" l/(a» — 6» — c»)» ' " '^ '*"'''( Dienger, Gr. 12. 409. 20) ==0 ,o» <6» +c»;l Page 146. F. Circ.Dir.rat.fract.ad^n.trinoraedeSw.etCo*. TABLE 90 suite. Lira, et 2 ". /dx 2aiJ-62 igi ^ , {aJt^bCos.x^cSin.xY ~ i^ {a^ — b^ — c^)'^ z'^ ^ "^^ ' 22) = ,a2<^6s+c»; 2311 = ' ' a^ '^ 6^ 4- c^-l 'J (a-^hCos.x-{-cSin.xy ^/ (a^ — i^ — c^j^ 2 ' ^ ^ '1 24) == ,a*<6^+c=';(' Dienger, Gr, 12. 409. (a-[-biCos.x-\-ciSin.Xj* l/(a* -\-b^ +c*)' /" dj; r — qCos.X 'J {r — qCos.X + qiSin.hCos.xy ~~ ^ l^ {r"^ —2rqCos.X -\- q"^) F. Circ. Dir. irrat. fract. TABLE 91 . Lira. et 2 tt. , r dx 4 ^ / 2b \ Jv^ia — bCos.x) i^(a + b) \ a + bj C Cos.x , i ( / 2b \ I 2b \) 'j\^{a — bCos.x) il/(a + 6)i \ a+6J "^ ^ ' \'^ a^bj) C dx 4 I 2b \ I Dienger, jl^{^a + bCos.x)~ }^{a-\-b) \ ^ a + ij | 424.^' , /* Cos.x , 4 f / 2b \ I 2b \\ 5)f ^;L_ ^ ^(i + ^E'Z 1/^ 2& + b F. Circ. Dir. fract. TABLE 92. Lira.-et-. 4 2 fTanaF-^ x — Tang} '^x 1 1 1 ) / ;7— T dx == -n lot. -p n V. T. 5. N\ 12. 7 Co.'!. 2 a; 2 2^ 2) /(ran/ ^ + CotF x) (Tang? x + Cot? x)dx = 2n ^'llUlJ^iUL y. T. 5. N». 10. J Cos. p-n:-\- Cos. q n Z)\{Tangr x-Cotr x)[Tang? x-Cot? x)dx = ^ ^ ^^J^L P ^- ^in- i 9 n ^ ^^ ^^.^ ^^ J Cos. pTi -\- Cos. q n Page 147. 19* F. Circ. Dir. fract. TABLE 92 suite. Lim. 7 et ^. 4 2 4) ({TangF x - Cot" x) {Tang." x + Cot.' w) ~— = -^^^^-P^ y. T. 5. N>. IB. ; — ' — 1 — Sin. X. Cos. ''A Co«. 2 a; Cos. pn -\- Cos. q n X 3l/3 dx n - V. T. 7. N». 1. 4" Sin. X. Cos. X 3 1/ 3 V. T. 7. N°, 2. (Tana, x -4- Cot. « . jt Stn. » X. ^)/ i A- r /^ a ^^ = ^ f-T'^t_a \ „, f dx %n 7) / = V. T. 30. N°. 10, 11. y 1 ± Sin. '. ~ ' " . X. Cos. X 1/3 dx ± Sin. X. Cos. a; 1/3 Sin.* X J '"■ (p^Sin.^x-^q^Cos.^xy ^ ^ %p^ q S)! ^ ^. —-^ = 2 TT V. T. 30, N'. 16. 9)/-—- "t ; da; = — ^^— Grunert, Cr. 8. 146. F. Circ. Dir. TABLE 94. Lim. p ^ et ^ ^. 1)1 ;- , ^. ; ; — :^ — :r-rz-dx = 7— r- Grunert, Cr. 8. 146. Sin."' X Tt /_jjp' Sin.^ X + q-" Cos."" xY '^ "" i^ q f >Sm.((a4-')a;) 2) I =^ (i .r = 2 7r Lobatschewsky, M^m, J „ .Sot. i« Kasan. 1835. 211. Sm. Lx — 2t Sin. X 3 — — -dx = - 4- C'o«.2 X 4s 3) / _ ^ ^^ .^ - (ia; = - TT— Ardang. \X 2 Caucliy, Sav. Etr. 1827. 599. P. 2. § 2. -^^ 7 7 T l"' Cos. h I Lobatschewsky, ^ — o i_ 1 1 Mem. Kasan. o + ■"■ 1835. 211. 4) / Cos^ x.Cos. {b{x-l)) dx=^^ -f aA-b "*" ' Co8.xdx\y {\ — 3» Cos.* a;) = — 4 |l 4- 1 -\ Kogner, Material. 2 . [Ihit , ■ , \ Vj, a + bCos.x^cSin.x ^ i/(a^— 6V_c») ' ^' > ^'^ + "'^ j Dienger, Gr. 12. 409. 7) =0 ,a*<6* +c';] Page 149. F. Circ. Dir. TABLE 94 suite. Lira. j9 rtetgrr. 8) Sir a + dx Zhn ,a»>6» +c»; 1 b Cos. X -{- Sin. X 1/ (a* — 6» — c*) = .o* ; 1 'J {a-\-bCo8.x 13) 14) 15) = ,a»<6^ +c»; r. dx f^ {a-\-bCos.x-^cSin.!DY v/(o' — i* — c») 2 a» + 3 (6' + c») , ^ ., , ,, ,a^<6» +c>; f ^ dx 2hn J a-{-{bCo8.x-^cSin.x)i "~ j/ (a» + 6* + c*) /■^*' Jx 2ahn ^^J {a + {bCoa.x + cSin.x)i]'^ ~ V/(a> +6» + c»)' 18)j &-n, Dienger, Gr. 12. 409. .a 2 4nr T in.bxdx = ( — 1) — Ohm, Ausw. 56. F. Circ. Dir. TABLE 95. Lira. et 1 f 1 . \ 1) iCos.q xdx = —Sin.g i ? f 2) j Sin. q xdx = — (1 — Co*.})! S)jSin.''{2nx)dx =- 4) f Cb». , q- < 7r»; Dienger, Cr. S8. 331. * (27rx) dr = Abria, L. 4. 248. Page 150. F. Circ. Dir. TABLE 95 suite. Lim. Oetl. 5) I Sin. 2 ax. Cos. {2, nx) d X = Abria, L. 4. 248. fSin (2anx) ^)l-7?r' dx = 1 V. T. 301. N°. 5, J Tang.Ttx fCos.(2a7ix) 7) I 1 '. ^^ ^ 00 V. T. 301. N". 4. J Tang.nx S)\Sin.{laitx)dx = Kuramer, Cr. 35. 1. 9} lCos.(pl^ x)dx = — (pSin.p-\-Co9.p — 1) Dienger, Cr. 46. 119. F. Circ. Dir. rat. a un fact. TABLE 96. Lim. Oetoo jSin.xdx = Of, ou a ind^termin^; Meyer, Int. D^f. 98, / =^l •' \ Raabe, Cr. 15. 355. — Id., Cr. 16. 219. — Boncompagni, Cr. 25. 74. f ( jCos.xdx == Oi I = a, ou a indetermine; Meyer, Int. Def. 98. — Lejeune-Dirichlet, Cr. 17. 57. 10 f . 1 I lSin.pxdx = —j J PI f i jCos.{x^)da; = - i^ 2 l'^*"" Izo^ '^^ ^ ^^^t Bidone, M^m. Turin. 1812. 231. Art. 1. N°. 4. — Schlomilcli, J ^ ^ ' f stud. I. 13. ~ Helmling, Transf. 81. — Mascheroni, Adn. 57. fcos. (~\ dx = -ql^n\ 1^' *'°'^'^ ^^'^t*^- = 9 1^^- Poisson, P. 16. 215. N". 2. — Cisa de Gresy, M^m. Turin. 1821. 209. II. Art. 53. — Plana, M6m. Brux. T. 10. — Oettinger, Cr. 38. 216. Cos.pxdx = 0^ Sm.{x^)dx = -l/27r^ Cauchy, Sav. Etr. 1827. 599. P. I. § 6. Page 151. F. Circ. Dir. rat. ent. a un fact. TABLE 96 suite. Lim. et oo. f . 8" ) I Sin. adx = 1 1 ) I .5MI. xax = 10 3°^ 1,12? Baabe, Int. 149. 14)/(7.8»— p» ....(2a + l)»-p» f_ p1 yM'— p» _ _ p».i»— p>....(2a — i)»_y» ) 1 1 1.2.3 "" i^o+V j , oil p tout liombre, hors la forme 2 *-}-l, oil A < a; Page 152, F. Circ. Dir. rat. ent. a plus. fact. TABLE 97 suite. Lim. et 00 2a-i'-l 8)/(7o«.'"' ' x.Cos.piP dx = Eaabe, Int. 153. 9)fsin.{x^).Cos.2qxda> = - {Cos. (q^) — Sin. (q^)] i^ 2 it 10) ICos.{x'^).Cos.2qxdx = - {Cos. {q'^) -^ Sin. (q^)} i-^ % n 11) I Sin. (q* -{- x'^yCos.Zqxdx == - 1/ 2 jt 12) jCos.iq'' +x^).Cos.2qxdx == ~ IX 2 tt n)j {Cos.{x^)-\-Sin.{x^)} Cos.Zqxdx = - Cos.{q^)}^ 2n\ li)! {Cos. {x^) — Sin. {x^}] Cos.Zqxdx = - Sin.{q^)]^ 2 nl J ^ I i5)|*i. Poisson, P. IP. 404. N°. 75. Sin. — . Stn. X f k 'T 12)1 dx =^ — e-«, ouA = Qo •/ ^ 2ife Cauchy, Sav. Etr. 1827. 124. Note 3. F.Circ.Dir.irrat. TABLE 99. Lim. et c» 1)1 5m. xdx l^ Sin. Z qx := — i Sin. — q -{• Cos. -q\l^ qn j 2) I Cos. xdx V^ Sin. 2 j a; = — ( Sin. — q — Cos. ~q\ l^ <]^ j Sin. X dx V^C08.Zqx ^ JSi-lf . „,, (2 qf i (''"+A; I Cauchy, Sav. Etr. 1827. 124. /• . ? Note 2. 4)jCo,.xdxi^Cos.2qx = 1 (-i; ^ „^g)2«+v> (2?)'""^'] ,, /■ CoB.ax 5)1 ^ d« = 'J 1^{1— p^Sin.^x) i Cos. ax ^^ ^ Q 1 liaabe, Int. 196. 2& + 1 (1 — p»&n.»«) ^ Page 154. F.Circ.Dir.rat.ent.aunfacteur. TABLE 100. Lira. — ooetoo Fourier, Chaleur. 407. — Lejeune-Dirichlet, Cr. 17. 57. — Id., Abh. Berlin. 1835. 4,)lCos.{px'^)dx = IX — 2p Schlomilcb, Stud. I. 13. 5) / Sin. ( \ dx = 1 Abria, L. 4. 248. 1 l)ISm.{x'^)dx = -l^Zn. Z)lcos.(x^) dx == -I^Ztt^ S)lsinJpx^)dx = I/ — j J ^P[ I Cos. I / Sin. I J \ 2 6) I Cos. ('~\da; = 7)jCos.[{x-\-p)'^]dx=l^^ Lejeune-Dirichlet, Abh. Berlin. 1835.— Id., Cr. 17. 57. 10) jsin. (p» a-'^ + ^]dx = Sin. (-n+2pq\ ^^l U)jCos.(p^ x^ +^| dd! = Cos.i-^-\-2pq\ f /I 9M JT 1 2) / Sin. [p x"^ -\- q x) dx = Sin. [ — n — — \y t- J \4i 4ipl p. U)jCos.{px^ -^qx)dx = Cos. |- tt — -- 1 ]^- )jSin.(px^ ' ~- ' "^''~ ^•- ' - ^ ' \, ^ I > Ohm, Ausw. 24. \y It 14) I Sin. ijpx"^ -\- qx ■\-r)dx = Sin. \— n — ] ^ ~\ Ohm, Ausw. 25. 15) fcos.ipx^ +q^ + r)dx = Cos. i- n —^ ^\ ]^^ - J \4! 4

/ Sin. px 1 »J/ d^ == -5T,p<7r; Ohm, •',, Sin. X 2 , A > c; 2&war „ 2 CTT a: 7 ) I Cos, . Sin. dx = Ausw. 67. Catalan, L. 6. 419. Catalan, L. 4. 323. ^jj'^^^C^r^Tiri^^M^-^" 2 f^____il 1 f g / jx _ p^Sin.X.Cos.X ] F. Circ. Dir. iriat. fract. TABLE 104. Lim. et K Les formules 1 a 15 de celte Table 8ont ddduites par Legendre, Kxerc. Suppl^m. Tome] I, aux numdros indiqucs ; on y a partout ; c = — — , Cos. f = Cos. X. Cos. II , Tang. S = Sin. X. Cot. u , Cot. 9 «= Sin. u. Cot. X. Sin. a Page 158. F. Circ. Dir. irrat. fract. TABLE 104 suite. Lira. OetA. , , f Sin. X 1 ,1 + Sin. X \ 7 V [Cos.-' X — Cos. 'I) 2 1 — Sin. I \ „. { Sin.^ X ^ 1 + Sin.^ I \-\-Sin.l 1 „. , ' 2) I dx == i om. K w. n. j/ [Cos. 2 .V — Cos. ^ I) 4 1 — Sin. I 2 Sin. X. Cos. X Cos. U) ( 1 —Cos. ^ 1.1. Cos. 2 x)) 3) / — ; '- — — dx = Sec. u 'J y{{Cos.-^x — C "' ' "" " ^' Sin.x. Cos.^ X J + Cos.^ v ^ Sin. u. Sin. X ■Cos\ I) (L—Cos.^fi. Cos.^x) \ ^ ~ ICos.-^fi I Sin. X dx 5) / 77777r7r~7^:7r^,"^^ ^„. 2. /.„. .aT TT— = f Sec. I 1/ \ {Cos. ^ X — Cos\ X){1— Cos. ^ ,u. Cos. ^ .») S 2 Cos. ^ ,a 2 Cos. ^ a ojn. .-K d^c . 40. ^ {[Cos."^ x—Cos."^ A){1— Cos.V-Cos.^u;)} Cos..r [ Sin. X d.c 1 + Cos.- ;' Sin. ft. Sin. I ! 7 l/j (Cos. ^ a;— Co5.U)(l — Cos.2/(.Co5.U-)} Cos.^ x ^ 'Yc^^T '' "^ 2 Cos.^ ;i / /" /Sin. a> \ ^7 V/((Cos.^a;-Cos.n)(l_Cos.\a.Cos.^^)} '^ -^ = ^ i^'"- ." '■"») \ r Sin. X dx ^\l V[{Cos.^ ^-Cos.n){l-Cos.^ t^.Cos.^x)} C^^x ^ ^''■' ^^ ^ ''^'"- •" ' '' ) 9) ....^...^ rJ.l.n' ^.„..■.„„.„^ .^•« = Sec.\u.^ {Sin. a ,,;) - Sin. X. Cos. ^ X ^^ _ C2 Tii/c- \ Sin. X. Si7i. i.i\ Cos.n){l — Cos.\i,.Co '/ V/((Cos.^r-Cos.U)(l — Cos.\«.Co.j.^a?)j "'' ^ '•■'*' Cos? i f dx J [/ {Cos.^ X — Sin.^- A) dx Cos.^ X \/ {Cos.' X — Sin.''' X) Cos.''' X \/ {Cos.'' X — Sin.'' X) dx ^[{Cos.''x—Cos.''^{\—Cos:'ii.Cos.^x)] 41. 1 1 ) / -— '^ = Sec. U.E' {Sin. X) l^)/ ..f,^„„2. ^,,2^7. ^..■2^.-2_^. = (^osec. r.r(c} , ., r d .c Cos.^ (4 Sin. a 14) / — = F' (c) 4- ^— E' (c) , ']Cos.''xV{{Cos.''x—Cos.''X){\—Cos.-'iK.Cos.''x)) Sin. p ^ ' ^ Cos.'' X ^' (42. ,^, r Cos.'' X Cos.^X Cos.X 15) / — — -^; TT-T. ^ dx= PYc)+ {F'fcjE c,,. — E'(c)r c,»')) .7l/{(Cos.2a;-Cos.U)(l-Cos^„.Cos.2a;)} Sin. v ^ '^ Gos.v^ ^J^^J V / ^ > ;/ jg, f___Cos^^ c?^ ^ jT \ienie, Exerc, yi+2>^ — 2pCos.a;V/}2(Cos.«— Cos.a)} 2(1 —/>) j/ (1 — 2 p Cos. ^4-p=') l^*- Page 159. F. Circ. Dir. irrat. cnt. TABLE 105. Lira, i et i'. 1 ) / Sin. T. Cos. xdx\/ {{Sin. > x — S»j.» I) {Sin."^ ,» — Sin. > ^)} = :j— {Sin. ' ,u — Sin. > i) » 2) |Sj«.»a;.Co5.X(ij-i/{(5en.»a;-5t«.U)(&n.»,,— 5m.».T)} == ^{Sin.^ u—Sin."^ ky (,Sm.» A,+^:tn.»|M) y 82 3) jsin.^"'^^ J-. Cos. xAx^ {{Sin. » x — Sin. ' I) {Sin. * .u — An. * ir)} = „. 2a+4 ", „ /a\ l"/^ {Sin.^ft—Sin.'}.)" Stn. /^^(-l) gj;^ ^;ir;; 7r(5tw.»« — Sm.U)* 4 Sin.* (i Voyez de ces formules: Legendre, Exerc. Suppl. N". 6. F. Circ. Dir. irrat. fract. a den. rat. TABLE 106. Lim. X et .«. Toutes les formules de cette Table sent deduites par Legendre, Exerc. Suppl. Tome I, les for- mules I a. 9 dans le N'. 5, les formules 10 a 16 dans le N^. 7 ; on a dans ces formules: (Sin.* I* — Sin.^ X Cos.^ I — Cos.' /* Sin.^ H Cos.^ X /\0S X It -—^—da; i/{(5m.» x—Sin.^ X){Sin.'^ fi — Sin.^ x)] == - {Sin. n — 5jn. Xy fCos.x , , „. . „. . , ,^. . ^. „ •> n {Sin. It — Sin.X)* 2)1— — j-dxi/{(5in.»ar — 5m.U)(5in.*,u — Sm.»a;)} ' ' 3) di Sin. X. Sin ji Cos.x , ,,„. „. ..,„.., «. . , 1 T ISin.^ Li — (St'n.-A.)^ I dx 1/ f(Sin.» :r — Sin.^ X){Sin.'^ u — Sin.^ x)} = ^ , „ . JSin.^x *^ ^^ M . ■" 16 &n.U. Sin.»/t 4)/7Trv-^-Siw.V— >Sm.-A ^ &' n.V— ,S» i.^A| 7 ^os.«i/( (Sin.=';B-5in.2^)(Sm.2ft-5in.2a;)| ■~5i«.p,.Cos.-^f»" I Sin. * f. ' ''"^''^'^ '.S^fT j , F. Gircul. Inverses. TABLE 108. Lim. Oetl. 1) I Arctang. xdx = — tt 12 2) I Arctang. pxdx = Arctang. p ^{1 + p*) /• . 1 3) I yircsin. x dx = —it — 1 4) I Arcsin. p x dx == Arcsin. p -\ — 1/(1 — »^) 5) / Arctang.{xe^')dx=-^—^Sin.p—-Cos.pl{2Cos.p)-{-~{l- — ~-+2Sin.pl{9,Cos.p)—pCos.p\,p<\n^; 6) I Arcsin.{xe^')dx^ Arcsin. ( — — ^— j— 6W.p+ { Cof.^^^^tj^- iSin.- — ^ j V' {2Sin.p)JriSin.p-\- + il |sin. 1^ + ^/(1+ Sin. p)| ,p<^n: Sur les integrales 1 a 6 voyez: Dienger, Cr. 38. 331. Page 163. 21* F. Circul. Inverses TABLE 108 suite. Lim. et 4. f 11 7) I ArceoL xdx ^ -7t-{- -12 V. y. 108. N°. I. 8)JArcsin. (l/«) dx = - V. T. 9. N°. 4. 9)l/) Raabe, Cr. 42. 348. ^)f {B"ix)}^dx = ,^^ .\v.a+2/lB, -jj (2 a + 1^°+^/' "^40+1 5) / da;h'.(«) = — ^2 V, T. 300. N°. 1. Page 165. i/;^ J^ ^>V NH. Les deuxienie et troisienie parties dc cos Tables paraiUoiit clans le cours de I'annee; on y joindra la preface, qui doit donner divers renseignements, et que Ton devra consulter par consequence, en faisant usage de ces Tables. II sullit d'observer ici, qu'en general les premieres lettres a, h, c etc. designent des nombres enticrs, et que les lettres p. q, r etc. representent au contrairc des quantites quolconqucs, trac- tionnaires el irralionnelles. Toujours les lettres ne valenl (|iie pouj' des valeurs positives, a nioius que le contrairc lie soit expressement cnonce. ■■^. (A! ^ y]'- c r . in i.'iiri'Hiwr'.iiin ui'. n. .i. Kn<>iivi(. ^A-fjN'^- -« » C " C. "C AMSrMmM, C. G. TAN DER POST. 1857. m ^m<^J^ -_ 5^ ^^-f-t'' TABLE 112. Lim.Oetl. EiXpOll. l)je<'='xdx = — {(a— 1) e<^ + 1} Dienger, Cr. 46. 119. s f ■> , e—l 2) le-^" xdx = 2e g 2 3)le-^-a!^dx = ■ V, T. 115. N°. 2. 4)/ = » Cisa de Grdsy, Mdm. Turin. 1821. 209. I, 27. 3 ^ /fi*^ Jj d X — ■ =56 — 1 Eogner, Mater. (1 + xy 6)je-^dxi^x = \\yn Plana, Cr. 17. 1. ^ __! V. T. 115. N^ 6, Q\ /"/^'"t _ r!^^ ^^' —7J(n\ Lejeune-Knchlet, Cr. 15. 258. — Stern, Cr. 21. 377. — °'j ^ •' a; (1 — a.-) ~ ^^^ Grunert, Gr. 2. 266. „ /"/Se ^ a!" \ da; * / n — 1 ^)j[l—o - tI- =^Z'(a + 1 — a; Tn^fl— . a;«*\ d^ _ 1 * v7 . ^ — ^ \ I Cr.l5. 258.— Grunert, 1"^ j i_^» - I J ^ - ~6 f ^ r^ + "T" (Gr. 2. 266. - Arndt, 1— ~^ 1—' 7 \ 1— a;' ~ 1-ar) T "" 6 d^ 1--* J-L .„ . . r(a)r(a + i]...r(a + ^ ^-y \ i feP^ — 2/) a; — e" P'^da; \ Zn , 12)/ — = pl^n — l — ; i , » <7r; Malrasten, Cr. 38. 1. J J, f /'I r(aW F, Algebr. rat. ent. rn nTi^ji" r•n^ Expon. monomc c- ^ABLE llo. Lim.Oetoo l)le—"^xdx = — V. T. 152. N\ 1. J a' Page 169. 22 WIS- E!S NATl'URK. VEHH. DER KO.MNKL. AKADEMIE. DEEL IV. F. Algebr. rat. ent. ^^^g^E H3 suite. Lira. et oo Lxpon. monomft cf". f , , ^ ,„ . „ „ ,] Euler.Calc.Tnt. 4.8. 5.129.— Legendre.Exero. 2) /e-'d;«->dx = l«-'/i == 1.2.8 a — 1 /s. 81. — Foisson, P. 19. 404. N". 68. — Binet, •' VP.27. 123.— Liouville.Cr.il. l.—Oettinger,Cr. /• [35. 13. — Lejeune-Diriclilet, Cr. 15.258. — Scliaar, '3w fi— 'a;P— • d« = T (v) iMem. Cour. Brux.T.22. — Lobatscliewsky, Mdra. ■7 jKasan.l835.2U. — lcl.,ib.l836.1.II.forra.(12). 00 >• ;t> > — ] ; C'est la fonction Eulerienne de seconde espcce. *\ f «r «_i J 1°~'^' Euler, Calc. Int. 4. S. 5. 131. — Lejeune-Diriclilet, Cr, 15. 258. — 4Ue-?'ar'» 'dar = — — — Oettinger, Cr. 35. 13. — Grunert, Gr. 2. 266. f T (p) 5) le-9'icP—^ dx = — ^^— Cauchy, Cours. Le?. 32. — Kummer, Cr. 17. 228. — Serret, L. 8. 1. /p<'n e-cx xo+p-1 dx = — — r (») Schlomilch, Stud, I. 1. c«+P i r f ») 7)/r— ^aSJ-l do; = — ^^-^ , ao>»> — I.t-^I; Lejeune-Dirichlet, Cr. 4. 94. 8) /ar^e-^ da; = e-^h^ x^lkn, pour i = oo ; Liouville, L. 11. 464. /«, la\ (—1)" e-px(i_«-9x)a a^ dx •= (—1)* l*/i ^ — ^- '—-. V. T. 151. N°. 8. ,,.r-9^ ■ ,P-'j T.,o TNl-2/'i? /3 1 ,\ . r(}— 2p)r(p) jy /, , 1 \ Kumraer, ll)/e %a;+a;^^da:=r(2;,-l)g ^ V' ^ g^/'-^^* j + r(l-p) '''l^+P'Ii'' )cr.l7.228. n)le~''"a/'~^dx = ^r*^*' Moigno, Calc. Int. 132. 13) je'"'a/'~^ dx = ^ e*'"'' , 1 > p > ; Lejeune-Dirichlet, C. R. 8. 157. —Schlomilch, St.T. 13. 14) fe"^'^''^''/"' dx = ^ ^^^ ,. Schlomilch, Stud. I. 13. 7 (1+2*7 15)^-^"+*'^/-' d.r = _J:W /'^-^-H Moigno, Calc. Int. 132. 16) L"^^''''/ dx = , /°^!„.i , oil il y a faut. : {p+qtf Meyer, Int. Ddf. 117. J {p + <]') Page 170. F. A gebr, rat. cnt. rrini in j j-^ •• r • /» » „ " » ffT TABLE Ho suite. Lim.O«too. Expon. monome e""^. 17)le~ X dx = ~ Cauchy, Cours. Le?. 39. — Lejeune-Dirichlet, Cr, 4. 94. >/' {p^qiy 9 18) = ^^'l ,,, -riArctang.^ ^^ ^ r 3 19) j {I — e"') x e "^ dx = - V. T. 151. N". 12. F. Algebr. rat. ent. tapti? jj/. i- n » Expon. mononic e'" pour o special. l)/e ^ x^ dx = -t/tt r -I* 3 2)le a;* diC = -]/ 71 ^ Kramp, E^fr. 3. N'. 70. — Boncompagni, Cr. 25. 74. , -x' 15 'e x^ dx = —- ly n 16 —a; 2a+l , a— 2/1 ^ dx = 8 Oettinger, Cr. 35. 13. 3,/ 4) I e X 5)1 =0 (fautif) Boncompagni, Cr. 25. 74. 6)le a; da; = — T I — I Legendre, Exerc. 3. 29. 7\ f _ ^ , Kramp, Kdfr. 3. N^ 70, — Laplace, Mem. Inst. 1809. 253. § 3 ^j g^+l '•'^ Boncompagni, Cr. 25. 74. — Oettinger, Cr. 35. 13. 8\ f^"^'"' r^" dr — ^"'^ ii/'^ Schlomilch, Gr. 5. 90. — Id., Gr. 5. 100. — Id., Beitr. »jje X dx - ^^^^, ^]y~ 14. _ Id., Stud. 1. 12. /%\ / — PX* 2o+l , 1 . /, 9)le '^ X dx = - — ttt1°/1 Schlomilch, Beitr. III. 14. J (2P) ^ III. - ^x^ 1 10) /e ^ " xdx — Schlomilch, Gr. 9. 379. 7 2p* 11) le .K^da; = -— 1/- Ohm, Ausw, 20. J 4p p Page 171. 23* F. Algt^br. rat. ent. ^ABLE H 4 suite. Lim. et oo . Lxpon. monoine e"^ pouro special. 12) /«"''' X* dx = — r I/- V. T. 114. N'. 11. 13)Jr-^''* x'" d^ = ga+i(p^^;^)2a+i ^ '^ ^eyer, Int. d^f. 116. U)[e'"^'x^''~^dx = ^ «*"" Sohaar, Mdm. Brux. T. 24. 7 2p» /♦ ' e~' x^ dx = ~ , oil n. = 1.81102877714605987 ^^f^"^: ^'^?^- ^^'"^^ 4l/(2:r, V^2) 1782. 1. § 5. 16) /e""' a;» da; = -tXtt 1 '/ 17) \e x^ dx = - 1 3.6.9... i-S/M Oettinger, Cr. 85. 13. 6 2.5.8... F. Algebr. rat. ent. . rrinTryuK f-.^n^» t. ° . „* I. ' ' I TABLE 11 5. Lim. Oetoo hixpon. monorae e"' pour b genera . l)\e X aa; = — 1* a ^ Kramp, Refr. 3. N. 62, 64. — Oettinger, Cr. 35. 13. 8)fc-'^x'^'dx = - \ 7 P I ' 4)/e~'^ar''^~' dx = - \ Kramp, E^fr. 3. N". 65, 66, 7 f 1 h)\e~'^ x'~ dx = — l/i/ 7 Zp I Q)\e~''^ x'' dx = -r Legendre, Mem. Inst. 1809. 416. N". 81. — Id., Exerc. 2. 81. 7) /«"*"«*""' da? = -1/ jr Laplace, M^m. Acad. 1782. 1. § 6. 8) /'«""''"/*"' dx = —1'" Kramp, E(' ^)(lr — e ^Ae~^ xdx = -f^^' i/TT V. T. 37. N^ 9. 3)Jr^^+V-^rf.. = r(p)v,(i-p,j)+r(-p)/v(i+P.5),?>0; g'g™""' "■" "' 4)/e a; dx = 1 -| — Boncompagni, Cr. 23. 74. EUe ne vaut que pour g =] . J qaP \ aj J ^ \ C ~& 1 f Cj/e ^ x'^ dx = -\yn \ Oettinger, Cr. 35. 13. } b I -. r -j(x*+I) 2a , 1 -2? n « ^ (a_n + l)^"/! / j v „ Cauchy, P. 28. 147. P. 8 /e ^x-' X dx = -e ^1^ ~2{— 1)" ^ --T-TT —I 2. — Id., Exerc. 1826. d)je~^^ x''~^ dx = e~^^'r(p) Serret, L. 8. I. 2a 11) L-^'"^''/-' do; = ^^tljl*''' l/TT Kramp, Ee'fr. 3. 67. 12) /(e ~1) e '^ X dx = 1' £^''{p ") Cauchy, P. 28. 147. P. 3. § 1. Page 173. =============================^^ F.AIg*:4)r rat.c^^^^^^^ | Numeral, algebr. TABLE i 17. Lira.Oetoc f * 1 1) /- d» = -— 7r» V. T. 152. N°. 3. r re' 7 2)/^ dx = 7r< V. T. 154. N'. 10. 7/4.1 120 f jr5 , 31 3) /-; dx = 7r6 V. T. 153. N". 2. % 7 c' + 1 256 ^ /«' 127 dx = 7t» V. T. 155. N". 9. e'^+l 1680 [ X 1 5)/-^ dx = -5r> Cauchy, M^m. Paris. 1823. 603. — Id., Sav. Etr. 1827. 699. P. 2. § 5. ] e —1 6 C x^ IN 7) / (fa? = — 7i« Je'—\ 63 / r « 1 ^)\-r. dx = —n"^ V. T. 152. N°. 14, 7e^^— 1 24 /■r 1 .5- dx = — 7r» V. T. 152. N". Cauchy, Sav. Etr. 1827. 599. P. 2. § 5. 12. C x^ 7 10) / -Kz dx = jr* V. T. 154. N^ 13. '+1 1920 rar.P+1 .000 ." 11) I ^ dx = ^-^— r (p + 1) .S-^ Hoppe, Cr. 40. 139. 12) / -7^ da. = —25- isa/i 1-2^ V. T. 157. N^ 2. Je+1 2 o« - 2a— 1 o^""' 1 - 2a . ,,,/"dr'^"~' , z'^'^'tt" Cauchy, Sav. Etr. 1827. 599. P. 2. § 5. — Raabe, l^)J7in'^* = ^^ ^2a-l Cr. 42. 348. Page 174. F. Algebr. rat. ent. nionome. K, - ^ i a rtMnTj^,,r, r- ^ Exi)on.binome«- + 1 nnfl/.n^"m«^at- algebr. TABLE H7 suite. Lim.Oetoo Expon. binome e"'' ± 1 en den.j p-i ^^) /TXT ^-^ = r (p) ^ -^— i- V. T. 157. N". 8. y c + A («+ 1)'' ^^7^^111'^'^ ^ ^ (P)-^^:~T-rT7; v. t. 157. N". 9. 7^—1 2-i /^i 1 -2-- dx = / 1^ J a e /2a— 1 (« + ijp 1 \ * Poisson, Mem. Inst. 1811. 163. N°. 40. 20)/ "5^:^^ ^^ = ~«'' Cauchy, M^m. Ac. 1833. 603. ^TD e — 1 2a— 1 2^""^ 1 21)/-;:;: dx = B Schlomilch, Gr, 8. 9. II .Ttx , ^ 2 a 2a-l 2a— 1 Q2a— 1 2 a 2a-l 2a+l -^; dx =^ B Malmsten, Cr. 85. 55. /za-j- 1 - J^ j„ L Tj Binet, P. 27. 123. — Plana, Mem. Turin. 1820. 1. — Malmsten, g27rx_ J "-^ ^^ J^aa-l Cr. 35. 55. — Schlomilch, Gr. 3. 9. — Id., Gr. 12. 130. F. Algebr. rat. ent. monome. Kt , . Tiimi^jio r- ^. 17"^ I- A „_ , . ,, JNumer.alff.etexp. TABLEilS. Lim.Oetoo. lliXpon.binomee'"^±lenden.J ^ 1 xj.u,.v^t,u /—x ' , -^ dx = -n* — l V. T. 152. N^ 8. ^ " ^ dx= TT^ + 1 V. T. 152. N». 4. 3) / ;; zr^ dx = —n^ V. T. 152. N°. 5. 71+e^ 12 4 4) /^ —, dx = "^^^^ r (^ + 1) ^ -^, V. T. 157. N^ 10. J i — qe 2 , 1 nr^ /I — P"^ h 1 ~'_, e""/-' d^ = 1"/' 2~ V. T. 157. N.. U. 1 — e ^ 1 w" Page 175. n, " 1- . ai^* J >Numer.alff.ctexp. lABLL 118 suite. Lim.Oetoo -"-/-' « (-1)" — -dj! == r(/>)-2'7 ^ V. T. 157. N\ IJ. (a ' ""' 1 (n + p)' Binet, P. 27. 123. /• — ox p— 1 ! lex <» 1 I J 1 — e 1 [a -f n)'^ ' .lex r/1 '^ 1 9) / , TT. 1 10) / ~ — '■ — xdx = —1 + 22— Euler, N. C. P. 14. 120. 1 n* 11)/ ^—^^ase'dx^—n^ V. T. 152. N\ 15. — i- arc dx := — -I- e-^ 27 r — ax , (n — b)x / \ o 12)/ ^ _t^ a;da> = -J Cosec* — V. T. 152. N». 21. 13)/ -— -x^dar = 2Cos. — V. T. 154. N°. 7. ^ P fe"'"' 4- /'"'''^ /" It \* / on\ 1*)/ „^ a;»da; = ) 2 + 4Co«.»^ V. T. 154. N- 8. ^ p 15)/^ ^ x^-^ dx == B ^_ Schlomilch, Gr. 1. 3G0. S6) ['-''^Zl' e-''''x"'dx = t:^' (2.)^''+'iB"(^] Sin."^ V. T. 164. N'. 6. fl+e^'-'^' -icx 2a , (-1)°^' ,- .2a+i *_„ /2n-l\ /2«-l \V. T. 164. 18) je~'" {e~'—lf [p + J/_ ) x' dr = T{q) a' (p-?) Caucby, P. 28. 147. P. III. § 1. Page 176. F.Algebr.rat.ent.monome .^^gL^ ^j9 Lim.Oetoo. Exp. bi iiome (c"^± 1 )- en denom. 1) /« — f — ±-f x^ dx = ^\^^:E ~ V. T. 118. N°. 10. 2) / i-a,i (Zar = -TT^ V. T. 117. N'. 4. 3) I- dA- = r (2) ^ ;, , \„ V. T. 117. N^ 15. 7 (e- + \Y (1 + «)' 4)1 d.r = r (?) ^ -— V. T. 117. N". 16. 5)/"_f!fi_da; = i^r* V. T. 117. N°. 1. 7(.^+l)^- 6 r JZ^^^IL, ,, =. ^^ r (,) 1 ^, V. T. 117. N'. 10. 7) /■(ir^)_^_-h^ e-ax xPdx = pT (p) 1 7^=—. V. T. 118. N\ 6. |- (a+l)e-^-|-« ^„^ xPda; = pT (p) 1 , ~ '^ V. T. 118. N°. 8. f] (1 — e^)^ '^ ^^^ 1 ia + ny f e'"^ .r^" 2-"-' — 1 „ 9)1 dx = B„ V. T. 117. N». 20. 'j(e'^^ -I- J)'- TT 2a-l f p'^" x"^" 2-""' 10)1- dx = -B, , V. T. 117. N=. 21. 7(e^i_l)2 jr 2a-l F. Algebr. rat. ent. nionome. 1 iv - i -u rr*DTr< joa t- r. ,% \- / „_i^ _„:,\ 1- ^Numer. alfifebr. TABLE 120. Lim.Oetoo /•a; oc (—1)" 1) I da; = — .2^ — ^- ^— V. T. 187. N". 2. 'je^-\-e-^ i(2n + l)» 1 /7r\ 2) = -7rZ2 — 2L - Lobatscliewsky, Mem. Kasati. 183fi. 1. I. form. (103). dx =: — 7r3 Y. T. 154. W. 1. 16 ,/• a;^ 7'- + e- ,/• a;* '/"■ + e-^ Page i 177. 4) /— ■ dx = — n^ V. T. 155. N°. 1. 7e^ + e-^ 6 4 23 WIS- EN NATUURK. TERH. DER KONINKI,, AKADEMIE. DEEL IV". F Algebr rat ent. mon6me. j,^^^^ .^ ^, • j^^ ^^pLE 120 suite. Lim. et oo. Exp, bin, (c" ± e~") en den.) ^ ( a;" dx = tt' V. T. 155. N". 8. + «-' 256 6)/ dx = - -n^ 'J e* — e-' 4 6 f n-i 15 1 ( 7) I — dx = n*} Cauchy, Sav. Etr. 1827. 599. P. 2. § 5. 'Je' — e-" 8 30 ( 8 / dx = T 'je' — e-" 16 42 f x' 17 9) I d^ ^ —jfi V. T. 156. N\ 10 'Je^ — e-^ 32 10) f-j-^^ da: = i:(_lf+' (2 71)'*''+^ B" ffl Kaabe. Cr. 42. 343. /•a;' CO (— 1)" 11)1 dx = T iq -\- \) :E ^^ ~, V. T. 187. N". 7. 12) [ /"""""L '^•^ = - (—5)°^* (2 7r)^''+^ B' I i\ Raabe, Cr. 42. 348. f X^ 22a+l 1 20/1 «> 1 /x^ 1 -J •.— dx = -B2a Schlomilch, Gr. 1. 3C0. ~ Id., Gr. 12. 130. - Id., Beitr. II. § (J. fl dx = i '- B" - Raabe, Cr. 42. 348. e9' + e-J» 2 \ q j \4>) '/.■=3 71" 17) / dx = — - V. T. 162. N». 18. e-<" 8 a* -1 2*"- d/c = _ e — ^x 4 a 2a— 1 r 3:2a— \ 2*« — 1 18)/ dx = B Schlomilch, Beitr. II. i 6. — Id., Gr. 13. 130. 'J e'rx_g— r- * - '"— ' r j,2a-I f— l)»/2 7r\2a 19)/ da; = ^ -[ B'(') Kaabe, Cr. 42. 348. 'jfi'—er-i" 4 \ q ^^' -i^x 2 a 2a— I f x^a—l 22a _ 1 2 20) /-; — dx = 2 B Schlomilch, Gr. 3. 9, Page 178. F. Algebr. rat. cnt. mononie. Kt , , TAmi? joj i- a . Exp?bin.(a-±.-''-)enden.r"'"-"'g-^^^^P- ^ABLE 121. L.m.Oetoc xdx =00 V. T. 153. N^ 10. e^+ er-x r _|_ g-x :a; == M V. T. 153. N'. 11. /gX _|_ g-x -—!= a;d. , /" e^ — e~^ tt'^ TV IT 3)/ ; xdco = Sin. -. Sec* — ,P< 1; V. T. 152. N°. 19. 4)/ ' xdx = *-—■ Sec^ — ,p< 1; V. T. 152. N^ 20. 5)/ «<^« = — r-T'Sm. — . 5ec.» — ,p<5; V. T. 153, N°. 12. 6 / a; da; = — - »Sec.» ^— ,» ^ 2 d*- \ l"^)/!,,^"; i^.^ ""^ = V-TT • 'Sec. » J J 6^ + e-'''* djt)2a ^ / /■ 1 > 2 » ^ tt; 1*7 gTT7:jr;=iF. - ^- = ^^^. «ec.pj , , /■ e-i^ 1 ('2 7r)^''+' '^ 42. 448. yei^ + e-{i 2 2a + 2 2a+i ^ ^ ^ y v ; ^i/i /ei" — e—PT jjia \ Page 179. 23* Eaabe, Cr. F. Alg6br. rat. cnt. mon6me Kaabe, Cr. 42. 348. .Algebr.rat.ent. monome. Kt i , rrinii?jaj •» i • r, , /epx 4. e—px d2a+l 158. 2. 21) r"" "_\ ^<'dx = ^ T""!^! ^(— 1)»-1B"( ^J 5in.n& TT V.T. 158. N°. 9. 1 \2i x'^'^dx = ^ (27r)2a+l 2 W'[—\Sin. V. T. 158. W. 11. eT' — e-" c ^ ' I \%cl c ,, /"____^___ , _ •* 7<) Cauchy, Sav. Etr. 1827. 509. P. 2. § 5. — Lobatschewsky, Mom. 'j(i^—e-'f ^^ — 1''^ Kasan. 1836. 1. 1. form. (100). C X \ 2) I dx = I 2 Lobatschewsky, M6m. Kasnti. 1836. T. I. form. (100), II. form. (20). ePx — g— px 71 asdjr = V. T. 38. N\ 8. f ex_g-x lr{w)|» *)j^^—rz:;:^zr,''''^^ = iz^.^p<'^-^ v. t. 39. n». 9. «P* — e— P* 1 a!» da; = 12 V. T. 122. N\ 2. (e^ + e-*)2p+i 8;)r(2/>) J {eP' -\- e-P'y ~ "" *P' /gox J. g— ox 7J — x^ dx = V. T. 120. N°. 17. (go* — e— <«)» 4 a' , V f(p-{-q){e^^^'— ) n^ qn ^qn V.T.121. '^j (^^H^^i^ ,^dx==—Srn.-.Sec. ^^,p, -g^"^^ =^ 22<'+> B V. T. 120. N^ 20. /• e'^x I g— Tar 22a — 1 13) / — ai^<^dx = B V. T. 120. N'. 18. 'I (eTx — e— Tx) -i. 2 TT 2a— 1 14)/; ; ^•^''+* ^^ = — ^~{—\f^ —1 B" - V. T. 120. N\ 15. 15)/(-^zfii;i^'''''^ -:^J- ir (-r B'(^) V. T. 120. N°. 19. ^ — -^2ada; = — (- 1)M— "'' (e?x — e-q^y 2q \ q ) 16) xPd X = pT Ip] ^ — V. T. 120. N'. 11. F. Algebr. rat. cnt. binome. Tunw n^'^ i- n . Expon.binomeendenom. TABLE 12o. Lim. et oc J• (l + a;^)2"— (1— .-l;^^ )2a dx f i e'-^ + 1 2 a -f- 1 2) I ' ; = — J 1 4- (_ i)a 22a B {\ Schlornilch, Gr. 3. a. '} I e'f* -f 1 2 a 1 ^ ^ ^ 2a-i j ^^ r (l -f-a;t)2a — (1 — X if a dx 1 2 a— 1 i e2Tx _i ~ 22a+l ^ r(l + X t)2a-l _ (1 — « j)2a-l dx a - 1 a+1 1 ^^''"''^"V v'' •,^^• 4) / 5^ '- = 4- ( 1) ^ — B 55. — Schlornilch, 7 i e2Tx_i 2a ' ^ ' la 2a-i Gr. 3. 9. f (l + a;i)2a-i_(l_^,-)2a-i dx Jia-l-l Malmsten, Cr. o)j _ ____ _ 2a- 1 4- (- 1)« 2a 2a-l 35. 55. 6) / ^ — ■ — — -> '— - — = (_ V\a+\ B +1 Schl5milob, Gr. 3. 9. J I e^vx — g—hnx ^ ' 2a ' Page 181. F. Algebr. rat. ent. bin6me. ^^p^E i 23 suite. Lim. et oo . Lxp. binome en deiiom. 7) / kiJtZV KJ: fJJ, t:t = i Schlomilch, Gr. 3. 9. 'I ,• girx — g-iyrx 8)/^ ^ ^ =ti^ -^ dx. = (~ l)«+> 22" B Schlomilch, Gr. 1. 360. 7 gjsrx^e— Jtx 2 a 2a+i F Algebr. rat. ent | burner, alg. TABLE 124. fcxpon. polyn. en den.j ° Lim. et oo. /x 4 dx = — 7i» V. T. 153. N'. 3. gx ^ e-x _ 1 2 7 1) 2) / :;: dar = — TT* V. T. 153. N°. 7. e2x ^ e-2-r — 1 " " 2 7 a; ;ii2 — L(X) dx =^ Lobatschewsky, Mem. Kasan. 1836. 1. II. form. (31). _j_e-i— 2Co*.2;L Sin,}.. Cos. X 1 Lobatscliewsky.Mdm /x 1 Lobatscliewsky.Mdm — -— -dx = —-. {(^7r— i)Z2 — L(l7r— ^) Kasau. 1836. 1. I eix j^ g-2x _ 2 Coi. %l 2 Sin. 1l^^^ ' form. (9B). 5) / dx = TT* 1/3 V. T. 156. N'. 1. 7e^ + e-^ + l 243 6) / da; = 7r» 1/ 3 V. T. 156. N'. 2. 'Je-t4-«-*_l 243 1 _ dx = —^^- — V. T. 156. N». 3. ^x _|_ e-x ^ 2 Cos. I 2 Sin. I 3 ■ 7^— rda; = ±—\-n^ — -nl^ — )A V. T. 156. N'. 4. ex_|_e-x_2(7o».A, 5m.;Ll6 .4 ^12 j !) / dar = V. T. 156. N'. 5. 7e*+«-^— 2Co».^ -Sj'n. >, 3 5 /" a;2a /^ l)a+l 10) / ; dar = -!— — ^ (2 7r)2«+l B" (p) , p < 1 ; Eaabe. Cr. 42. 348. da, = ^ 1 (2 7r)2<'+iB" -1 V. T. 169. N». 1. 12)/ r^-^ <^« = (2 7r)2a+l B" (-1 V. T. 159. N°. 2. Page 182. F Algebr.rat.ent.|p^y„^a, t j^BLe 125. Lim.Oetoc. Exp.polyn.enden.J ° ' /I + 2 e-^ 1 — xdx = - TT^ V. T. 153. N°. 1. ex _}_ e-x + 1 9 2)/ xdj; = — 7r» V. T. 153, N^ 2. 7e^4-e-^— 1 18 3)/ ^"^ ''^' ~ —ofdx = -71* 7r^ + - l^ Cauchy, Sav. Etr. 1827. 599. P. 1. § 5. 7e2x + i_2e^(7os.^ 6 2 ^4 f gx_e-^ 7r V"(p — 1)+ l^(p 4- 1)— l^ 2 \ 7e2x_^g-2x+2p^ "" ~ 2l/{2(p-l)} i/(p_l)_v/(p + l) + i/2J /■ gx g— a; p It \ Lobatschewsky, 5)1 xdx = — / Mem. Kasaii. 7 e2x _j_ e-2x ^ e2p ^ e-2p 2 e^ _ g-p ( 1835 ^ /■ gX g— x 1 1 6)/ ■ 'xdx = -ttX Cosed 1 'J e2x _|_ g-2x + 2 Cos. 2 ;i 4 / /■ gx -L g— X ] fl /^\ /27r — ^\') Lobatschewsky, Mem. 7)/ ' -xdx = — — -]-7tZ2 — L - — L -— — ^Kasan.l83(5.1.I.form. 7g2x^g-2x_2Cos.2;i Sin.lh \2/ \ 2 ji(103), II form. (33). 8) f '- .^dx = /i .^ ;l + ^ . r- + i p^ cosec. X S-^^y' f -• '^'- 1«27- '''' ""'f e^^-^[ — 2e^Cos.l yd ^2 6 / P. 2. § 5. 9)j gx + g-x!,2g..2p. -"-^^"- = -T-(^'^)"^^^(^) + 272^2?-+>'^<'^*2.348. IO)f- g-^-^-P^- g(l-,)x,.-. ,, = rW jq^^' V. T..159. NO. 7. 7gx_j_p2g-x_2pCos.^ i(^ + n — l)-- r gX g— X TT X 11)/ xdx = ^. , V. T. 39. N^ 1. ^j(ex_2(;os.;i+e-^)* iSm.l 12)/ ^^^^ ^— x^ dx = — Tis V. T. 124. N". 1. 'I /»T I «_r 1 \ 2 7 13)/ " ~'' x^dx = -^71^ v^3 V. T. 124. N°. .5. ''_/(ex+e-x^.i)2 8 1 /e^ — e— ^ 1 x' dx = ~ n^ l^S V. T. 124. N- (ex + ex_i)2 81 gx — g— X 8 — x^ dx = — (ex_|.e_x_i)2 2 7 e^ — e— ^ 8 ' — ' — X d. I* ~ ~ — (gx^e-x^. 1)2 8 1 15) f; "" I " x^dx =^ X "-TTT^- V. T. 124. W. 7. e^ e— « TT* X* ' (e^ + 2Cos.^ + e-^)* « a; = ^ ^^.^^ ^ Page 183. F Alg6br. rat. cnt. | ^ , rp^p^j^ ^ 25 suite. Lim. et oo. Lxp.polyn.cn den.J ^ '^ f gr e—x 2 a -<- 1 / 1 \ 16)/~7~; — .s, j2a+idj. = — X_(_i)o+i(2 7r}2''+iB" (-) V. T. 124. N\ 11. 17) [ ^'~^' ^sa+i dx = ^""^^ - (— D^+J (2 7r)2«+l B" f - 1 V. T. 124. N'. 12. FAlg(^br.rat.fract.aden.mon. TABLE 126. Lim. et oo. Lxp. mon. en num. ) I — dx = X 1)/ dx = X Cisa de Gr^sy, M^m. Turin. 1821. 209. I. 26. dx = 2)1 dx = —k—lo — lp oo Bidone, Mem. Turin. 1812. 231. Art. 1. N'. 20. Cisa de Grdsy, ib. 1821. 209. II. 34. /•e-x- 3)/ dx = — l/TT Kramp, E<5fr. 3. 72. — Oettinger, Cr. 35. 13. /e— -r^ 4 -—dx = ——— 1/ a." 3.5 , Kramp, Eefr. 3. 73. e\ I —7- (?ir = ;, ' ^ ^ 1/ Jr 3.5.7 ^^^'^^^ — w? — y 8W- dx = -^ Cosec.pn Cauchy, P. 28. 147. P. 1. § 2. 7 ^o r (p) 9) »= r (1 — p) Svanberg, Transf. 3. fe~P' ' g_x . . I Cauchy, P. 28. 147. P. III. Suppl. ~ Id,, Exerc. 1826. p. 38, , valeurs extraordinaires; r,-'" 1-5/' lg^ It d^ = _ i Oettinger, Cr. 35. 13. ^jxl'+^ b Page 184. F.Algebr.rat.fract.aden.mon. rrAnrr aoo ■, ¥• n . 17 ° „ TABLE 120 suite. Lim. Oetoo. tixp.raon.en num. 13)/— —d^ = 00 ,a,j; Oettinger, Cr. 35. 13, ^ — ~ =1 ) stern, fi5tt. Stud. 1847. J K X X^ X ( n e-P^ e-9^) da; 1^) I jp«~^4- — 9^~'^ — \ — = P'P — P — ?^a>0;^ 'J ^ ' a;9+l Sin.qnT{q-\-\) I Cauchy, P. 28. 147. P. 1. / § 2. — Laplace, Prob. 41. — ., r — l)9j-c , I Id., Mem. Acad. 1781. 29. 4) I = — — A'^.o?t 0, pour gentler; I 7 r(3 + i)" '^ ^ 'J Page 187. U* p" , , ' , ° lAULbi I'io suite. Lim.Oetoo. Lxpon. polynome en numer. f fe-g' — 1\<- (— 1)" A"^ V T ir.s 5)/ I ^~'"^^~ \c—ii •;>'^~^'p,apresla diffeijGntiation inettez ^^ = 5; ^\ ■^n /:g—rx \\c ( 1 )c fq > \ '^ dx = ■ Cosec. an £i,<' bl , a < 9 < CO ; Arndt, Gr. C xe-P': n- I \ r q- t \ c- 1 ^ c- 10.225. - Schlomilch, Stud. II. ^jq^''+^ = -a(p9).Cos.2.?-&.(pg).&n.7)j+-7r,Sm.p? 21.-Id., Cr.33. 325,1a trou- vait fautiveraent negative. 6)/ -dx = — e-w — \e-P'}lL(eP'i) — ePm.(e-P +— ^12a-2n+i/i (_p 2^ j j„_i Bierens de Haan, Verb. v. K. Akad. v. Wet. Dl. II. blad 19. T?age 189. Expon. mononic. ^ TABLE loO suite. Lim. ct oc . loJ-f^^dx = ---{r-^.Ji.(/')-/'h-.(«-i's)} i^f™' C'- 23- 225. - Id.. Stud. -^ ^ dx = - {e-P9 I {.(/"') -I- /' Ii.{ff-Pl) ] Schlomilch, Cr. 33. 325. — Id., Stud. II. 20. 1*) f;F^-^''^-=i^='''-' (e'"£i.(-;,,)-.-..£i.(p,)} +-l-ii.a-.»,.(p.,^)«-i jg-- ^de •'•^ ~!? -^ P 1 (v.K.Ak.v. /e-px 1 „„ 1 « (Wet.Dl. II. F. Algebr. rat. fract. a den. [af^q-f. rp^p^E 131. Lim. et oe Expon. nionome. [ e-x 1 1)/ -dx = - + e«ij.(e-9) V. T. 43. N\ 18. 2) \ ,^^ dx = — 1 + e-? it. (e«) V. T. 43. N'. 19. y(j — a?)» 5 _ Ja, _ —H:^ (p j^a) Kumraer, Cr, 17. 228. — Boncompagni, Cr. 25. 74. ( I 4" a;)* aP /e — "'"^ d^P — ' r (u) —dx = x(p,Ka) Bonoompagni, Cr. 25. 74. £lle ne vaut que pour c = 1. (1 +«)* caP /p—P'x'^ ( l^a+c+l d''+'^ — dx = '- .W^lUe-Pi)] Schlomilch, Stud. I. 18. fiN {JUL- dx =^(— Vfl -^^ ef''EU-pq)+ ^ , ''l\<.-«-i/i(_^5)n-i jBierens de J{x4-qY ^ l«-l/" ^ '^^^^ ia-1/loa-l j ^ (Haan,Verh. / V. K. Ak. V, [ f-px »n-l (_l) & T. 13 + { 5 1. (p 9) — I tt} (-Sin. pq-\- Cos. pq) — e-P9 E i. (p q)\ N°. 6, 7. C x^ e — P' If -\- {Si.{pq) — ^tt) {Sin,pq-\-Cos.pq) + e—VlEi. (p j)l 1 f e— P^ 1 r . 12) /— — — ;; — - — -dx= — -:\Ci.(pq) [Sin.pq — Cos.pq) — Jq'+q^x + qx^+x^ 2yU ^^^'^ ^^ ^^' — {Si. {pq) — ^ n) {Sin. pq+ Cos. pq) + e-P1 Ei. {p q) I l^)/ ,»+,a; + 7^. + .3 ^-^ =fj^'- in){Sin.pq + Cos.pq) + ]f Of, L. XOl. ( N». 6, 7. + { >Si. (p 9) — ^ tt) {Cos. pq — Sin. pq) + e?' E i. {— p q)\ j F.AIff.rat.fract.aden.nrod.depolvn. rrinfc jt-t i-^ n^t^ 17° „ ^„/_„ ' ' • TABLE 133. Lim.Oetoo. Lxpon. monome. ^\([^z —L-\ il — A Schlomilch, Gr. 9. 5. — Id., Stud. I. 4. — Arndt, Gr. 10. / I 1 +«'/ ^ ^^^- ~ "•' ^'■- ^°' ^^^• 2)/(e-9' — 1 — = — A — Z 7 Cauchy, P. 28. 147. P. 1. § 6. J \ l-\-xJ X Page 192. V. T. 129. N^ 8. 8p T. 131. F.Alg.rat.fracUden.prod.depolyn. ^^g^E 135 suite. Lim. et oc. Lxpon. nionome. "\(ie-^— ^ \ — = Z'f 1 Lejeune-DiricUet, Cr. 15. 258. — Grunert, Gr. 2. 266. — e— ^ — 1 1 \ dx + — = A — 1 Arndt, Gr. 10. 233. ; 1 -\- xj X (1 + xf X ~ ^^> Schlomilch, Stud. I. 4. '/( CI \ \dx 5) / e-x_ — = — A Arndt, Gr. 10. 225. ; \ l+a;»; 0! 6) / 7 WVi + 7 ^TTT? { dx = — — - Legendre, Exerc. 3. 40. F.Algebr.rat.fract. aden.a;. ). , tadti? n-zr, i- a » 17 u- * ot-lj 1' Uunterme. lABLL 134. Lim.Oetoo. hiXp.binoraee''^± 1 enden.j , (l — e— ^ dx n 1)/ = i - V. T. 171. N^ 1. 3,/ V. T. 171. N". 2. = ICot.^— V. T. 175. N'. 2. ,M,fr + i 4 / ^==W-c 7— T-rr V. T. 171. N^ 4. . rhr^^+' 2/ \ 2, 6)1 = I Cot. '— V. T. 175. N^ 15. J 1 + e-2^ X 2q ^)/YT7^ 1 ^ = ^ /„ ■ /\ 7T-T-7 ^r V. T. 171. N". 3. ' ^m^n^^^ Cei^ -\- e-<}x — 2 dx ')/ ; = liqnCosec.qn) V. T. 175. N°. 4. J ex — I g. '] ^T+l ,.■ "^ —HqnCot.qn) V. T. 175. N". 3. Page 193. WIS- e:< natuurk. verh. der koninkl. akademie. deel IV. 25 ,, f' ,. . „. 1 J. aunlcrme. lAULh lo4 suite. Lim. Uet oo. Lxp.binomee^'i 1 endoiKJ 9)1 '- = llqnCo8eo.qn) V. T. 175. N'. 7. J e^x — I X 10)/^ = I [pSin. — ] —Iqn V. T. 172. N'. 8. 'j i_e2px X \ PI 11)/^ '- dx = l-^ -^--|^ ^ ^ Malmsten, Cr. 35. 55. 7 1-e-' X (r(7)}» 12)/ e-^dx = i--^^^^-^'— '— V. T. 171. N'. 17. >] l-e-' X r(p + l)r((/+l) 13)/ d.i; = V^^ — lB{p,ti) V. T. 171. N". 14. / «* — 1 X P9 /e_ax_e-Ax l4-e- (2c+i)x ^ I /c+l\V 2 j Uj . I V. T. 171. /I _ e-9i 1 _ e-p* r (r) r ( » + o 4- r) e-r^da; = l- ^ ' ^i^ ^ ^ ^ ' v. T. 171. N\ 18. I — e-^ ar r(p + r)r(^+r) 16) / — — dx = l[ Tang. ^ Cot/— V. T. 175. N°. 10. j 1+ e-^' ^ \ ^ 2 r 2 r/ jy, /• (! — e-P^) (1 — e-g') (1 — e-rx)e-^x dx ^ ^ r(p+g+a)r(p+r+g)r(7+r+a) r(g) V.T.J71. 7 1 — C-' ;r ' r(p4-f)r(7+8)r(r+8)r(p+9+r+s) N". 21. ri — «{>-«)' 1 — e(»-«)' dx 18)/ ; — = Z 22,-2 V. T. 177. N». 15. 7 1 — e-' e^' X fl — e-' 1 dx 1 19) / = - ^2 V. T. 175. N°. 18. 7 l + «~*e* + c-^ j; 2 20) / — — = I V. T. 175. N', 17. 7 1 +«~' e»^+«~' J' 2l/2 u I- ^r-A-k AA Japlus.termes. lABLLloo. Lim.Uetoo. Lxp. bin.e°^± ! enden. J ' 1) If ^ \e-'dx = h. V. T. 171. N'. 7. fee-'' e-i' ) v,/, , V Schlomilch, Stud. I. 10. — Schaar, Mdm. Cour. Brux. Page 194. stern, Gott, Stud. 1847. F.Alg.rat.fract.aden.mon.j ,^^ j^^.^^^^ ^^g^E 135 suite. Lim.Oetoo. Exp. Din.c''^± 1 endco.) * 3)1 I \dx = Ip—'L'iq) V. T. 171. N°. 9. J [I — e— ^ X J ffbe—'"!'' be-^^] , * „, / b—n\ ^)/{iT:7:.- --} ^- -= -^Z' (?+-^) V. T. 171. N^ 10. 7 (2 l + e-*^J a; 2 4 /"(I 1 „ 1 <^-» 1,1 'y (e^ + 1 2 j a; 2 j r r 1 g — ax 1 g — x 7)i|a_ d;j. = Z(la/l) Liouville, L. 4. 317. f (e—px — e-(P+?)^ 1 cZ a; , T (p 4- 1) S / ^ ———.qe-^ { — == I ^^ ^^ ^ V. T. 171. N». 12. fc (1 — e-?^) (1 — e—px)\dx ,_, 9)/h_e-r_i ^^ '\— = lB{p,q) V. T. 175. N^ 1. J [^ 1 — e — * I X 10) / jp — 1 3;^> dx = It (p) Malmsten, Cr. 35. 55. fcb e(i-?)3r ^ , 6 / 5 — n\ ^^Wh~ ^je-^cZa; = ^ Z' U + -y- I y. T. 177. N^. 22. 12) 13) Meyer, Int. / — + [ —dx = J (i_.e-2x zx ^ 2 ) X rf 1 11) dx 1 l\- ■^te-^'' ~ == -(1— Z2) ,,, Tf 1 1 11 da; 1 ,^ ,^^ \ D€f. 337, ,.J\ e-px 1 1 ld.r / 1\ , 1, 17) I {pe-x — e-p^— > — = U 4- - ip — p +-i27r Stern, Gott. Stud.1847. Page 195. 25* F.AIg.rat.fract.aden mon.j . ,yg j^^j^^gg ^^^PLE 135 suite. Lim. et oo . Exp.bm.e'^dbl en den. J ' f (e—x e—o^ — e— ** — e(6— a)i ") T(b+p)T(a — b+p)^, I |_ _ — e-p4dx = I — ^^ ^'-^ Malmsten, Cr. 35. 55. j\x 1 — «-^ J r(a + p) 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 81 f( 1 J r^ C!) ^ _ j\ex — i ^ — 1 X Zx) 0! ~ j|_^. + _^x___}-=-Z2.-l rf^_i^^H:_iw.^i^^^_^ J [ x 2 e^— 1 I X 2 I { xe~^ [ — = - I Z n J \ X 2 e^— 1 \ X 2 ffl 1 1 \ dx I y U 2 e* — 1| « ^ /{«^-i«-"-T^-7ZjlT^='{' il^lfZf^ _7___ r (p g 4- 1) j [— +n:p-.+j_ j+1-^) . ^-'{r(;H-i)r(p-l+i)r(,-S+i)....r(p-"-±i\> stern, Gott. Stud, 1847. l(a-l)l2n~Lp+^\la j \i — ex ~ 1— e9i l_ex"''i_g9xja, ~'?'' y U— e-^ 1—e-P' 1— e-/« 2 jx 2 ^1^2 '^^/^ N f( e-1' e-P^^' + (p — 1) e^P^) dx 1 /I \ ilrZr^x r^pi^i \~ = ^iP-^)l^+[l-P9)lp V. T. 177. N-. 24. V. T. 175. 20. 176. Page 196. F.Alp^.rat.fract.aden.mon. tadip/I'^p i- n„» c 1- ax^ -ax A 1 AliLL loO. Lim.Oetoo. [ \ dx 1 , 1) / = - Z 2 V. T. 172. N\ 2. 'je^ — er-x x 2 L I "-o. " = ^^ang.~ V. T. 172. N^ 4. e^ — e-^ dx Stt 3)/- ^ = I Cos. an V. T. 175. N». 6, 'J ga: _ e-x a; /•l_e2(?-p)x (ia; , „ QTt *) I . , = I Cot.— V. T. 172. N\ 9. 5)/ cix = —l{qnCosec.qn) V. T. 175. N°. 7. J e^ — e~^ a; 6)/ dx ■= qH,q'>l; V. T. 172. N°. 3. ] e^ — e~^ X 7)/ = l~ V. T. 172, N^ 1. 8) / r-^ = I Cosec. ^- V. T. 172. N°. 10. 'J QiX ^1-^P)X rg 2p 9)/ = ITang. \^-^^n\ V; T. 172. N'. 6. 10 / — ^'^^ = lSec.i— V. T. 172. N°. 7. -/ epx — e-vx X 2p eQx — e-^x fj^ In Q — = I Tang. - + - eTx ^ (T-^x ^ ^ \4 4/ S Legendre, Exerc. 5. 45. 12) / -—^ — = — i Cos.- q \ 13) I ^^^ ';;:^^ = I Cosec —^ V. T. 175. N°. 10. eP^ — e-P^ X 2p \-e-i^—2dx ,„ an = I Sec. - — eP^ — e— /'^ X 2 p feix ^_ e-qx — 2 dx an '^^)j~~:^ — z:;::;^ — r = iSec.^ v. t. 175. n\ 9. feix _|_ e-ix — e'"^ — g—rx ^^ I rn an\ 15) I— Zn ! ^ ^ I Cos.— . Sec. ^ V. T. 176. N°. 14. Page 197. F.AIi?. rat.fracl.il d6n. moil. rriniir fo -.^ i -^ n «» — . p ^ , . „,, „, ,, TAuLb lob suite. Lim.Oetoo. Lxp. biii.c^*±e~"'eiiueii. -~ = I [Sin.— .Cosec.^—] V. T 175. N'. 13. eP* — e-P' X \ %p 2pj /et' — e—^^ dx 00 I 1 ^ 1^ e^'-e-'T- ^ ^ ^ ^^ ~^^ ^0 i{{2n+l)n-q]^-p'~ ((Z^+lj^r + ^j"-/'] Lalmsten. /et' + e— »* » _ 1 1 -1 \ — dx = Vn—p) 2 (—1)" f- — — f,^ .^ rT—TT— I / (Cr. 38. 1. F. Alg. rat. fract. a den. mon. rr * nr i? 4 rjT i :.», n ^» E^ " ,• . ,, lAHLL 1o7. Lim.Oetoo. Lxpon. trinome en den. /I da; 1 = -I'd V. T. 174. N°. 2. e* + 1 + e-' a 2 „, /* c* dx ,2 2)/-r ;; = I V. T. 174. N'. 3. 3) / = ^{ra«^. Z2&+2^ -l)"-iftn.— ^-A-44^ / impair; b b \ \ 2 6 / j f V. T. l + (7o«.^( ^-i /^:^+]\^[nV5.6. 5) i V \ I I I pair; /" 1 da? ^ . 00 Sin.nX I ; . „ ^ , -r~ = Coaec. lT(q)2 (— 1)"-! V. T. 174. N°. 4. „, /" e'-t-e-' dx „, 00 , (7os.f(2n+l)n V,,^,-x+20c."- - -6 1^'^ ^'"-6' /i+p+^rT^N -pair; t \ 26 y i 2A jf V. T. 174. b , i ^/ 6-{-y_w \ /g-}-n\ Ipair; Page 198. F. Alg rat fract. Aden mon. ^^g^E 137 suite. Lim. Oet oo. Lxpon. trinome en den. 9) N^ 9, 10. ■* 1 '^ • f /«+i\j^^(6-«>j^^6-«+2\ 1 pair; ,??_ * ^=r.„.^m.^o9'^_^^«-lA•«!!^7 \ a^* .poura + 6 /"l ^ fl^ ' b \dx ^ an "~} „ naTr \ I ] ) / e-^ranff.— — — )'~=Tang.--m+% 2 (— l)«-i/Sm. /-A_ p + n\ / pair ; 26 V. T. HK *^ /6+P-.W ^'- 11' 12. 1-2) =ra«g.^?6+2^(— l)»-»5'm.— ^-A^ ^ _/^ ,poura -{- 6 r [ ^~"" \ I impair. ff 1 , (1— e-^)(l— oar)— a;e-^ „ , 1 e-^ 1 /1\ 1 v -r 17^ F.Alg.rat.fract.aden.bin. rrinTT- ito x- /^ ExV binome en den. ^^^^^ 138. L im.Oetoo. r 1 da; 1 r 1 d.c 1 , 'y e?ri _j_e-5ra: 1_|. 4.,;:* 4 [eP^ — e-P^ dx 1 -, 1 „. ,, , ^ >, Legendre, Exerc. 5. ^nZ^x T^xTir^ ^ —^p(^0'-P+^^'n-pl{^{^ + Cos.p)],p^n; 46. - Schlomilch, ] e —e ! + « ^ / jjeitr. II. § 9. U7r-\)x __ e'?^—T)x dx _ 1 J, Sw. w A ^_ Schlomilch, Cr. 42. 125. '/ gTa; e— Ta: (j^ J_ a;* ~^ rt i « -j-,n ' ' il trouvefautivement oj d j;au lieu dc d J?. /"epa: _|_ e-pa: a: 1 1 * 6)/ — dx = -(pSin.p — I) -\-~ Cos.pU2(L+Cos.p)] Legendre, Exerc. 5, 46. Page 199. F.AIs.rat.fract.aden.bin. Tiniir j-'q •.„ j -.^ n ^t ^ i;, " ,. , ,, TABLL loo suite. Lim. Uetoo. Lxpon. binome en den. feP^-\-er-P' x 1 ^1 1 , valenr faiitive; (V.N°.6.) '^n~^ ^.^n~~i ^^ = -Co8.pl[^-\-^Cos.p)-\--pSin.p — - poisson Mem. Inst. 1811. e()r-X)i _L g(^— t)* a! , 1 ^ Cos.nl 8) / =!- — — - dx = — + .2 , ;i» <7r'; Schlomilch, Cr. 42. 125. 1 3 + « = 5. 49. /x dx 11 1 = q A — la Z' (o) Legendre, Exerc, Ia _ ■^ Poisson, P. 18. 295. N". 25. — Id., Mdm Inst. 1811. 163. + a;* 2 4 N'. 29. — Legendre, Exerc. 5. 49. /I » 111 = dx = ~Iq4- Z' (1 4- g) Schaar, Mdm. Cour. Brux. T. 23. e2T9i_ii+a»» 2 ^^4^ 2 ^ ' ^' 12) f ^^— = i 2 — i V. T. 887. N'. 3. /epx — e— P^ dx 1 „. 1/, ,l + 5i».p'' 1 = ~nSin.p Cos.pl- — J n^-n- |. I J 1 I Schlomilch, Beitr. II. 9. — Id., 14)/ 1 ^Ll_ = 1^2 \ Stud. II. 19. ^je»Tx + g-iTxi+ar* 2 j /•eP« + e-px a; ^ , , ^ /> ,1c- , l-{-Sin.p \ 15)1 ^^^^ dx =^ —\-\- -nCos.p -\- -Sm.pl-i r: i 1 ^ .^ „ *''^jel5rx_e-lTii_j_a;» ^2 ^^2 '^ 1 — -Si"-?/ , -^r >p> ; 16)f ? '^—dx = i^r-i Schl6milch,Beitr.II.7. * ^yelTx_e-i'^^l + a;> 4 2 ) f 1 dx 1 / V^2+ 1 \ Schlomilch, Beitr. II. 9. — Id., Stud. 177,.,x+e-«-r+^- 2|/2\"~V2-lj n. 19. 1 Qx f ?^ i_ da; = ljrl/2— H ^ i l-^^+ Schlomilch, Beitr. II. 7. *°'je»'rx_g_iTxi..}.a;» 4 ^ "^2 1/2 1/2 — 1 r 1 '^ J * ' I _L ^ ^' (^) Cisa de Gr^sy, M^m. Turin. l^)je'i^^^rT(7r:p^'^* = - ^ - 4^> + 4 ~-2(—\)" — ^?-2»J ''/e2Tx_i fli_a!» 4fl* n + 1^ f •' • ) Plana, M^m. Turin. 1820. e2)f-J ^d^ = ._Ll(_i)n ?£=+'. Page 200. F. Algebr. irrat. ent. ^^g^E 159. Lira. et oo . Lxpon. ^ 1) le-^'dxl^ X = - i^n Euler, Calc. Int. 4. S. 5. 211. — Plana, Cr. 17. 1. /• 1 TT 2)le-l'^dx]^x = — l^ - Dienger, Cr. 46. 119. J • ^P P !i)je-'dx]S^xl> = ~ — '- ^-^ ^ "" Oettinger, Cr. 35. 13. 7 b + q.b-^2q.b-\-3q.... f l«/2 TT 4) / e— *^a;<'— * cid! = 1/- Schlomilch, Stud. I. 12. 6)|e~"'''^+^^t/a;j/« = - ( 1 + ^ ) e-^o-' i/ tt Cauchy, P. 28. 147. P. I. § 4. Kumraer, 17.228. a \ ' 2a^ ( _L±£! 1 + q 7)je ^1^ dx}^ X = -^~-l^ 2qn Legendre, Exerc. 3. 51. \^e c 8)(e-i^-+~^).c-kdx = (A'l^^e-^VP^:^ ^;-")'"^' SchlomUch C... 33. -268. - Id., J \p) p o2"'2(2l/p?)'' ^tud. I. 17. /16/2 e-x dl>+i)<'-^dx = ^;r^'^ Kramp, E^fr. 3. 67. Z^a 10) le 2j:c a, 2 (ia; = ^^-^— :^ ^ ^^U {— oV' Legendre, Exerc. 3. 52. 7 l^^e .^''l"/! 11)1 = -T/TT.S'f— 1)" V. T. 187. N°. 18. dx \y X 1 00 1 _ = -v/jr^(— l)n gx-l-e-^ 2 0^ "^ 1/(2 n + 1)3 e^ — e— ^ 1-00 1 -dx\^ X = -xy n^i—Vf- # U)j~-^-^-dxi^x = ^I-^TT-^C— l)"7T77rTT; ^- ^- ^*'^- ^'- ^^• 5i«. — - 13) /. — — dx\yx = ^ (— l)»-l r_ V. T. 140. N°. 20. y fe^ 4- e-^ + 1)^ 2 &"n. i ^ i 1/ « ^' filfo'?''*"^''''' TABLE 140. Lim.Oetoc. /"e— ^ Euler, Calc. Int. 4. S. 5. 211. — Cauchy. Cours. LeQ. 33. — Bidone, \)\~-dx ^ \y n Mp'm, Xurin. 1812. 231. Art. 1, 20. — Binet, P. 27. 123. — Plana, Cr. J^ ^ 17. 1. — Giunert, Gr. 2. 266. Page 201. 26 WIS- EN NATUDRK. VEFiH. OER KONINKL. AKADEMIE. DEEL IV. F. Algebr. irrat. fract. ^^^lE 140 suite. Lim. et oo . Lxpon. Bidoue, M^tn. Turin. 1812. 231. Tableau. — Cisa de Gr^sy, M^m. Turin. ■ f e-9' n Bidoue, M^tn. Turin. 1812. 231. Tableau. - '\\yx' ^ q 1^21. 209. II. 34. — Dienger, Cr. 46. 119. dx ^= ei'^fV - Sohlomilch, Stud. I. 18. P x" l"/^ n dx = V - Legendre, Exerc 3. 53. _2 4) I «— ?* dx = 1/ - Raabe, Int. 166. J l/a; (2 3)« q K\ ( —-p^ — = ^ ^- ^^ ■ ^'^ '■" Oettinger, Cr. 35. 13. 7 . X b .b-\-q.b + Zq /•_'+'* dx i/2o7r«62"/i 11) /« ^ -16+1 = ^^^,^2 ?" ^^S^"'^'^'^' ^''^'••'- '• ''■ J x^i" ^^ ° '' 13) ( ''~'"~^ 0-'dx = fl — ;^-— } 1/^ V. T. 178. N'. 2. J l^x \ 1/(1 + 9)J 14) /flfllZil!! ^x d^ = { ^^\ ^ - —T?"!— :]l/^ V. T. 178. N». 3. 7 i/« tl/(i+?) 1/(1 +P)) fftxpV .L g — pVx n)l- e-'^dx = 2e«p2l/7r V. T. 37. N'. 14. J l^x fe-px «— flx "^(TI / "-• '>— 1\ 16)/ p dx = '^ l9~«~— P"""") .3>P>0; Liudmann, Stock. Handl. 18B0. IV. Page 202. „ CO, (c — w)2"/i Schlomilch. Cr. 33. 268. — Id., F.Alnrebr. irrat.fract. t a nr i? j /a * t- n * 1:,° lAliLL 140 suite. Lim. et oc. hiXpon. j i^^{p^+x^) I Cauchy, Sav > Etr. 1827. la;/— , . , , . — r; ~~ "^ "^ = "j 599. P.I. §6. im/'_J___^ _ V-;tJ (-1)" ^je^ + e-^T/ar ol/(2n+l) / Malmsten, Cr. 38. 1. 5m.4«7rl ' '^^"s 19) il a faut. J:; 20) ■ . _ . - . /" 1 d re 1/ TT CO , Sin. i « 7r » )/ = -^ ^(— 1)"— 1 \ CCos.%—e-^ — g— "^ Cos. {{a + 1) ^) + e— (a+'l^ go3. a ^ d a; " Cos.nl y. T. 178. r5in.^ — e-''^Sm.((a4-l)U + e-(a+i)j;&M. aA, da; Jt, Sin.nl e^ + e— ^ — 2Cos. ^ \^ x \ \yn F. Algebr. rat. ent. TABLE 141. Lim. et 00 Expon. sous lornie irrat. \)U-^xdx\^{\ — e-'^^) = -7r(-4-Z2] V. T. 162. N». 1. %)[e-^^xdx\y{\—e-'^^) = - |-.— Z2] V. T. 162. N'. 2. r 2a— 1 la(2 7j ' 3) / 6— rr d ^ (1 - e-2^j^2- = ^^^:7^ {A + Z' (a + 1) + 2 Z 2} V. T. 162. N'. 3. 4)/ dx = ^nll V. T. 18]. N\ 1. 5)1 '^ dx = -n |(Z2)2+ — 7i:4 V. T. 164. N°. 1. 7l/{e2^— 1) 2 V ^ ^12 j [ X 1 6) / r dx = -nl*) 1/(6^—1) PJ p+q 23)/-:; : rda; = Arctang.- V. T. 181. N°. 11. r (a./(e-x-l)-6.-}-.+ ( a ,/(.-x-l)+6.-}-^ ^^_^^^4_^ ^ ^^3^ ^^ (,-x_i)V 6^-1^ ^ -^ ^ NO 18 . ~ Page 204. F. Algebr. rat. ent. Expon. monome. TABLE 142. Lim. — 00 et oo. /• l)/«'- glX 4) / e''^ 5) /e«^ 6) ix)p—^dx =^ 2 Sin,pTtT {p) — i x)P—^ dx = a r -\- i a:)?—' dx ne~ T{l-q) ,02>...,r>0; Cayley, L. 12. 231. r — 1«)7— ' diC = ia;)P— 1( — ix)l—^dx = 2 5m. ;> ti r (p -j- j — 1) (2 1 1 I e~^ x^ dx = — {/ It I 1) \ er-P^^ x'^ dx == — \/ '^ 2P 7>; Ohm, Ausw. 20. la/2 8) / e-3:" xS" d« = V/tt Fourier, dial. 370. — Poisson, Chal. 75.' 9) /e-^^«2«+i da; = Poisson. Chal. 75 10) |e-''+2;'^a;daj = peP\^n f 1 + 2 »^ 11)/ e-^''+2;>x a;i (i x = ^ e?^ j/ w '/ 12) / e-P^MjJJ^+i fZ« ni\ Dienger, Cr. 46. 119. . a e'^ 1'^p {/ pdq<^ /il e~px'^+2qx X d X = ly-eP P P V ' \2pj ^ p 1"A \g*j 15) I e(P^^+?«)'a;« da; = (_ l)a (1 + ») f X'j " g- 4^ ^ iL ^ nr « a2«/--l /pA" f Cauchy, P. 19. 511. 2p l"'i \g*/ 1 16)/.-....).-... . (_1).(1_.)(X)%%V^^|^(^.) Page 205. F. Alg^br. rat. enl. ^^p^E 142 suite. Lim. - oo el oo. Lxpon. monome. n)je-*' xe'dx = — A V. T. 273. N'. 1. 18)le-9»' xe'dx = (^ + h) V. T. 273. N'. 2. J ? ld)je-'^''xe''dx == {k + H) [/ n V. T. 273. N". 3. Z0)le-9»^'xe'dx = (A + Hw/)!/- V. T. 273. N\ 4. y 4 3 F. Aleebr. rat. ent. x. ^nxm? tAr: i :.,, ^ «» jp ^ , • . ,, lABLL 143. Lim. — (xetoe, Lxpon. binome en den. da; = -r {lq — nCot.pn),p < 1; V. T. 180. N°. 1. *^ "I" ? Sin.p n /fsP' X dx = (5rCo8ec.;>7r)« ,

xdx = [ — Tang. — , a > 2 ; V. T. 180. N'. 14. 5\/J_IZil^a-2)ia;dar = ( — Tana. ~ \ ,a>2; V. T. 180. N°. 15. 'jY — e^ax \2a ^ 2 a/ -^ n — e" /rr\2 '^'"•l^T"''} •'^'" i 6)/^— -T-*"'^'^* = (4l ^^-^ J, . /, V. T. 180. NO. 16. 26 I 26 J 7)1 dx = V. T. 180. N**. 3. 7 e^ + e-^ 8)1 ^^ dx = -Z- V. T. 180. N\ 8. [ X Tc a 9)1 -—dx == i- V. T. 180. N". 10. r * 1 10) I dx = - 7r» V. T. 180. N', 11. 'J e' — e-' 4 Page 206. 2) 8) F. Alf^ebr. rat. ent. a;. T4nri7 t ax «„;i« t :.>, ^ «f ^ ci ° 1- » i« lAiiLL 143 suite. Lira. — oo et co . rliXpon. binome en den. C e-P'x /I fp + l "I \2 11)/-^ i^* "= - TT Cosfic. j^—*^ TT J ,p»2; V. T, 185. N". 7. e^ — e~' \2 6/ 2x 13)/-^ ~d.dx = — {-7tTang.-\ , 5 > 2 ; V. T. 185. N'. 8. 14)/ ^a;da; = — [-TT jTan^.-pTr) ,p .cz. = i .^ Lj i F.Algebr. rat. ent. a;. TKTi^^? jiaa r- ri ° 1 A ,, lAuLhi 144. Lim. — ooetoo tiXpon. polynome en den. -«« oi, ^.^ ')/, ^-?-TT'^-« = "(Zo — A — Z'(»)) V. T. 182. N^ 4. r J.e^ 1 2); dx = -Iq V. T. 182. N". 1. f xe^ 2 f *-2 1 24-3 1) ^)j(7T7j^,'^^- = Tim ^^-^ |^(?-l) + 2^2- ^ -_2^^^ -| V. T. 185. N». 10 * /7~r~n^~;;:r^-^ = / C , ! , . 12 z — _a— z'(»— »)} v. t. 182. n°. e. Iv + e-' ^)/1t~; ;i xdx ^ V. T. 183. N°. 7 ,,/" X la/1 Ig f ^ Page 207. 8)/ . , ■ — da; = -^ *- ^^,^ V. T. 183. N". 10. jiq^e^ + e-")? %qp Tip) F. Algcbr. rat. enl. x. ^^^j^E 144 suite. Lim. - oc et f ^ > F. Algebr. rat. ent. a;". tkt>xi? mk^ i- Lxpon. polynome en den. 1)/ (___Z__j dx = -71* V. T. 182. N°. 3. 7 l^etx _ e-tx 2)/ -^ , ._^ t ^' ^^ == V. T. 143. N\ 7. 3) / / "^ " \ x^ dx =^ V. T. 143. N\ 10. y(^ — '-"' e» -{- e-» (ex_e-x)! *) / /^.z . 1 ITT a;» d ar = — ^ ^ V. T. 143. N'. 9. fp 4- (1 — p)e~^ ^)l,^ h — «-P^a;*f?.» = 2 7r» <;o«ec.» »7r V. T. 143. N'. 3. / (1— «-'r /• e^—yie-x 10-1/2 4Z« „ 6) I ;-, ~, — :r^ dx = — i- v. T. 144. N'. 6. V(?'e-' + e"P 2«-i2 j2a-i2a+l 7(je=^^ll-qe— q~l Sin^pn '^'<■^'N^ 12) / — = ^^ 'i' i . V, T. 184. N**. 2. 7«^— 11 + 96-^ 2 4(1+2) 13)/ = ^ -r\ t) i ^ ^ ^' In V. T. 184. N». 3. ^j e=^—ll+qe-'= 360 1+? ^ 14) / = ^ ^^ -^L-i- -i ^^ ^^ J V. T. 184. N°. 4. ^Jex_ii+ye-x 720 1+q '^)J (^+V (i+^.)-'""°h::i"^'' ^- ^- »*•«•• '«■ 17) I d« =0 V. T. 180. N\ 3. ■^je^ + e-^ 18)1 -cZa; = 2. 12«A .2'(— 1)"; — — - V. T. 180. N". 4. r .-B^a ( l)a+l * /2m — 1\ i9)/-7rn — rr<^« = ^ — r — (4 7x)2a+i^(_i)n-iB" — — -] v. t. iss. n». 12. ^ f e9^a;« , 1 d" „ 1 ^0 ; ; dx = ■-jv(—l)''—-.Seo.-q7T V. T. 180. N". 6. 'je^Jf-e-^ 2 ^ ' dq<^ 2 ^ 'j ex_e-x J yjj j^ -* ^2jj N". 6. 23) / t^tt; — rr dx =^ l CosecA - V. T. 184. N". 9. 2^)/ — nn^ — V~, d* = 2 A — , — V. T. 184. N». 10. 7 «^ + 2 (7o,9. A -t- e-^ 5 5iM. X 25)1 ~^-——dx = ^~ ^° 2(2 7r)2°+iB"(-] V. T. 184. N'. 11. Page 209. 27 WIS- EN ^ATUURK. VERH. DEB KONINKI., AKADEMIE. DEEL IV. F. Algebr. rat. ent. af ^^g^E 1 45 suite. Lira. - oo et oo . Lxpon. polynome en den. 26) / — dx = ^~ '" 2 (2 7r)8a+l B" (-I V. T. 184. N°. 12. ^, , or o '^^ = (-1)"+' (2 '')<'+' g. '^^ , < p < 1 ; Enabe,Cr.42.848. F.Algebr.rat.fract.jp ^ ^^gLE 146. Lxpon. j Lim. — 00 etoo /-x^-'^ dx Z e *' — = -e-Pl^n Meyer, Int. D^f. 152. X* p J «* ? a;2<» \qj p q l"!^ I'*??/ 4) LUV;^),- ^« ^ MS,,,.,, (1 + ., ^ JL 1 ?^ v— » / I Cauohy, P. 19. IBL e— W f e—P" dx ite—Pie^''^i ^']q* + x^~x^ "" r-^^ /g—pxi dx n \ = r— l)a e-p? > Meyer, Int. D6f. 274. qi + 3,2 a!2o ^ ' j2a+l [ /e~P*» dx ni /e— p» dx , > , = (—1)'-' ^ eP 1 + x* (xi)i— 9 I , <: o <: 1: Meyer, Int. T)6i. 156. fl^ 1- = nl ilang.-pn.Cot.-qnj V. T. 180, N". 7. r^P-\]x e(?-i)x(fa! /I 1 \ 12)/^^^-^ = nl \Sin.-pn.Cosec.-qn\ V. T. 180. N». 18. 'j ^ — e-' X \ "^ "^ I Page 210. F. Algcbr. rat. fract.j ^^^ . j.^^^ ^„_ TABLE i 46 suite. Lim. — oo et oo. = I Cot. ^— - V. T. 183, N". 17. = I Cot. ^— da? = Ohm, Ausw. 23. 14)/ = I {Tang.^—.Cot.'--\ V. T. 183. N'. 18. 7 1 -j- e-*-^ X \ ^ 2r 2rj F. Algebr. rat. fract.l n ' e ^ n ^kx>x i? * hi t- p ° |Den. sans fact. a;". TABLE 147. Lim. — ooet oo /gXi ^dx = Zner-q Poisson, P. 19. 404. N°. 68. — Liouville, Cr. 13. 219. q-\-a:i rf ^{V ^ Jq+Xl } Cayley, L. 12. 231. f (3;i)P 3) / - ^ e-^« d-t! = 7 ( f^ * „ , „, J " I , ,,o{lilfaut 7 *»+(6 — «)» 2r(p) Cauchy, Page 212. mettre ^=0 aprfes I'int^gration ; P. 28. 147. P. 1. 3, F. Alffebr. Expon TABLE 149 suite. Lira, diverses et p. ,0 2) I da; = —CO V. T. 45. N°. 7. 3)/ — c^^r = — 00 V. T. 45. N". 9. W2 5) / (e^ _ i)a-i a; e^ do; = - 1/ 2 + (— l)" J" 1 V. T. 151. N°. 11. 6)/ , -dx = — nr» V. T. 160, N'. 1. e* ar* 1 . _^^ )e'da = (1+^)^(1 +P) V. T. 42. N». 4. u "){ (;,.-l)(,. + A)-2(p^ + l) ^^ = - ; ^---^ , P^ < 1 ; V. T. 186. N^ 2. ^^^/ (p2-l)(e2x+i)+2(p2+i)exV{(p2-l)(e2x+i)+2(p2^1),^j'^^=^^''''««-^'P\ ( v-l( l^Y ^^ — ^"'^ Ellis'"' Calc. Int; 4. S. 3 § 7. — Legendre, Mem. Inst. 1809. 416. 7 14-1 ax — ^^^j jj,^ 4j^ _ jj_^ g^gj.^^ 2. 40. — Id., Exerc. 4. 147. S)(xP(U)adT — (-1)" ^°^' ^'^l^'"' N- ^- P^'""- !*• 129. - Id., Calc. Int. 4. S. 5. N=.. 6)jxv\,lx) ax — I— i; ^_|_^)a+i 13. — Oettinger, Cr. 35. 13. 4) jxl+ri-i ll-Y~^dx ^ ^^ V. T. 113. N". 17. iq + ri)P TV x/ Zp p 6) f(l _^)7-i xP-l lxdx = Z'(P)-Z'(P + g) , . Eaabe, Int 228. _ E^aux. Fundt. J ^ ■ ' Y (p -{- (i) ^•' ^^z Transc. p. 36. T{p-\-q) o« + 7) /(I— a!9)«arp-i (Z!r)*dar = (_ i)a+i i6/i ^a J op''- b)jxP-'^ dxl^ [1-] =^^[/- V. T. 139. N». 2 Ri\ •■ VF)'- ("il ^ » i- Eeaux, Funct. ^) = ^ . pour gentler; m,„„„' „ qa ^(P + l) o«+p — 1 Transc. p. 36. ,6+1 ^ ' o\nl ip + nq)i+\ Page 215. Oettinger, Cr. 38. 162. F. Algebr. rat. ent. ^^^lE 151 suite. Lim. etl. Logar. en num 9) / (» — l)e «*-! il-j dx = T{q)A'.l>-1 Legendre, Exerc. 4. 147. lO)jUllY~^—xP-^l—x)-l— 9*9-1) Z(l — a;»)d« = Z'(-? + I) — Z' (ip+ 1 ) V. T. 3. N'. 14. a 15)/z(9 + Za;).rP-l\pj 2p ) f ll\ ^"-' + ^^-"-^ , (ZY'Cosec^ -- Legendre, Exerc. 2. 44. - Id,, U6m. Inst. 'j\xl l-sc!> '^^ - l^jj ^osec. ^ 1809. 416. N^ 45. Page 217. 28 WIS- EN NATCURK. TERH. DER KOMNKL. AKADEMIE. DEEL IV. F.AIg.rat.fract.aautreden. ^^^lE 155. Lini. Oet 1. Logar. en num. Ix. Euler, Calc. Int. 4. S. 8. 105. — Id., ib. S. 5, 60. — Id,. N. C. P. 19. 30. /! + 2 « 1 "*, l+a; + a;> 9 ( / 1 — 2a! 1 2)/^^ idx = — — 51* 7 l—x+x^ 18 „x f, dx _4 J Euler, Calc. Int. 4. S. 3. 80. — Id., N. C. P. 19. 30. — 7 l — j-^a-a 27'^ Legendre, M^m. Inst. 1809. 416. N'. 51. /x 5 Ix dx = — 7r» V. T. 153. N°. 2, 3. 1—x+x^ 108 5) llx — — ^—^ dx = V. T. 125. N\ 5. 7 1-1- (fiSp + e-2/') x"^ ^x" 2ep—e-P „. f, Cos.X—x 1 1 1 I 1 5 s Euler, N. C. P. 19. 66. — Id., Calc. 'J l — 2,xCos.X + x^ 6 2 4 Int. 4. S. 5. 46. /x 1 / X dx = — — n'^ Euler, Calc. Int. 4. S. 3. 80. — Id., N. C. P. 19. 30. l_a;»+j!* 27 8) fu- ^---^ dx = -^ , V-(P-1)-V-(P+1) + V^2 ^_ ^ ^^^^^,^,^_ 7 l + 2pA-^+a;* 2l/{;2(p— 1)) l/{p— l) + l/(p+l)— 1/2 f 1 — a;» 1 9)//jr : dx = — -Ti^Cosec.^ V. T. 125. N'. 6. 7 l + 2a;*Cos.2 »» 1 .2X + a;* "" I f, 1 — ar»da! Ilia: — = — 7 l + x^ X 10) fix , — = — 00 j [ Euler, N. C. P. 19. 30. — Id., Calc. Int. 4. S. 3. 81. f, 1 + x^dx ( 7 1 — x^ X ] ♦ l%)\lx — = Sin. ^ . Sec* ^— | ; 1 +^'^ ^ ^P 2p 2p[ Euler, Calc. Int. 4. S. 3. 74. - Id., N. C. IS) llx = — — - Sec.'' i- \ 7 1 — x^P X 4,p' 2p J /dx 11 Ix = -l- V. T. 122. N». 1. (1+x)' 2 2 15) llx —-dx=-l- V. T. 885. N°. 1. 7 (!+«*)* 4 2 16) //a? —^ ^ = —^ Euler, Calc. Int. 4. S. 3. 80. — Id., N. C. P. 19. 30. 7 1— a;»l + ar* 16(2 + 1^2) Page 218. F.Alg.rat.fract.aautreden. ^^p^E i53 suite. Lim.Oeti. Logar. en num. i x. irrs/"/ {p + q){a!P-'i—'>!l-P)-\-{p — q){xP+1—x-{P+l)]dx ■n: ^ qrr V. T. 5. ^'r* i^ + x-pp -^ = Vp^'''rp'P>'^' NM8. ion/"/ {p + q)ii!P-9—x9-P)-\-{q—p){xP-^^—x-(p+9))dx Tc ?T ^ V. T. 3 ''V l^f^^^ T==-^^""^>'''^^' NM7. \Q)\lx- ; = V. T. 5. N". 23. 7 {xP^x-Py X 4.p^ 20) / Z a) , . , , ,„ = *- ^^'^ V. T. 5. N^ 24. 21) / \-^^-^ — + : i a;P-i dx = ~\ Amdt, Gr. ] \\—x (i— a-)''J 10, 253. F. Alg. rat. fract. a den. binome. rriuri^ jer« t • r. » j Logar. en num. {IxY et (/^)l ^ABLE 154. Lim. et 1, { dx \ 7^ ' \-\-x^ 16 Euler, Calc. Int. 4. S. 3. 84. — Id., ib. S. 5. 49, — Id., 3l/2 ' N. C. P. 19. 30. 64i f 1 — «* 1 3) ]^ ' l-x" 27 / t 1 a;J 1 ( ^)\{lxY xdx = n^ 1/3 ) 7^ '^ 1— *•« 243 j 5) / (Z «) '- X-^ d a; = 2 Sec. ' ^ — Sec. ^~ J l-\-x'^P Hp^\ 2p 2p Legendre, Mem. Inst. 1809. 416. N". 50. — Id., Exerc. 2. 49. ^P' I Euler, Calc. Int. 4. S. 3. 82. — dx = Sm. — .Sec.^ - l — x^P 4p' 2p 2p j f ^p^_i_^p+,-i ^3 ^^ Md.. N. C. P. 19, 30 6)j(lx)^ ^ ZoZ ^* = 7TT *^*'"- ^•'^^^•' Legendre. Exerc, 2. 44. — Id., M^m. Inst. 1809. 416. 7) j{lx)^ dx r=2 \~ Cosec. — . Cos. ^ j J l—xP \p PIP I 8)/(Za;)' =5= dx = i-Cosec.^ 2 + 4^os.*i- \ J l — xP \p P I \ P / j f dx 21 or> 1 9)l{lxy — = 2~ Euler, Calc. Int. 4. S. 5, 47. — Id., N. C. P. 19. 66. J 1 -\- X 4 1 «* Page 219. 28* F.AIg.ratJract.aden.binome. ^^^^^E 154 suite. Lim.Oeti. Logar. en num. (Ixyel (Ix) . 10) / a xY = — n^\ 7^ ' 1+a; 120 I /dx 1 . I Euler, Calo. Int. 4. S. 3. 96. — Id., N. C. P. 19. 30. 00 1 18) = —Q 2 ~ Euler, Calc. Int. 4. S. 5. 47. — Id., N. C. P. 19. 66. 1 n* [ X 7 13) /(ia:)' dx = — n* Euler, Calc. Int. 4. S. 5. 49. — Id,, N. C. P. 19. 66, 7^ ' l+x-^ 1920 f dx 1 14)/(ia:)» =rz -.. — n* Euler, Calc, Int. 4. S. 3. 93. — Id., N. C. P. 19. 30. J 1 — X* 16 15)/(ijr)' — ^— dx =^ — — 7r» V. T. 154. N\ 10, 12. ' y 1— a» 240 16) [(Zx)* ^ dx = — — 71* V. T, 154, N°. 13. 15. 7^ ' \—x* 256 17) ) (uxY — ^ dd? = — -^ TT* V. T, 154, N', 13, 15, 7^ ' 1 — a;« 384.0 F. Alg. rat. fract a den binome ^^3^5; ^ 55, Lim, et 1 . Log.en^nva\lx),{lxy,{lx),(lxy. 5 — 7r« Euler, Calc. Int. 4. S. 3. 94. — Id., N. C. P. 19. 30. C dx [ dx 31 j^ ' \-\-x 252 /■ dx 4>)l(lxY -^^— = TT* Euler, Calo. Int. 4. S. 3. 96. — Id.. N. C. P. 19. 30. 7 1— «* 8 r , dx ' 465 « 1 I 6)/(iar)s ^^_ =, _ 2: — 7^ ^ 1+ar 4 1 n« Euler, Calc. Int. 4. S. 3. 97. — Id., N. C. P. 19. 30. dx 8 dx '^ — 71* V. T. 155. N'. 2, 8. 504 dx * 465 « 1 Euler, Calc. Int. 4. S. 5. 47. - Id., N. C. P. 19, 66 Page 220. F. Alg. rat. fract a den binome ^^g^E 155 suite. Lim. et 1 . Log.cnniim.{lxy,[lxy,[la;y,[lxy. f dx 61 8)l(lx)^ = t' Euler, Calo. Int. 4. S. 3. 94. — Id., N. C. P. 19. 30 7^ ' l+«^ 256 f dx 127 9) /(/a;)^ = ~ ^* Euler, Calc. Int. 4. S. 5. 47. 7^ ' \ + x 1680 C du^ 17 10) lUxy = _ — 7r8 Euler, N". C. P. 19. 30. 'j^ ' \ — x^ 32 F. Alg. rat. fract a den. trinome. .^^g^E 156. Lim.Oet 1. Log. en num. (^/a-'j^pouraspecial. dx 8 , = — tt' 1/ 3 '4-a;2 243 / Euler, Calc. Int. 4. S. 3. 105. — Id., N. C. P. 19.30.— Legendre, Exerc. 2. 49. — Id., Me'm. Inst. 1809. 416. 10 I N\ 50. C d. f dx f dx \ „i —Xi 3) lilocY ;; =z - A Cosec. I Legendre, Exerc. 4. lOfi. 'j^ ' l-\-%xCos.l-^x->' 2 3 ^ r dx /I 1 1 \. 4)/(^ic)2 ;; = llCosec.l\-n^ nlA ^M Euler, N. C. P. 19. 66. 7^ ' \—%xCos.l^x'' \6 4 ^ 12 j dar 1 -\-%xCos.l + x'- "" 5 5) \{lxY — , n ^n ■^ , — r = 7 ^ ^*'^^<^- ^ ('^^ ~ '^'^) (7 TT* — 3 ^») Legendre, Exerc. 4. 105. ■*, F.Alg.rat.fract.aden.bin6rae^±6 ^^g^E 157. Lim.Oetl. Log. ennum. (/a;)" pour o general. 1) /(i^)2a_-f-.= O(fautif) Euler, Calc. Int. 4. S. 5. 47. ± X Kaabe, Cr. 42. 348. i dx 22« — 1 CO 1 \ 7^ ^ l + a; 22" in2a+ij I dd! 00 1 \ 7^ ^ 1 — a; 1 n2a4-i 7 4) /(Za;)2a-l ^ ":= i2a-l|i I _l\ ^ — Euler, Calc. Int. 4. S. B. 47. 7^ ^ \^x \22a-i j n2« 22a-l — 1 5) = — — 7r2a Bao-i Arndt, Gr. 6. 434. ' 2 a Page 221. F.Alg.rat.fract aden.l,in6me^±6. ^^p^E 157'suUe'. Lim. eH. Log.cn num. (/a)" pouragoncral. tn I (i x)^"-^ = — n^" Baa-l Arndt, Gr. 6, 434. V l—x a » 1 7^ = — 12a-i/i ^ — Euler, Calc. Int. 4. S. 5. 47. ' 1 n2a /■/ ]\a— 1 dx , 00 ( — 1)" 8) / l-\ = 1"" 2 — Arndt, Gr. 6. 434. ri i\a— 1 dx , « 1 9) / U-1 = 1<^1 2 — — Euler, N. C. P. 14. 129. — Arndt, Gr. 6. 434. J\xj 1—x oCl + n)" 10) / 1-] = ^-^—- r (» + 1) ^ -^— V. T. 117. N». 11. 'J\ x) 1—qx q ^^ ' ^ o„p+2 11) / ^- d« = 1*/^ ^ r-^. r-TT , ^ > 1 ; Amdt, Gr. 6. 434. 7 \ ar/ 1 + * o(a + n+lr /■/ l\*-> a;« ,, a. 1 12) / Z- dx = 1*/1 ^ Binet, P. 27. 123. — Arndt, Gr. 6. 434. 7 \ xj l—x o(a + «+ 1)* 13) jll-V «*-! (a; — 1)<: lb + -^ ) da; = r (g) A<=. &-« V. T. 118. N°. 18. f / l\a—l I «6 6 1 14) / {l-\ da = la/l 2 — Euler, N. C. Petr. 14. 129. J \ x] 1 — X 1 n" F.Alg. ral.fracl.aautreden.binome. mtnTi^ jko i- n »4 1 " /, v„ , , , TABLE 158. Lim. Oetl. Log.ennum. (ta;)" pour fl general. / dx » ( — D" l)/(^«)'' ; = (— 1)" 1"/' -2" -— ^^ Bidone, M^m. Turin. 1812. 231. Art. 3. 37. 7'' M+a;» ^ ' i(2n+l)a+l i «* + ;»-* f— l)o+l/2 7r\2a+i 6 /2n— 1\ /2m— 1 \ f Raabe, f da; 22a+i— 1 « 1 4) /a a;)2« = 12a/i S — ^ 7^ ' \ — X^ 22"+! 1 n2a+l r/ l\2a- dj; 22"— 1 . * / r~ ^ r = — : — '''" Baa-i v. t. 120. n°. is. j \ xj 1 — x^ 4a Page 282. 2 / 1348. F.Alg.rat.fractaautreden.bin6me. ^^g^E 158 suite. Lim.Oetl. Log. en num. (/a;)'* pour fl general. 6)/(Za;)2a-i dx = (— 1)° — B2a_i Plana, M^m.- Turin. 1820. f dx r(p) " 1 7)l(l(v)P-^ = -^r— ^ V. T. 336. N". 17. 'j"^ > l — x'' (— 1)P-' o(2« + l)P /• xi r (p) 00 1 8) / ax)P-^ dx = ^'— - 2 V. T. 336. N'. 18. 9)j{lx)^''-——Y-dx = - ^ 1— 2i—l)»-^B"{~\Sm.nbn Raabe, Cr, 4,2. 348. 10) I U- dx = l'-/! ^ , Oettinger, Cr. 38. 162. 'J \ X l—r" ' '" ' ""^'-^' xP — ' » 1 — dx = i--/! -2: ■X9 o(p_[-„j)r+l r a;*-l _ ^2c-6-l (— l)a+l c-1 /„\ „5^ 18)1- — (Za;)2«da; = - — — . Tancf. gpw, »< 1; V. T. 121. N°. 15. f 1 — x^ \2 j dp^'^ 14)/ \l~\ -^ = Ji2aB2a_i V. T. 118. N°. 15. J \ X j 1 — X X a f dx 1 /27r\2a+l /n 15)/(ia!)2«— — - — -— =-(— l)«+i — B" -\ V. T. 120. N^ 15. 16)/(Za;)2a-i == -(_l)a — ) "b' f-) V. T. 120. N". 19. Eaabe, Cr. U2. 348. F.Alg.rat.fract.aden.trinome. rrAnir' jern i- ,\ , m Log.ennuni.(/a;)"pourageneral. ^^^^^ ^^^- ^™- ^ ^^ *■ r da; (— l)«+i /i Page 223, Raabe, Cr. 42. 348, Int. 4. S. 4. 46. I ° n \„ • I lABLL 151) suite. Liin. Oetl, Log.cniium. (ta;j" pour a general. 7^ ^ l+j:» — 2iCos.;i I \ iU*" 1.2.3 in4<'-2 ^ J ( — 1)« f 00 1 aa 4-1 AMt/ + A__!±_i2«-i 2a(2a+l)^^ — :^^=^^i^U-|- - If /■ Cos.X + x f» 1 ;i2 00 1 ;i« 00 1 1 7^ l+x^—2xCos.X I in^a+a 1.2 ,n4a^l.2.3.4 in<«-2 ) f — 1)« f 00 1 2a4-2 1 ) I (^a;)2fr-i • ^ ^ da; = ^^ ^(27r)2lB'fjt))— ^---^ B26-1 V. T. 125. N°. 9. // 1\»-— • pCos.X — »*a; « »"(7os.n^ U-1 ici-^dx = T(r)2-r- r Kummer, Cr. 17. 210. \xj l~2pxCos.l + p-^a>-^ ^ i{q-\-n—\y F Alg. rat. fract. , ,. , TABLE 100. Lim.OcH. Log. ennum.acformcdiverse(unlacteur). C dx \ \)\l[\4-x) — = — ;i» Ohm, Ausw. 16. 'j ^ ^ ' X 12 o\/'7M _i_ ^_^f_ ' 70 Bertrand, L. 8. 110. — Serret, L. 9. 436. — Grunert, Gr. 4. 113. — i:)jt(,l i-^} J _|_^j — g'^*'* Id., Gr. 6. 448, — Hill, Cr. 3. 102. ■&)\l{\^x)— ■■ ^ dx = 2l2—nCosec.pn,p<:i\ V. T. 5. N°. 1. 4)/'z(l-|-;,.)i:=^d^=ii^+^)-/(I-l-p)-l'-^--/2-!i-f- V.T.6.NM. [ dx 1 5)/i(l — a;) — = ii» Euler. N. C. Petr. 14. 129. — Schaeffer, Cr. 30. 277. / .r 6 C dx \ 6) / 1(\ + ar>) — = — 7r» V. T. 152. N°. 12. 'j^'x 24 i dx 1 lAIiLli, IbO suite. Lim. Oetl. Log. en num. de lorme diverse . (un tacteur j . f dx 1 ( p 14-io 1 11 f dx 1 . 10)/Z(1 — a;») — = —.--71^ Ohm, Ausw. 16. J iS 12 11)H{1 — a;M~ = — — 7i» V. T. 152. N°. 17. 12)jl{l + x-{-x^)~ = -n^ V. T. 153. N». 1. X 9 r dx 1 13) n(l— a;4-a?*)— = ~7r» V. T. 153, N". 2. a) 18 f dx I 1 14)/Z(1 — Z.trros.^ + ^s^— = ~ni^:^X-\--i.^ V. T. 153. N^ 6. y a; 3 2 /* 1 4-a; dx 1 15) /Z—^- ^ = -TT* Ohm, Ausw. 16. 7 1 — a; X 4 /•l--£^ 2880 4) l(l*y.l{l—x'-)— = — TT* V. T. 154. N". 15. / X 360 C dx 1 5)l(lx)\ia — x') — = n* V. T. 154, N\ 17. j X 2880 81 1260 7i« V. T. 155. N». 2. /dx {lxY.l{\-\-x) — 7) l(lxy .l(l — x)~^=—~n^ V. T. 155. N'. 3. 7^ •' ^ •' » 815 8)j{lx)*.l{l—x^) — = — -^^^^ 7r« V. T. 155. N». 5, X 2560 d* _ 22"+' — 1 « ~ (2a+l)(2a-{-2) 9) I (Z a:)2a. ; (1 ^ -b) ^ = ,., .", iw. "1 ON '^'^"''"^ ^2a+l V. T. 157. N". 5. 10)/(Z.)- Z(l-.)f = _-r^^..^.B.., V. T. 157. N'. 6. 13)f(ziy-\z(l-2p.Co,.^+p^.»)^ = ^i>±l)l ^lil^i:^ V. T. 159. N^ 7. A*/ ^^ ' a; r 1 (n+l)'-+' i4)fu-] J(i + ;r)^ = ^—r-^Trr^^ v- t. 157. n». s. iZx 1«+V^ J, (-1)" a (1 + «)"+' 15)/ Z-j .l{l-x)~ =. — 2- = V. T. 157. N'. 9. Page 226. F Algebr.rat.fract. TABLE 161 suite. Lim.Oetl. Log.cn num. oeiorme diverse, (deuxlact.j. fl 1\P dx « o" U)j[l-]^ .i(l-j.)-==-r(p+l)^^ Y.T.157.NMO. 17) /U- Z(l— a;')— = — — - ^ ^, , ^ ^, V. T. 157. N'. 8, 9. [, Ix^lx — n 4- x^)dx I , 18)/Z(1 +.r») — ~- '-— ^ -^ -12 V. T. 153, N». 15, 19) \l(\ — x-^y— ,' , ,, - , ^ ^ / r • r. Log, en num. {IxY lAULt 104. Lim.Octl, 1809. 416. I) I (iiy .^^ = I „ ll9.-\i M~ -ttA Legendre, Exerc. 2. 43, — Id., Mdm. Inst. 1809 'J\^) l^{l-x^) 2 V ^ "^12 j 416.N'.4i. Z)(ll-Y "^ dx = l^/.l(A=l^ I Legendre, Mem. Inst fflYa-l dx 22a— 1 J \xj (1 — a;)i/ic 4a /a;l6— 1 f — ll«+l i /2n 1\ /I — a;6-« { — l)a+i A /n\ [lxY<^ i ^^'~' '^^ = -^ 1 (27r)2a+l ^ B" — 5m, Baabe.Cr. 42. 348. ncn F. Algebr. irrat. fract. T,Anii? »ok r- n .• Lo|. en num. de fonct. ent. ^^^^^ ^^^- ^^^"-Q^t'. /da; n a> f — 1)" 3)/'(l+P^) 7, iT = - (t* — 4(^rccos.p)»} , jo* < 1 ; V. T. 339. N'. 28. 4) fi(r+p.)-^ ^^— = !L_/>^^?-(i-»^(i-'/)){-+v-(^--/>-)}'^ot;tL'fewfk;: 7^ *^ '\—qx'^]/(l—x'^) V'5(l— 5) PV/?+[i— 1/(1— ?)!(r+v/(r»— p2)) Mem. Kasan. 1835. 1. 5)// l+a!») ^-^ '- = -T-TT-T-r- — -*— ^^■'-- V. T. 12. N'. 9. 7)jl{\-\-x^ Tang.n) ~^—j- =- nl Icos.-'-l.Sec.x] V. T. 334. N^ 9. J '\^{\~3j^) 2 i 2 ^ 9» ^2) N-. 7. Page 229. '•^|:e"n,!rde^nc..en.. TADLE .65 suite. tia,.Oc... V. T. 348. 11)/Z(1 — arM ^ = 7rl2 V. T. 163. N'. 2. 14)n(l—a;» /Sin. i) 7-77^^^ — ;; = ZttICos.^X V. T. 384. N'. 13, d X , ^ 1 = ZttICos.- 1/(1 — ar») 2 . T. 335. 5. 15)11(1— x^ Sinhp.^X) = ZnlCoshp.-X V. T. 834. N<», 10. in— a'' Cos A ».* ;i) = n I --^ i— V. T. 834. N% 12. C, J!» , 1 f l-)-l/(l_p») ll_l/(l_pJ)) V ")/'(i-p''0j^i'i-^=i((^-r'4(i-f')|F(f)+{^i(i-p')}Ew]<,- V. T. 348. N^ 19. " ' V.T.348. 28)A(l-^*+.»T/(l_p^)} ^ ^1 2l/(l-p^)^ VT 348. 3. ''•Lo|:ennun'^t>ono..f,.act. ^ABLE 166. Li...Oet<. ., r,l + .T^ &-n. ;i do; ,1 + Sin. ' A 1 I ' r = 7r Z — ' ^— V. T. 334. N'. 22. 7 1 — ^^ Sin. X ^{l—x^) Cos.\X „^f,l — .v^Sin.^X dx / 1 1 \ ^ /^^ r^^2 n r; = ^^i\Cos.-x.Sec.-i,\ v. t. 334. n». 23. y 1 —a;» 5m. \a 1/(1 — j:^) (^ 2 2 ) ( Sin.n~w^Cos.\u dx 1 /I . 5m.^\ V. T. 334. ; l — x^Sm.^^i \^{l—x^) 2 ^ \2 ^m.V N". 21. ** /^7~^ — , o- , T7~, 7 = Ztt? (7os.-X.Sec.-«\ ' V. T. 334. N". 23. j Cos.'' II ■{- x^ Sin.^ n i^ \ — x^ \ 2 2 / ^)\l- = 7t= V. T. 340. N». 2. y l~xxv^ {l — x'') 2 o)/t; t; r: = Tr^lrcMn. o V. T 340. N'. 3. y \—qxxv^{\ — x^) ^ Page 231. F. Alg. irrat. fract. 3g I " „„ „ ^ J P . f . TABLE 1G6 suite. Lim.Oetl. Loff. en num. de fonct. fract. "/'i^ X Sin. X dx = 5T /, Lobatschewsky, Mem. Kasan. 1835. 1. dx • 1 . -7r» V. T. 340. N°. 6. -xSin.X xu^ (1 — a:') 7 U— « ) x^ 1/(1 —a;') 7 1—1/(1— ^X-Sm-'^— ^'-Sm.*.") 1/(1—^'') 2 1 3 ^"^ \ 2^ a 2 /] N". 2. 0^ /"/ -T^^^-APl^fiAP-" 1/ (1 —a;* Coshp.^X. Tanghp.^ fi) dx 7 l+a;X. Tan^Ap.n) y/{l—x^) ~ V. T- 348. 4 Sin hp.X N"- 5^' 11)/"/ 12)// 14) A 15)Jz 16)// 18)// 19)1/ I' == TT / {&■« hp.X-\- J/ (1 — Cos Aj».» LCoahp.^ ju)) (1 + Sinhp.X) Jl/(1 p^ X^) V {I — p^ X^) {I — X^) ■'i JN . *-i. + a;Co«.u I dx %n CosAUn—'i^X)') „ J ^ ji US LI V. T. 343. N". 13. ~xCos.n\-J(-xCo$.X v/(l — a;*) Sin.X Cos.[\{X—ia)} 4-xCo8.u 1 dx jr , 1 + Sin. X ^ '^ I — — T V. T. 343. N». 19. — xCos.^ I — a;* Cos.A j/ (1 — x^) Sin.X Sin.X-\-Sin.n -\- qxCos.X 1 dx ^ , l-{- Sin.X y j 343^ — qxCos.X l—X^Cos.ny/{l—x^) Sin.X Sin.X-^^(l — q^Cos.^X) N°. 17. + a;Cos.i a; dx = 2 Jr Cosec. 2 X . / &n. X V. T. 343. N*. 14. —xCos.Xl—x'^Cos.^X ^{l — x^) -\-xCos.ii X dx 271 Sin.(l(n + X)] TT— ~ .^ ,, TTT: r: = ■;:7^T / ^ . . . H V. T. 343. N". 10. a; Cos..a 1 — a;> Cos.n V (1 —a;*) Sin.a X Cos. { • (,u— ;i) } — po! l_9a;=' v/(l— a;») l/g(l— 7) pi/9— f 1 - 1/(1— tf)} {1—1/ (l-p*)} ^I"^'"- ^asan. 1835. 1 . ■\-xCo8hp.X X dx I Sin hp.X ~ —Zn- r— :— : — - V. T. 343. N". IS. — X Cos hp.X 1—x^ Cos hp.^X ^/(l— a;») Sinhp.X .Cos hp.X + x X dx — xl — Cos.^ X. Co«.» /t—x^ q -\- ri /(xi — \){x'~\) , , P+-9 + 1' P+r '-^ xP-^ dx = i fTH-r _ I Fjr_ j^j^^^^ p_ 37. 123. Ix p + q p f(xP — xy)(x'-—X') ,(? + »•+ 1) (7 + 8+ 1) Ix (p+s-f I)(7 + r + l) d X Ix 9) /ica-i {x — 1/ — = A*, ^a V. T. 127. N\ 6 /" dx » /a\ Euler, Calc. Int. 4. S. 5. 29. — Id , N. C. Petr. 19, 66. — Stern, Gott. Stud. 1847. Page 233. 80 WIS- EN NATUURK. VERH. DER KONINKL. AKADEMIE. PEEL IV. ^- '^'«- •*"*• «"'• TABLE 168. Lim.Oetl. Log. en den. {Ix)". C. P. 20. 59. , > Euler, N. C. Petr. 19. 66. 3) f^^^^^^^^jf^ dx = (q + 2)l{q+Z)-Z{q+\)Uq + \)-\.qlq Euler, N, 4)|f^^)'da; = (25 + l)Z(2j+l)-2(3 + l)Z(5 + l) ^)I[-J~\ ^^^^ = (2g+P+l)'(22+p+l)— 2(?+p-l-l)^(7+P+l)+(p + l)^(P+l) [ (7 - r) a:P-' + (r - p) xl-^ + (p- g) .r^-' ^ ^ _ j.^,^^^ ^alc. Int. 4. S. 5. 23. - Id.. 'J {IxY N. C. Petr. 19. 66. — Id., N. C. Petr. =^ {q — T)pl'p+{r~'p)qlq-\-{p—q)rlr ')/{'- (i-i^) "-"} --f: " 1+ ('+i) V+-I '• '• '"• "■• "• 8)/'(l-a;P)(l— a:9)(l-a;0T^ = (p + 9+ l)^(P + 9+ 1) + (P + »- "t- »)UP + '' + 1) + (<7 + »• + 1) U? + »• + 1 ) - (P + 1 ) Z (P + 1) - {? H- 1 ) ^ (? + 1) , Stern, (r+l)/(r+l)-(p + g + r)/(p + g + r) Uott. ' Stud. 10)/'(l_a:P)«^ = ^(-l)"n(g + np+l)^(? + np+l) CI XP x9 x" |r» I dx ^^7 i(p-?)(p-r)(p-«)'^(9-p)(3-r)(7-5)"^(r-p)(r-2X'--«)"'"(«-p)(«-<7)(«-'-yi^('^~ k '"' P^^P , 9'^? , ^'l^ I ^'^^ ifn'^^'o " {p-q)^—T)[p—sy'{q—p]{q-T){q—8y{r~f){r—q)[T-s) {s-p){s—q){s—r) U)(\^—^+-^]dx = l2 — l V. T. 127. N». 21. 13) 1(1— xpy^-^ = -.2(— I)» (") (pn+ 1)^ Z fp n + 1) Stem, Gott. Stud. 1847. J (Ixy 2 1 \n/ Page 234. stern, Gott. Stud. 1847. ^' i^lf n?;Jn'V/ .\a TABLE 168 suite. Lira. et i . Log, en den. [I xj". J (*«)' 2 \nj n)jil-xP)<'ii-xi) ^ = - 1 J(_ 1). H (5 + p„ + 1)U (2 + p n + 1) + i J(-l)»M(pn + l)/(pn+l) ie)l-——dx = (fautif) Oettinger, Cr. 35. 13. J (^ *)' ?"+^ 17) / 1 — ^P— 1 dar = — — — ■ . pa-Hp, en posant Ap = 9; Legendre, Exerc. 3. 58 Clxi—lY 1 /a;P— 1 J f ^^^^(*— 1)" dx = — L'^.pHp \ Cauchy, P. 28. 147. P. 1. § 2. 7 (;^)p+i d^ = (-l)P+lr(l-p)^--— ,p 12n+l/l il ; dx^—:E(—\Y r V. T. 130. N\ 1. /«?-! 00 12n'l ; — -dx = 2 (— 1)" • V. T. 130. N°. 2. 4) 5) fx9-nx 00 121+1/1 6) / dx = — 2 (—l)« V. T. ISO. N'. 1. /4;P— 1 1 /• J \ — — -dx — - lCi.{pq)-Sin.pq — Si. (p q). Cos. pq + - ti Cos. p q{ V. T. 130. Nc 4. f xP — ' /.r i 8)/-^| — -dx = Ct. (p3).(7o«.pg4- SL(pq). Sin.pq nSin.pq V. T. 130. N'. 5. /■ ^p — 1 1 9)/-;; ;; — dx = — {e-P9E{.(pn)—ePiEi.(~pq)] V. T. 130. N\ lO; C xP—^ Ix 1 , 10)/-^ TFTi'^^ == — - [e-P?£'i.fpy) + eP?J2i.(— />?)} V, T. 130. N°. 12. f xP-^ 1 , 11) / ^ ■ djr = — ^{e-P9£t.rp7)— eWEj.(— p5)+2(7i7p9).5m.pj— 25i.(p5).(7of.p54-nCoj.p5J V. T. 132 /xP — ' Ix 1 ZnZ^^-'==jrA-^~''^^Mpq)-eP'JE{.{-pq)-^ZCi.{pq)£os.pq+ZSi.{p^^^^^^ JJ; T^ 1 ^'^^l~ — Jj-7^ f Cisa deGresy, Mem. Turin. 1821. la+i/1 ( 209. I. 30. 16) = — I Y^^TIj/T' P°" " ^* ^ entiers;\ V ( 4- 7) 4_ 1 ^ Legendre, Exerc. 4. ' "^ I. 30. fl—a^l—arP , , r(9 + r)r(»4-r) 18) / ^'•-1 dx = Z — ^^^-^ — ' ^^ ^ Legendre, Exerc. 4. HI. 'jl—x Lx ■ r(r)r(p + 7 + r) /"arP— a;? a;'- — «» , , (1 +P+ «) (1 + 7 + »") 19)/ dx = I - — ^ ^^ -T- i-v I schlomilch, Gr. 4. 167. 7 1-^ ^^ (l+P+^)(l+?+s) i {\ — xp){\—xi){\—x-) dx ^ ^ r(;>+i)r(g + i)r(7- + i)r(p + g + r+i) V l—x lx T{p-\-q-{-l)T{p+r-\-l)T{q+r-\-\) f(l — xP)(l-x9)a—x^) , dx T{p-^s)T{q + s]T{r + s)r{p+q-\-r-^s) 7 l—x lx r(p + 2+s)r(p+r + s)r(^+r + s)r(s) /• (! — XP) (1 — X<1) (1 — xr) (1 — .>P^) dx _ 7 l-o; Za; ~ V1S47. _^ r(p+i)r(g4-i)r (r+i)r(s+i)r(p+g+r+i)r(p+-+^+i)r(g+r+a+i) stern, Giitt. Stud. r{p+9+i)r(p+r+i)r(p+5-f-i)r(2+r+i)r(g+5+i)r(r+s4-i)r(p+3+r+s+i) 1\ da; 1 - — -- = _1J._, a; 2/ Za; ^2 /■/I 1 1\ da; 1 Page 239. F. Alg.rat. fract. aden. 1 ± x. rrinii? m •» i a .# Log, en den, (/x)-. ^^^^^ ^^* ^"'^^^ ^'"^'Q^^^- -if 7- H -^— — = ~l27t—l V. T. 135. N'. 21. 25)/ — — /j- + ---i— — == -12 n V. T. 135. N\ 22. /■/I 1 1 \dx 1 26)/ 7- + -«'+ It- = -i27r V. T. 135. N\ 23. F. Alg. rat. fract. a d(5n. 1 ± x". taRI F 179 i im Pf 1 Log, en den. {lx)K lAULL 17i. *-^"'-"^^^- f{l~x)''dx n 1) / — — - = I — Legendre, Exerc. 5. 3. J \ -\' x^ Ix 4 J \ dx 1 , 2)/ TT- = ^2 Euler, Calc. Int. 4. S. 3. 115. 'j\ ~x^ Ix 2 /I — a^9 1 — ^+1 -^ 7 ; dx = — all, 7> — 1; Legendre, Exerc. 4. 113. 1 J!' Lx fi~x^ dx ,„ %n 4)/ — - = I Cot. Euler, Calc. Int. 4. S. 3. 111. 7 1 + a.* /iT 8 (( I \ I) dx I 5) / \ + —r [ — - = - (Z2 — 1) V. T. 135. N^ 14. '}{]. — x^ ^ ZLx 1] lx 2 ^ ' g) / __ ^ I Tang. \—^-^n\ J 7 1 + a^P lx ^ lip } I fxr+9-^ +xP-9—^ dx , ^ on Euler, N. C. Petr. 19. 30. — Id,, Calc. Int. 4. S. B. 30. 4t. X^P lx ip a;p-g-i — = W -P- 5j-„_ iZ! I ,«->«; Euler, N. Act. Petr. I. P. 2. 29. Za; \qit PI ■ xP ») / 2 dx = Z Tang. ^— 7 l + x2/, ia! ^ 2pl ^ Euler, N. A. Petr. 7- 6-J. f(l — xP—9)-x1~^ , , „. gn\ 10) / ^ ~- -—dx=^l Sin. -;- 7 1 — x*/- /a; 2jt>j Page 240. F. Alff. rat. fract. a den. l±af. rr a di i? j t't t • n . « T J J f A , /I \h lAliLL 173. Lim. Oetl. Log. en den. de lorme 1 ± {Ix)". [ Ix dx 1, 1 1 1) / . , , ■ /, ~;t -. 7 = — :: ^? + - Z' (i + 7) v. t. 138. N'. 11; 2) / T" TT7 ^ = - f_ -^ 4- Z-1-_Z' ( ~\! V. T. 138. N'. 9. fix dx 11 8)f — :^ ri = A V. T. 138. N». 10. 74.71* + ilx)-' 1 — x 4 2 C Ix dx in* ^ Bon-H 4) / , -:, ; = -— - ^ — l)n-l ^ , "+' ^ 7.2« V. T. 138. X'. 22. 7 2'-(^^-) 1 — a' 2* (n+lj^S" 7- ——; = _ — ^ — ^^ (2 7r)2« V. T. 138. N'. 21. f Ix dx T* 00 , B2n4-1 7)|;;rT^773IT^rTI = ^n^ v. T. 138. N^ 2. 4 71 + (Za;)^ l+A-* 47r 8) /-T-rVJrTT T-; = - 7r Z 2 V. T. 138. N^ 3. 10)/— ~ '^^^^^- = ~ V. T. 138. N'. 16. Jn X. . . . dx 2 — 7r 7r^ + 4(?^)» l"+^ "" IT ll)/-rr77~TIi i-d^ = — — ^2 V. T. 138. N°. 12. J n^ -\-{lxy 1 — x^ in ^^)\~Tjr7rV^ T~^ d^ = — 1{-~- + 1- + Z' U\] V. T. 138. N'. 9. J q^ + ilxy l~x^ 2(2? } "^ \7r/J ^^) / ^rsTT/^TV ^1 r '^^ = 7 — n- A V. T. 138. N». 10. y 71^ -f- (Ixy 1 — x^ 4 2 Page 241. gj WIS- ES ^ATCDRK. VEBH. DEB KONINKL, AKADEMIE. DEEL IV. I " ,, , f i^fi \b TABLL 173 suite. Lim.Oeti, /Ix X tt' 00 B^n-t-l -— ; ; dx = 2 (— 1)"H-1 -^^^ ^2" V. T. 138. N% 23. {<7> — (Za:;')» 1 — «» 47* 9^" /"I da: If ,1/2—1) 17)/-i T = ^TT + Z^^- \ V. T. 138. N°. 18. 16 ^^ ^ t Ix dx 1 S) / , = 1/ 71 IS) / , — ^=-^^ = — Zi^n 4. 1 _| —l ^ - V. T. 138. N». 19. J-«rMl — *" * ^ ^21/2 1/2 + 1 16 '•"^'■'^ F.AIg.rat.fract.aden.trin6nie. ^^g^E 174. Lim.Oeti. Lo{^. en den. Arndt, Gr. 10. 455. 2) / " ~ = IS Euler, Calc. Int. T. 4. S. 3. 112. 71 +x* +arMar 2 /a; da /I \ :; ; --— = Z - 1/ 8 Euler, Calc. Int. T. 4. S 3. 116. 1— «* +a;Mj; \2 / 4) I 1 .^f_^ _ <;^,,,. ^.r (,^) 1 (_l)„_l •^ l + «» +2a:Co«.X(il] ' a, [^ ^J:^ .v,>H.*i (-i).-'»«.=f /-iig-lj ; r/ 6) = -{ TaT,a.~-lb-{-2 2 (— l)"-'5in.--r ./ S , , ^ ^ > a + 6 ^ ,. OTT ) ^26 ^ / ' i T/^+TT ( mir: Sin. n X arr/ ^/ ^'+»+ l Les formules (4) ii (7) sont dc^duites par Malmsten, Cr. 38. 1. Partout a < 6. Page 242. F.Alg.rat.fiact.aden.tnnome. rr,.„ir, .-. •, i- a .j I ° 1- lAiLL 174 suite. Lim. Oetl, Log. en den. 4_i ^ / P+b—n \ ^ ft+n J 14.3,5+2: . - 1 r- 1 )»-! Sin. — . Z-^-* — U_^./ ' P""" + +.^+2.Co.^4 -Jt^ ^ -6 ^^^+^,y(p + „^ pa.; 9) / \l^ — -11 :^^Cosec.~ JS" (— l^-^Sin.'^.l ML * 1^ ' •^'•L/"4-l\P /6^U/ ^->' + 2 \pa.; l^.^ + 2.Cos.~\l- ^(^j pair; 6-1 ^/7+*— » _ \ f rt I A 12) =rancf.-^.;6+2 -2" (— l)»-i&-n.^'.^ \ " - ' a + 6 26 ^ j' ^ 6 J, J+n^ p,i,, „„, /■ 1 + a;* dx ^ 1 , , <» < 1^_ c.. l,w„^^, ..„ go«-{(«+^)^} (2m+1)? Les formules (8) a (13) sont dcduites par Malmsten, Cr. 38. 1. Partout a <^ 6. F.Alg.rat.fract.aden.prod.defact. jABLE 175. llii.Oetl, Logar. en den. Ix. 1)1- — — ^ ^^ — = l^{p,q) Binet, P. 27. 123. — Id., C. E. 9. 39. 1 — X xlx /x^—i X — 1 d X 1 — - — —~ = I Tang.- qn Kummer, Cr. 17. 210. „, i{m — ar-iV dx ,, 3)1 — r- —-r- = l{qnCot.qn) Binet, P. 27. 123. • y 1 -|- ^ '^ ,^ Cxt -\- x-9 — 2 da; , &n. 7 tt *) I — ^^; ~r = ^ Legendre, Exerc. 5. 3. — Binet, P. 27. 123. J 1 — X Ix qn Page 243. " 31* F.AIg. rat. fracl.adeii. prod. del'act. rrinit^ a^k •» i • n «» j I ° J- I ' lACLL 17o suite. Lim. Oetl. Logar. en den. / .r Binet, P. 27. 123. P. 2. 29. — Legendre, Exerc. 7)1- ''- - dA! = I — ^ /I — X* Ix qn fx^ 4- X — 1 — Zdx 1 8)/—^^ = ICos.-qn V. T. 136 N\ 12. J l-x^P six 2p\^ Euler, N. Act. Pctr. 1777 ^^rx^ — 2xP+x^P-'>dx ,„. qni ^- ^'^• 10) I ; 4 r- = i Sin. ^— \ 7 1—x^P xlx ip I 11) / ;; = I Tana. [^-^-^ n Euler, Calc. Int. 4. S. 3. 110. 'J \-\-x^P xlx I 4p / 12) /(-^^ _ ^^ _ 1 ^ H- = ,,^ V. T. 135. N'. 17. 7(1—* 1 — a--* *(l— ar) ^ ar(l— ar»)J ^a; ^' r ^-xr-x'^P-r + ...-, dx^ ^ ^ U,JL,,^^^rjr^\ J 1-x^P xlx \ 2p 2/'/ Euler.N.Act.Petr.l777.P.2.a9.. . , ^ fxP-^ — xP-'- — TP+r-\-x''+1 dx , f qn ^ r 7r\ ( l*^- •'^- ^- ^- ''• '^^^ 14)1 — = I [Cos.^-.Sec. — W 7 ' 1 — x^P ^Ix \ ip 2pj ' /xP — x''~P dx ,„ pjT = I Tang.'^-- Euler, N. A. Petr. 1777. P. 2. 29. 1 4-a:'- xlx " 2r CxP — a« 14-x^— />-? dz , f„ P'n ^ qn\ 16) / — — = I iTang.'—- . Cot. — [ Euler, N. A. Petr. 7. 64. 7 1 + X'- X Ix I ^ 2 r 2 rj Cl—x x"^ dx , 2p/2 17) / .— = I Legendre, Exerc. 5, 3. 'jl+x\-\-x''lx n /V~x I dx 1 T-r— ;—. T-l- = '2 V. T. 171. N». 1. et T. 175. N". 17. 1+x l+«' Ix 2 Arndt.Gr. . 10. 455. Page 244. F.AIg.rat.fract.adonprod.dciact. ^^g^E 17G. , Lim.Oetl. Logar. en don. d'autre forme Arndt, Gr. 10. 455. V T. 136. N'. 18. f 1 Z — X 1 — a\ dx 1) / .4- — — I — =0 V. T. 185. N». 12. 7 \l_a;' ^ 2lx X j Ix (x-1-\-x , I 1 1 1 7 l-x-" {lx)p ttP-i l(2n+l— g)i-P (2„+ 1 -j-^^)!-?) f ar-1—x'l dx^ -^ , ^,pr( l— p) j. f 1 _ 1 1 V. T. 136. 'jl-x^{lx)P ^ ^ JtP-i o\[2n—l — qy-P (2n— l+5)i-PJ N\ 17. /ar-P — xP dx „, 1 1 I 4- Sin.i p n „ — -— - = Sin. -pn—nCos.-pnA-^^ r—,« 7(1 + «)!/««» + (/«)» 271 f 1 dcp 4 — TT 2)/ ;: ; — r = V. T. 138. N\ 2. 7(l+*)!/«'4 7i»H-(/a;)» 8n 8) f ^- ^^- = i fz' i'-±^] - Z' (^-±^]} V. T. 138. N". I. 4)/ ^ ^-^— = -^— L-Z ^^ + n v. T. 138. NO. 18. /Zd! da: 11 = TT V. T. 138. N". It). (1— x)l/ a; TT* +(/*)» 2 4 C Ix dx n 1 ,1/2 — 1 6 / = — 1- 1 + 1— V. T. 138. N'. 19, 7{1 — x)l/ir7r» 4-4(Za:)» 2 1/ 2 "^ ^2l/2 1/2+1 7,/ ^ if—^-J^l_l^-l+l\ V. y(l+l/a;)lJ^ar» 7i*+(ij;)» 27ri/2i i/2— ij T. 138. N". 18. JjC dx _ TT I 1 1/ 2 — 1 l/a;)t>^a;» jt* +(/a;)* ~2l/2''" ''"21/2 i/ 2 + 1 8) L .7_x..... _. .:,_., = ;, r7„ + 1 + ttV;: ^''.:; ■ ; V. T. 138. N". 15 9)1 = - Sin.pn ^-nCos.pn.l ~,V<-; V.T. 138.NM3. '}(\—x)\^xn-' + {lxY 2 ^ ^2 ^ \+Sin.pn^^2' ,„s /" ar-P+x" Z« , , 1 ^ 1 „. ,1 — Sin.pn 1 V T 138 7(l_a;jj/X7r>+(/x)» 2 ' ^3 '^ 1 + &n.p7r ' '^^ 2 ' N'. 15. /" ar~P — a? dx 1 r . v T 11)1 = — |2»7r6'os.2»7t+5m.2D7r./2((l+(:os.2»7i) 1 tJ,1, *; 7(1 — jr)i/.r47i>+(/a;)» 47r'-^ ^ ^ -^ ^^^ /'^'JN.4 [ X—P -I- aP I X Ir , ,iVT 12)j(7— J— i^^rqp]^^^ = -[l-2p^5tn.2/,..-6-o«.2;,:r./{2(l+Cc..2;,.)}JJ-/ V. T. 138. P-1 hrP 3* + (/a;)* q ~\ q -\-inn /x ' — X ^ dx 2 TT « Sin. Znpn _ P— » 1— P /"a; * + o; * /a; n s. Co«-Znpn 14) I _^ 2: d^ ^ 2>n2: ■ — ^ , P < 1 ; V. T. 138. N". 8. 7(1— .r)l/a-9» + (/a;;» 5 iq + 2nn"^^ 1 >;> (Lufm ^ ~ •^' ~' ^ 1 020-2 Legendre, Exerc. 4. 113. — Cisa de Grdsy, Mem. Turin. 7 1-^ l-"^ i* "■ ~ 18^1.209.1.31. Page 246. F. Alg. irrat. fract. t< i nr i? j tt -^ i • n l m T " J, TABLti 177 suite. Lim.Oetl. Log. en don. /•/I 1 \\ dx 1 16)/ 4- ; 1 = -(Z2 — 1) V. T. 135. N». 13. ,„^ f(l 1 i^x\ dx 1 17)/ {— [ —- == -{/2_1) V. T. 127. N". 16. 'jUx 2 Ix ) Ix 2^ ' ^^)1[{t- — -W-'P+ I- + -^— Ul -^ == ij27i:— i V. T. 135. N^ 16. '}\\lx 2J ^ \2 ^ 1— a;/ J ar/r 2 2 [a 1 I da; 1,4 19 / .} ^ -l^ V. T. 133. N\ 5. ' ] {x l-\-iy x) Ix % n 1 20) f f 1 2 X I ^ dx I \ 4 ; \ — = V. T. 135. N^ 19. J \l—x l—x^ ^ Ix 2 lx\ Ix ^^, f (a — 1 a — 1 x"—^ x"? ^dx I 1\ 1 , V T ITi X , ffb x1-^ \ b I J)_n\ ''^j[rx + r^^xY'' = -^^' r+~r) ^™''' ^^- '°- '''• 25) A(l-.) ^^- (.>^+^>^l -(-^^-^^^) (,>,_,-,,),, ^ ,^!^ V. T. 175. N^ 4. V A-l^cbr rut "Log.enden.'sousformeirrat. "^^^^^ *'^^- Lira.Oetl. 1)/ 7a« = \y - Bonnet, L, 17. 265. W- ^ a; Cxi — 1 f 1 1 \ J ]^ix ii/(i+p) 1/(1+9)1 y 2). __ Bidone, M^ra, Turin. 1812. 231. Art. 3. N^ 36. Page 247. '^'Al^'^oni'^n f • , TABLE 178 suite. Lim.Octl, Log, en den, sous forme iirat. ,^f 1 dx » (—1)" 4)/—- — = i^n2: — -—^ Bidone, M^m. Turin. 1812. 231. Art, 3. N'. 37. Sin, -nn ^) lr~, — i — r r = — r- ^ (— 1}"~* v. t. ho. n'. 20 i V^l ~ Sin. -IT 8 (7oa. A— J— a;<'Co$. {{a -\-l))i.} -j-jra+l goa.aA, dar _ fl\"Cos.nl\ 1 — 2x Cos.X -{- x' \^lx \%j 1 1/ n ^ /'.S m. X — jr« &•». ((g 4- 1 ) ^} 4. a,«+l An. a X da; IV\ « 5m.»X | y 1 — 2arCo«.^4-a!* \^lx ~ \%] \ \^ n Bonnet, L. 17. 265. ^)/~7'T^^rT~'^-^ = T-^^W "^ — P ^'^>9> >0; V. T. 140. N^ 16. F.Alg.rat.fracl.aden.a;P. rnAmu i-rn »• \.^„ TAULL 179. Lim. Oetoo, Log l)/f(l +x)- — = — ^ , < p < 1; V. T. 18. N^ 5. J r^—P 1 — p 2)1^(1 +•'') ,^- = -Cosec.pn , 0i. 1 ^ a; <7a, 1 ^ ^ ( Minding, Tafdn. II. l/(a;^ + 2 a; Cos. A + 1) «" "" 2^' ' "^ *^'^') (» — 1)«"4-(p4- l),j;-/' {l—x'^)-^ '- '-j^' — '- dx =—nTang.\pn, l>p>0; V. T. 22. N'. 7. l + 2x-\-x'^ dx l — Cos.pX = 2 TT \ -{-txCos.l-^x"^ x^—P pSin.pit \,Pr-P 4>7T \ Legendre, Exerc. 4. 104. - ^ cia; = -^. {l-Cos.p).y 1 + 2 a? Cos. I -\- a'^ x pSin. p n (a; 4-1) (a; 4- y^) dx n [qP — 1)* ,p'i; ( ... ,. [x -\- q)'- x^~P p Sin.p-x , , , ., / Minding, Tafeln. II. l/(ar^ + 2a;Cos.A-|- 1) a-i-p " pSin.pn °^-P) ^a <^ i . a^ + 2Z>a;4-.r* dx h ^•l— --; ; — r — = 2tt la. Arcsin.- , a "> b ; Scblomikh, Gr. 4. 316. a^- — 2bx + x^ X a = ' A4-h'^x-^dx a« 3:1 -', — r-T ■—- = 7r(6 — a) + ttZ - V. T. 45. N^ 1. l-^a^'x' x^ ^ ' ^ bb 1+— .ZI4-— — = 27r ^— il^ /i— i-I _ Schlomilcli, Gr. 4. 71. P^ j \ x^ I x^ pq p p {l—x).{plx — l] = {n Cosec. pny , p <:, 1; V. T. 183. N°. 2. .1+^ ) — _ ~=.2nl^Tang.-qn.Cot.-pn^ ,<1;N'. 7. {Ix) Page 249. 32 WIS- EN NATUURK. VERH. DER KONLNKL. AKADEMIE. DEEL IV. F. Alg. rat. fract. a den. xp. ^^g^E 179 suite. Lim. et oo. Log- 25)//(l— x) {(p— 1)Z«-|-1}-^ = _(:r Co*ec.p;r)»,0 Bidone, Mdm. Turin. 1812. 231. Art. 3. 37. 7l+^» 0^ ^ (2n+l)2a+'j 5) = (— 1)0+1 (2 n)-ia+l B' |- j Raabe, Cr. 42. SiS. ( xi 1. d" \ 6) / (Za-)" d.« = - n . Sec.-qn Moigno, Calc. Int. 136. 71+a;*^ '^ Z dq" 2^ /XP—^ — x9—'^dx /I 1 \ -— = 71 Z I Tang.-p n . Co*. - 7 tt ) Cnuchy, Lim. Imag. 128. 8)/ ^ da: = — Zo Schlomilch, Gr. 4. 316. — Arndt, Gr. II, 70. 'Jq'+x* 2q^ — ■ ~dx = Ipq Arndt, Gr. 11. 70. q^+X^ 2q ^' 10)/~; —r—. d^ = -^l- Lindmann, Stockh. Handl. 1850. II. J P +9^ 2p J q 11)/ ^dx = — - 7r» 'jl — x^ 4, l^)/fl^'^* = -\ {-Co«C.[^.^}\p'l:i •' ) Schlomilch, Gr. 12. 208. fl—x^ I n „ n\^ \ 16)1- -X^—^lX'dx = — r r-i r U 1 26 ) Lindmann, Gr. 14. 94. F. Alg. rat. fract. a den. binome. ^ p^E 181. Lim.Oetco Log. d autre forme. 1) Z(l + a,-^) Hill, Cr. 3. 101 f dx \ ll{l-{-x^) = nl2 f fx 4- 1\^ a; 1 5) hi — — -da; = -7r^ V. T. 340. N=. J V'^— 1/ 1 + *' 2 6)/^(l+^) r+^ = l^C^+P) Schlomilcb, Gr. 4. 71. f d r 7)ll{x'+q^) =-l{pJ^q) V. T. 265. N^ 12. J p^ -\-x- p ^ ' ^' fi) A (*■' — ?' )'-rT~ = -^(?' +7') V. T. 265. N'. 13. J p^ -\- x^ p '^ * ' ' ) I -i- X' f ScUomilch, Gr. 4. 71. 14. 9)j/(.i'_ .t 1 + ^» \ 2 2 ' / , ,/",!+ Sin. Zk + x^ dx l+Sin.X 7 1 — 5in.2;i + a;M +a;» Cos.A ^^ f,Co«.V— C'os.n + .r^Sm.U di; . f^ 1 „ /I , /&'n.u\\l y T ■ ^'T ^^T^f^^ 1+^ = -'p-2'"-^-Hi^""n^))l ^■^•'■*'' i7)Jz(i -.-...) ^^ = - ^^ll;)'^ (^' '-^a-.l ^'°"""*^' ^- ''■ '''• F Al^.rat.fract.uden.(«±a;")'. ^p^^LE 182. Lim.Octoo. Log. /dx 1 Ix- = -Z7,7<1; Scblomil&h, Beitr. III. § 10. r a: 2)/(Z«}» d:c = V. T. 153. N'. 15 et T. 187. N". 5. V^ '' (1+**)* 5)((lx)^ ~ — = -n-» Mindim-, Taf. II. f dx 1 4) l/x ; — ; — — — = {tq—X — Z'ip)} Schlomilcli, Bc-itr. IIT. j ». ='/""■ oT^. = r?'^;^ " {^ + ' '' + '■ (^)} "■ " '" *"■ '■ ^)/^^' ; 1 . 7i ,xn = T-^-rrr-J~r- V^^;; a — Z' p I Lindmann, Gr. IG. 94. J (a> +i».'r»)P a2/'-i6r(p) 4 I 2p ^ 2/j f dx if " 1) ^) /'^/ — ; — ^TT^ = .. . ,. .u.. {/a — -S -^ Schlomilch, Beitr. III. § 10. Page. 252. F Alg.rat.fract.aden.(a±a;'t. TABLE 182 suite. Lim.Oetoo Lnix. 8) h(i 4-a,) dx = — U + — 1 V. T. 24. N". 3. 9)|/(i-^)>;;:^-f3;^daj = T-rrri^^-irJ v. t. 24. n-. 4. ;; — dx = \lq — — 10)/^(l+-)(^',^f~<^- = T^.[h-l—q){xP-^9—x-P-^) + {p-\-q){xP-l—xl; /Ix dx \ ' Minding, Taf. IT. / * ^^ ^^ .f _ ^ n-\-qP{Sin. pnlq — nCos.pn) Jx-\-gx — l ~ 1 +j 5i/i.»p7r Page 254. F. Alg. rat. fract. a autre den. Log. Ix. TABLE 183 suite. Lim. et 00 f, p ■\- X^ dx 1 n \&)\lj;^-^ = Ip V. T. 346. N^ 7. J p^ + J^M + a;^ 2 1 -1-p ^ /"a;/'-' — xl—^d.v ,„ p — q \ 17) / — = I Tang. ^ ^ i •' > Euler, N. A. 4^ 2 »• 2r/y Petr. 7. 64. F. Alg. rat. fract. a autre den. Log. d'autre forme. TABLE 184. Lim. et oo. J X — 1 a; dx 1 »2>i; |7r*+(i5) 2) Jrr— la; + 2 15(l-f5) I ai a;— la; + 5 6 (1 + y) * ^^ V :/; y i t ^ w ^ y /* (M^a (— l]a+l 6 /2n — 1\ / 5)/jY;^(^~*+**)^^ = — y — 2(2?7r)2a+i^(_i)'.-iB"(-^y- pos-l- /-^^-^{«-* — a;'')(f^. jl — ^ Dedekind,Eul. Int. S. 23. — Minding, Taf. II; ilafau- tivement dans les denomi- ateurs 6, 24, 360, 720, au lieu de 3, 4, 15, 6; 6) (— l)a+l 2(2g7r)2a+i2'(— 1)«-1B" — -Sin.naTT 1 \2b 2w-l ^ <^'^\ . 2 llRaabe, Cr. 42. 348. X Ix. I — 7) f_i^^, , = _!!!_ J X — q X — 1 q — 1 X f ^'^q dx 4rr> 4- (Iq)^ >jx — qx—i 6 2—1) ^ {qP-\-\)lq—2n{qP—\)Cot.pn\ Sin.^ pn , p^ <1,7>1; Minding, Taf. II. jiixy - dx Cos.X-[-x'^ dx + 2xCos.X-[-x^ 5 71* — ?.2 = X Cosec, X — — Legendre, Exerc. 4. 105. = -XCosec.X{n^ — X^){7n^ — Sl^) Legendre, Exerc. 4. 105. Page 255. F. Alg. rat. fract.aautiedcn. taijii? jq;! •< t- n . Log. (I'autrc forme. TABLE iSA suite. Lim.Oetco r dx i Da+l /1\ , p< 1; IJaabe, Cr. 42. 348. ^'^/(^•^)" l-2.6o!l. + .- = (-l)«+'(2.)-+>a.cc.2p.B'»^ 14)|/(I ^ ,,1) -_Ji:i_- = -^;r2 V. T. 152. N". 14. dx l^ a;(l+a-=') ~~ 12 Caucliy, Lim. Imag. /xlx — r—fidx 1 1(1 +x) —-^ — = Iq V. T. 183. N\ 12. /■ aria — JF — gdx ^ r . , n)ll{\—x) — ^da;= 00 V. T. 181. N°. 5. / 1 — X lS)j'|^l + ^) i '^- = ^ir[}y - (^) j Add. k 71(1+^)' ^- Ji(l + *) ^^ F. Alg. irrat. f.act. ^^PLE 185. Lim. Oct oo Log- V)\lx ^— = 2 TT V. T. 28. N°. 1. ] x\^ X C 1 — « dx 1 2)/iar = n V. T. 28. N^ 1. 'j {\-\-x)^l^x % I \ A- X dx Z)\lx ~ =0 V. T. 28. N\ 2; dx 1 ^)/^^ ;.,, , ,.rrT,. — TTTTrr = - ■^f(/>)/(i-p'),p^<1; v. t. 347. nms. 5)/ij; :^ , = -F(»)/(l— »M ,?)' < 1; V. T. 347. N°. 13. P»SC 256. F. Al". irrat. fract. tadtitio- •► t- n » » " lAJJLJli 1 80 suite. Ljm. Oetoo Log- \lx r dx = \- n Tang. — , a "> 2 ; y 1 — a;^ \2 ^ aj ' ■^ ' _2 r l—a;" /I ^ 7r\2 f ''^l 111^2 '■ "" li'^ ^"^'a) ' ''^ ^' > Lindmann, Gr. 16. 94. a 6 , bm, { TV \ . bin. - 1 la i 2a J; 1a C dx 2 f *~i 1 ^^~' 1) 9) l/ar — ^ = 7- -— ^/o+2/2— :E 2 ^ -} Sclilomilcb, Beitr. III. § 10) //ic 1^ — = — h + 2Z2+^-l V. T. 331. N'. 10. 7 (1 — a;^)*+« 2«+i l°/i 2 1 ^ ^ in) 11) / (te)2« ^ da; = "^ 7 (4 7r)2a+i ^ (— l)«-l B" Kaabe. Cr. 42. 348. 12) //(l_a!)i— -^ = V. T. 23. N°. 2 10. ")/'! dx 2 1 — ^^- = n bee. « TT , w-* p^ ^i -J- a;-; i -^ x' o i, 7 1^(1 +x') 1 +a' "^ ~ 3 1/3 • 271 E„,„^ Calc. Int. 4. S. 3. Idl. - Id.. Act. f __^__ d:g 2^ ( ^^''' 1"7. I[. 3. + ^ /a; 1 — X 2 1 ^'^^^' ' TABLE 187. Lim.letoo. Log. /dx {lx)P ~ = T {\ -\-p) V. T. 42. N'. 2. 2) \lx ^ == S Bidone, Mom. Turin. 1812. 231. Art. 3. N'. 37. 7 l+x^ o(2n + l)* r dx 1 ^)\lx = 7i» Ohm, Ausw. 16. 7 1— ar» 8 4) \lx -da = -I- V. T. 333. N". 1. 7 (!+»")* 4 2 /dx I X =1—12 V. T. 103. N». 3. x^l^{x^ — l) 6) /('■»)" ^ = l''/'.2'(— r," Bidoue, M^m. Turin. 1812. 231. Art. 3. N . 37. 7^ M+aj» ' (2«+J)''+' /d X n 2 o(2w + l)' ^)/ '^(^-^■^)^I77I^ = ''^^+^^o™^ Y.T.271.N^6. .„ 1/(1-^^) ' o(2k + 1)^ '* dx 1 1 5)/ Z(l — A-)— = -(Z2)2— — TT^ 7„ a; 2^ -* 12 Schaeffer, Cr. 30. 277. f, dx 1 6) / 1(1— X)— = _ - tt'' + 7ri7 2 •o Page 259. 33* F.AIg. Log. TABLE 188 suite. Lim. diverses dp. '7 xxy\-{\^lx)) V, T. 150. N\ 1. -I+V/5 3 — 1/5 3— 1/5 '^ ^ ' X 15 5V2/^5 2 2 i—Vs a; 15 10 I 2 5 2 l+t/5 7 X 30^10\2/ 5 2 2 2 3—1/5 . ., l+j/5 Schaeftcr, / Cr. 30. 277. i —1—1/5 "2 12)/ /(!-.) ^=^.^+. <^>g_ 1 ^^,^ M + l/5 \2_2^-l+v/5^ 3-t/5 -1 + 1/5 ^1-f-t.-; 5 \ 2 5 2 8+1/5 S y^ * 15 ^2^ 2/^5\2J5 2 2^ 2 1'*) / ^ (? + «)* — T— i = Arclang. - .l{\ + j') Hill, Cr. 3. 101. J, 1 + «* q / Z(l-|-?ar) = l(\ -\- q^). Ardancf. q Bertrand, L. 8. 110. — Grunert, Gr. 4. 113. 15) 16H — -^-dx = — 00 V. T. 150. N'. 12. re L6)j 5 + ix /' / 1 \ a;2^)} /_! l-»-^M/(l— :c^) l/<]-'')pi/r+{l—i/(l-r)} {2 + 1/(2^— p^)} +1 -=znvosec.K ^ l- Lobat- ']__ \l-~xjl—x'^Sin^Xi/{l—x''f" ~ 'l-{-2gTang.^X-\-hTang^{X ^ (2n+l \ , ^ 11 2n+l \ f /2n+l \) Uchewsky, , o^g == Cos. 71 -|- Cos. -71 + — JT {/]2Sm. ' — n]\, /Mem.Kasan. \ « / V^* 2a ; I V a j\ 1835. 1. ^. /2n+l \ „ /I 2ra + l \ f ^. /3n + l \)I ^ == 1 + 2/Sm. ^5 — TT 4-2&n. l-7r + — -I— 7r]i/J2>Szn. ^^ M /■+\/l— a;«\ a; , ^^^-'If^ /I ^n+l \ f ^ /2n+l \), r* / »A da; , P + Cauchy, Lim. Imag. Add. N". 27. — » /■« da; 1 1 4- » 10)1 Z(l + a;)— = -Z(l+p) — i— ^-^ Schlomilch, Gr. 4. 71. J x"^ p p P 11)1 i(p-aj)^^!/(3*-^') =^2^p-^ -^ + ^ _^/(p2_52) ipq—.'/(p-i—q'^)]^ Plana, M^nu -*- Turin. 1820. 389. -9 Page 261. F. Ak. I °' TABLE 189 suite. Lim. divcrses ]) ct -^ ^ . ^ -^— V. T. 381. N'. 4. 7 X l+^*,/,l 0^ ^ l/(Z2«+l) w I'age 262. F.Alg. Log. de Log. TABLE 190 suite. Lira. ct L f,,l3i^±f, 1 „ bn »\ (^ ^J cj l^ ^ ^ ^ cjfv. T. 274. 7 X !+.;» 2 2c' ' ,. , ,, l>n bn (N^ 1. •' f (2n-j-l)7r — — (2w+l)7r-|- — i .5) 6 6 C [z|(2«+l)7r— 1 Z !(2n-j-lw+~) V. T. 274. fix <-' — a;c 1 bn « 7 ar 1— a;^ 2 ^2c^ ^ ^ o) ,„ , ^^ bit bn (N^ 4 \ c c y 7)/"-: — ^ == - JZ' (-|+Z27r| Malmsten, Cr. 38. 1. 7 a;(l+a:)» 2 I \2/^ j 8)/^^-T-; ; — ; r == 7-^i—^)"Sin.-n7t — —, ^^— v. T. SSl. N". 15. J ^1+^ + ^Vzi &-n.i^ 1 ^ V/(2«+l) . ... inTT f/1 \. /tt nn\) 1\'^:?''^- n. ( c +''^<-^)-'«-~'|(r-)^"'-(i-rc)l"-" /a4-i}7r\, 18)// fa' +(Za;)n ; ? = Znl } , , -^ + tt/tt V. T. 275. N'. I \ 47r / » 6r — 5^ r' ^ in\ T; f " 1 /-; \j-i !+•»' <^-^ , „ c- '^i"*\ 67r /*l 6?! / V.T.275. •' l+ar^+as^ r -^'^ r ' * n, _ (i_Zj,)-i_(i_/a;)-;'] dx 20)/ {/>-l).T + ^ 77^ — y-T —\-r = -^r(p) v. t. 378. N^ lo. J \ l{\ — Ix) } xlx 21)/ !v + V, T-7T7-, 7-\ — = V. T 378. N". 9. _ fr {\~lx)-ip+^)\ dx "•uslikLog. TADLE19I. Lim.Ooulcto, i'^ . dx 1 /r(l) \ 1) / //.r = - TT Z — - 1/ 2 TT Malmsten, Cr. 38. 1. 7„ !+*» 2 Ird)*^ j Prtge 264 ^^'l;ll\ ^jg Lq„^ table 191 suite. Lira. ou 1 et oo . ^O" ""^ ""O* 2)1 II X = Z — ^iiK2 7rl 7 rt!* — ar-6 2i ^26 «> i b „/M impair; J-i J,/*—" n an it ^ najr \ b nnara-i-b 4) = ~Tang.~ Z tt + - ^ (—1)"-' ^ «• ^— ^~t^ ' ^.""^ " ' %b ^ lb ^ h i^ ' b n\ pair; l a + n \ 7 l+a:>+^* + ....+«2a-2 2a ^ 2a ^a i ■ -^ a j,/^\ Pa^J"' \2a oj = — Tang. — In-] — 2( — 1)"— '/Sin. — ( — V^r — '-. '^ ■ 2a ^ 2a ^a 1 ^ a Jn\ impair; 7)/ llx^ = \-l2 7t — lr {-]} r.^ +>»-f > r ,, «"~' +iJ;~''~^ , TT „ OTT,^ . 'T * , ^, ,„ (n — l)a7r, I 2& /,ponra + 6 8) / lla: —■ — 7 — dx = —Sec.—l27T4—2(—l)"-^Cos. ^- r^— Z— S r\ Ln^ir- 7 ar*-}-^-4 26 26 ^& / ' b ^ /"~A ™P<*''' T „ OT TT 2 (n — i^aTT, \ b ] ,poura + 6 "■' 6 Les integrales 2 a 9 sont deduites par Malmsten, Cr. 38. 1, ou il y a plusieurs fautes. Page 265. 84 WIS- EN NATUURK. VERB. DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL IV. ^'•^'S- TABLE 192. Lim.Oell. Circ. Dir. /I xSin.aicdiC = — {Sin.a — a Cos. a) Kummer, Cr. 35. 1. Z)lxCos.axda = -- {a Sin.a •\- Cos. a — 1) Dienger, Cr. 46. ll'J. J « S)jx*Cos.axda! == ~ {{a^—Z) Sin.a ^ZaCos.a] V. T. 192. N'. 1. /I — q 2 pn x1-^ Sin.Zpnxdx = — — ;; kummer, Cr. 35. ]. /Sin.px » 1 »2;i-l ^—dx = SiJp) = S — Arndt, Gr. 10. 225. — Sclilomilcli, Cr. 83. 316. « ^^ l2n— 112«-i/l /— "^ la/2 f « f n^Sn \ (1— a*) ^ (?os.p.rda; = -h+^r— ly ^-^^^-^ [Bessel,Abh.Berlin.l824.I. (1 — tM ^Cos.2».r(i.r= ,. IX ^rJSrC— 1)" — ^ ' ^ a.iwi "^ l"/'a"/i /1 4/1 Ja-i/l ^ Jn/1 I (l_.T2\a-6-ij,-!4-i(7os.pa;dj; = JS'f— 1)" p2n fSclilorailch, Stud. I. 24. ^ ' ^ 2.1",! 2i''/ia''/i^ ( ^ ' ^ ' ' l»/i o22"/ia"/i^ 10) jSin. |oPU+~)[-'^''-|2''i^ )( m~» ~ ~ Z^^'"-P Caucliy, Lim. Imag. .Add. i; .Cot. qx — Coa. I - 1 . , \ i,vf \x]dx 1 , » f > Cauchv, P. 19. 511. X 2 ]2)jj^Y-^ ^/._'^-i f — = ^''(^•<'»-?'i-5/«.7) |(7o». ^ar ■ I ^4 1 f dx 1 X I '»'/{r 5in. A. X ) J da: = Malrasten, Cr. 38. 1. -^ZxCos.X^x^ (1 +•«')*) Page 266. F. Alg. rat. ent. Hire. Dir. TABLE 193. Lim. Oet 00 . Boncompagni, Cr. 25. 74. 2) ) / X Sin. X d X = j I X Cos. X d X = — 1 ] qv /" J r..„ ^ ^ ,^ _ _^ Cisa de Gr%, M^m. Turin. 1821. 209. 11. 50, — Oettinger, Cr. c>)ix oin.qxax — gg jis. 24 5) / X Cos. q X dx = — — 6)/^ )/^^ ' Cos.qxdx = — . ^ 120 7) / a; ' o'os. qxdx = — — ^ Oettinger, Cr. 38. 21C. '/ 8)lx^'^Sin.qxdx = ( — 1)« — IMi jl!a+l 10) jx^^-^Sin.qxdx = 11) /a;2"-i Cos. g'^c? if = (— 1)°- 12a— l/l 72a /• . 1 1 12) j xP—^ Sin. X d X = Y{jp)Sin, — pni «2 ^ j. f Cauchy, Sav. Etr. 1827. 12 1. Note 3. — Plana, Mem. 13) xP-^Cos.xdx = T{p)Cos.-^pn\ Bruxelles. 1837. - Boncompagni, Cr. 25. 74. f r (p) 1 \ 14) /xP-i ^n.^ajda; = — ;p- 5tn. -p7r j Legendre, Exerc. 3. 55.— Plana, Mem. Bruxelles. 1837. — J 9 '^ I Oettinger, Cr. 38. 216.— Schlomilch, Stud. 1. 13. (pour ?l;>2>0et2^<1 rasp.). — Kaabe, Int. 416. (pour 15) p-1 Cos.qxdx =^^-^ Cos. ~pJj '°^t P «t 9)- Page 267. F. Alg. rat. ent. TABLE 193 suite. Lim.Oet oo. Lire. Dir. /I 1 «P— *5tn.0»d« = -— -T (p)Cos.-pTV riann, Mdm. Brux. 1837. (1— P)(rp-» ^^ a'^ 17) jx Sin. {x^). Sin. pxdx ■= -pl^Zn.lcos. i-pA-{- Siti.i-pAl 18)jxCos.ia;^)Sin.pxdx = — ipl/27r.[Cos. f-p»^_ Sn.fi//'] | j^"^*" ^ Caucliy, Lim. Imag. § 192. — Id., Sav. Etr. 1827. 124. T\t ld)[irP-^Sin.(qx^) dx = -AlL Sin.^ J rfyqP 2r, . } Raabe. Int. 4.16. !p\ 20) /icP-i Cos. (oj^O dx = — vLL Cos.— ) Poisson, r. 18. 295. N'. 37. „„, I xSin.x 22)/ ; tt; da; = 7ri(l — «-?) 7 e? + e-? — 2 Cos. .c ^ ^ 23) r xSin.x , , 1/ f 1 — »') / ;:; dx = n I (2 n4-p)] — iArcianq. ^—^ ^— Plana, M(Sm. Turin. 1820. t. Alg. rat. fract. a ddn.o;. rrinrn m/. t •„ n • P^ n- J' f . TABLE 194. Lim.Oelao. tiirc.Dir.cnnum.d unfaet. mon. ""*^^ Masclieroni, Adn. 52. — Euler. Calc. Int. T. 4. S. 5. 139. — Bidone, Mum. ^ ^ (Sin. X ^ 1 Turin. 1812. 231. Art. 1. N". 2. — Fourier, Chal. 415. — Laplace, P. 15. >\ - ax = -TT 229. _ LobalscheHskv, Mem. Kasan. 1835. 211. — Id.. Cr. 24. 164. — •' Schlomilch, Gr. 1. 417". — id., Cr. 36. 268. — Id., Beitr. III. § 4. fCos. X 2)1 dx = A (fautive) Mascheroni, Adn. 45. — Boncompagni, Cr. 24. 75. J ^ 8) =00 Laplace, P. 15. 229. 4) = _ A — i Bidone, M^ra. Turin. 1812. 231. Art. 1. N'. 5. J Sin.px _ 1 \ 7 X «^ — 2"''^>^5 1 Poisson. Chaleur. 102, 158. - Id., Mdm. Acad. 1823. 571. N'. f 12. — Caucby. Cours. Le(?. 33. — Id.. Exerc. 1826. P. VS. — 6) = ,»=0: > Bidone, Mdm. Turin. 1812. 231. Art. 1. N^". 19. — Cisa de ( Grdsy, M^m. Turin. 1821. 209. 11. 53. — Pioch, Mdm. Courr. 1 ^ „ ^ Brux. T. 15. P. 2. — Libri, Cr. 7. 224. — Besge, L. 14. 81. 7) =__,r,p<0;i Page 268. F. Alff.rat. fract. a den. a;. rrinic^ in/. •. r- a . n- n- J' r » 1 AbLh i'J4 suite. ■ Lim.Oetoo. Circ.Dir.ennum.d unfact.mon. (Sm.nx , 1 8) / — dx = - n , p trcs-petit ; Cauchy, Sav. Etr. 1827. 599. S. 2. J X 2, Sur la formule (5) seule voyez encore: Legendre, Exerc. 3. 46. — Cauchy, Lira. Imag. Add. 16. — Id., Cours. Le(j. 33. — Laplace, Probab. L. 1. 25. — Bidone, Mem. Turin. 1812. 231. Art. 2. 18. — Poisson, P. 16. 215. N°. 2. — Lobatto, Cr. 11. 171. — Kaabe, Cr. 23. 105. — Oettinger, Cr. 38. 216.— Bonnet, L. 14. 249.— Schlomilch, Gr. 1. 417. — Id., Cr. 36. 268,— Id., Stud. L 13. — Lindmann, Gr. 16. 94. q\ f P^ J r- -^ Legendre, Exerc. 3. 46. — Cauchy, Cours. LeQ. 83. — Cisa de Gresy, Mem. W X "^ — * Turin. 1821. 209. IL 53. 10) = _ 00 Lobatto, Cr. 11. 171. (fautive). 11) = — X — la — I Bidone, M(Jm. Turin, 1812. 231. Art. 1. N'. 6. ^ fTang.x I 12)/ ^ -dx = - Tc Schlomilch, Gr. 4. 316. ' J X 2 1 Q\ Z"?^^?:? ^« _ ^ Legendre, Exerc. 5. 85. — Bidone, M6m. Turin. 1812, 231. Art. 2. 10) j ^ ax — ^7T ^o^ y8_ _ pjg^g^ jjg'm_ rpjy.j^^ ^8^8, 7, 1. 13. 14)/ dx — (—1)" ) - Raabe, Cr. 23. 105. — Id., Cr. 25. 160. , . ^ 1 If^ Eaabe, Cr. 23. 105. — Schlomilch, Gr. 4. 316 (pour a fraction a 2 2<'''2 denominateur et numerateur impairs). ^ ^^ fSin.^ qx , 1 16)1 ^— dx = -TV J X 4 (Sin.^ qx 3 17)1 ^^dx = ~n 7 ^ 16 18)/ ^—dx = 00 ; ^ — [Sin .^ 20) J ;;; dx = - n , p ':?^ q; \ Bidone, Mdm. Turin. 1812. 231. Art. 1. N°. f 10, 15. ^—dx = ^(— 1)" , X 22a+i ^ '' \^a-j-n-hly 19)/ ^—dx = -2'(— 1)" { Sin.\{ p—q)x) 1 ' —ax == — X 2 21) =0 ,p = q; ^ pioch, M^m. Courr. Brux. T. 15. P. 2. 22) = — -^^,p 1 ; /Sln.qx.Cos.x ,1 , ] X 2 ^ > Serret, L. 8. 489 1; ) 3) 6) 7) = , 7< [Sin. q X. Co^. px 1 I / rfar = - jr , 5 > p ; Lp»endie, Exerc. 3. 46. — Schlomilch, Cr. 36. 268. Id., Stud. I. 21. — Hidone, Mum. Turin. 1312. 231. Art. 1. N". 19. = , <7 p> — p> — '^ et + g = — - TT , — 2p<3<0; 4 10) 12) 13) 1-J) ^^[Sin.qx.Coa.^px , 1 ^ „ 15) / ^ '— dx = -n , p>2q; = , 3 = 0; = 1 0<3<2p; = 1 9 = 2p; = , 2p<3 < X ; Dienger, Gr. 12. 416. 16) 3 -n, p = 2q; Bidone. M(5ra. Turin. 1812. 231. Art. 1. N\ 19. 17) - TT , p < 23; J Page 270. F. Alg. rat. Iruct. a don. x. Circ. Dir.cn num. de plus. fact. mon. TABLE 195 suite. Lim. et 00 [ Sin.^qx.Cos.^pj- ^ 1 , { ^+P? ip-Zq ? iZq^Sp){3p-2q) '} X 16 9p8 '^^ ^' 19) 20) 2.1) P-^^^- 1 , (2? +P)^ (2?-p)^ v2g+3/>) (3p-2g ) „ ^- ^ , = 7^^ ^Tl ' 3P>^'i>P;/Biclone, ' Mem 1 , (27+p)» (2g-p)» (2g+3/)) (2y-3p) 1 Turin 1^^ ^^ ,3;?. ■, \ Art. 1. Los? q X 1 da; = — M 5 16 . N^ 19. [Sin.^ X. Cos J Ix , 2)/- 1- dx ■= 22) 00 / o.M f Sin.^"+i X. Cos.2t> J, _ r(«+j)r(64'J) .col I — rfif = — ; a' 2r (a -I- 6 4-1) r^m^+i^vCos^^i-i^ ^ r(a + ^)r(6 + i) y X 2r(a + 6+l) f S<=''''^'"ilch, Gr. 4. 316, ou a et 6 peuvent \ aussi etre des fractions h numerateur et „ ^^ r&n.sa+i ar. (7os.24 a; ti l«/2 l*/2 25)1 _ dx = - 26)/ f Sin.px.Sin.qx. J a> £l deiiominateur impairs. 2 2«+V2 COS.24— la; TT la/2 16/2 2 2«+V2 (Sin. r.2; dj; 28) 29) 30) 31) 32) 38) 84) 35) 1 -— n 8 1 4 1 -— Tf 4 8 = 1 - n 8 1 — n 4 8 = / — =»' in. n- r\- 1 lABLhi lUo. Lim. et 00 . Lire. Uir. en num. polyn. /Coa. X — Cos. ax 1 i—dx = -io> Kaabe, Cr. 23. 105. — Arndt, Gr. 11. 70. X 2 ^ /Cos ox Cospx 1 p* Poisson, P. 16. 215 N\ 2. — Bidone, M^m. Turin. 1812 ^-— dx = ~l~ 231. Art. 1. 6. — Cisa de Grdsy, Mdm. Turin. 1821. 209, II * * ? § 54. — Kaabe, Cr. 23. lOB (pour 5 et p aussi des fractions) fSin.* qx — Sin^ px , 1,0 'J X 2 p (SJn ,<'qx-Sin,<^px ^^ _ _i_,ii(_,.-,( 2«; \ 7 X 22«+' pi \a + "/ [ Cos?<'qx-Cos.'^<'px j^ ^li (Py f 1 _ (« + l)°'' l j ^ [Cos. I — Cos.blx^, , 1 ,^ , a , ] I Sm.axdx = - n [Cos. I — 1) ,7>A>0;i J ^ 2 ^ f > Arndt, Gr. 11. 70. 8) ^^nCos.X ,1 TT , p < ry ; Ohm, Ausw. IS. = -7 7r , p>3; •Sin.* ox. Cos.* » JJ 2 7 — o dx == — JT , ? > p ; 7?T , 5 =p; )Bidone, Mem. Turin. 1S12. 231.Art I. N". 19. = -J'r . 9 Zp; 4) 7) „, fSin.px.Sinqv.Sinrx , 1 8)J "^ J dx==-pqn \,Qf^p;;-f j; 6' / 12) 1-3I -Sin.' p i. i'en. 7 ar . 1 2^ . 7 > 3 p ; 48 n{Z4>p'—{',ip — qy} ,p ; Poisson, Mdm. Acad. 1816. 71. N'. 16. — J(i.,Cbnl. lOf, 2) = — ^'»i?.2<0; Page 274. I'.AIff.rat.fract.aden.a;''noui'aspecial. rr.„Tw^ .nn •. i- n . p " ,v I ^ ^ lAULL lyy suite. Liin. Oetoo. Lire. l)ir. en num.polynomo. ( Cos.qx — Cos.p x P —Q Poisson, P. 16. 215. W. 7. — Uiilone, Mem. Turin. 1812. •^)/ -. -^^ = -T"^ 231. A.t. 1. N'. 9. /Sin. , _, fSin.qx — qxCos.qx 1 1 6)j ^^ Z_d^__,^. ,?>0;| r.x — X Cos. X — dx = 1 Bidone, Mem. Turin. 1812. 231. Art. 1. N^ 7. Cos. q X — r X Sin. qx -\- s n 0)1 — dx = (r — pq)~ Cellerier, L. 8. 255. ' x^ 2 Poisson, Mem. Acad. 1816. 71. N'. 16. 7) -„q\ j<0; fSin. X — X Cos. X 1 H)/^ ; dx = -71 Bidone, Mem. Turin. 1812. 231. Art. 1. N'. 9. J x^ 4 /^ 3 g^^ 3 ^ J 3 ^ — dx = —n Bidone, Mem. Tnrin. 1812. 231. Art. 1. N^ 13. F.Alg.rat.fract.aden.a;"pourrtgeneral. tartf onn Circ.Dir.ennum.mon.d'unfoct.^jn.*^. ^^^^^^ ^""• Lim. etoo fSin.x C 1 1 1 ) / -—77 ^^ — ; 'S''n. -pn J xP+i 1—pp 2^ [Sin.x C ^ f 7r1 / , oil *;/ — ~ "^ = T-^^j-'3m.j(2«-f-l)(]— p)-Loi\ «entierarbitraire;( C 1 \ Laplace, P. 15. 229. 8) = Cos. - pn l—p 2^ 4) = l,poQr/> tres-petit; n 1 5) = „ . . Cosec.-pn , 2 >^ > ; Schlomilch, Cr. 33. 353. — Id., Beitr. III. § 4. ^l [pj 2 f Sin.x ( — 1)0+2 (a + p ) 6)j -..T;:; ^-^ = ^^;;^ ^"'- [-^ 4^i^-p),P

  • »>0; Schlomilch, Gr. 6. 200. — Id., Stud. J. 13. J xP 3 r (/)) 2 ^ ' '^ '^ -^ ' «^ r(l— p)^ 1 ^J = ; Cos. - pn Lobatto, Int. 74. q^-p 2^ Pa-e 275. 35* r.-° n- r r . c- h^ TAlJLE WO suile. Lim. ct oo tire. Uir.cn num. nion. (I unlact.6i/j.''a;. fSin. o X 1))| ^—dx = oo,p>2; Bidone, M^m. Turin. 1812. 231. Art. 1. N'. 7. /Sin. a X t"~" — t" ^~ dx = o" : — 00 CisB de Gr^sy, Mdm. Turin. 1821. 209. II. 51. ii 11) = — 1— 1— «,1 ^a 5tn. - a7r,a< 1; Oettinger, Cr. 38. 216. , ,^ « t- r \ c- â– 'â–  / I f I \ Caudiv, 1'. 28. 147. P. III. Suppl II) = q-T(-a)Sin.- an (val. extraord.) j^ ^ ^^^^^^ jggg ^ 53^ « fSitt.(x — a) /I \ 13) / 5^ ^da; = r (1— p)qx n g2a-l ft / 26 \ 1 7 x2a ^ ^ 22*120-1/1 / ' \h^n]^ ^ I / . 1 \ 1 ^">'y a,2a •* V ; 224l2«-i/i {â–  ' [b-\-n-{-ip ' ^ ^ I rSin.'il'+^gx n o2a 4+1 ,/26+l\, 17)/ —dx = f— D" --—- ^ - l)"-* , . (2n— 1)2« ^''J a;2a+l ""^ ^ ^' 224+1 12a/l , ^ ' \b-\-nj^ ' o+ft_l ft— 1 \ a^j J I Liiidmann.Gr. (_1) 2" n'~^ /i\ /6_2\«-l , . \l7. 455. u>0: Schlomilch, Gr. 6. 200. — Id., Stud. I. 13. ] a-P 2 r (jo) ^r ^ ^ r y- â– > ^) = ; — — Sin.— p TV Lobatto, Int. 74. ' q^-P 2 ^ ' 5) = X ,p>l; Bidone, Mem. Turin. 1812. 231. Art. 1. N^ 7. fCos. lax (2 o)2a-i jr 9) / ^— afa; = (— 1)« ^— ^^ Bidone, M^m. Turin. 1812. 231. Art. 1. N'. 11. ' J a;'^« ^ ' 12a- 1/1 2 __ • , _, [Cos.qx i'-" 4- z« 10) I— ^Y" dx = J« ' — 00 Cisa de Gr^sy, Me'm. Turin. 1821. 209. If. N°. 51. 11) = l-a-l/i qa Cos. -an, a i >â–  0; 13)/ dx = ^.rr-rrr- -2" (- l « ,act6imnnirs; 7 aj^" ga-U*-'!' 2 W \ n / ^ I i_f-a / Lindmann, Gr. 17. (-1)^ '^t'. /a\ /a— 2\''-' , . \ '*'^- 14 = -^^ {-—- - ^ (— 1)« , a et 6 pairs; Page 277. h.Ali]^.rat.lracl.aden.ar'pourrtL'enoral. n^4nii.^ono i- n . Lire. Dir. en num. moiiomc (Ic plus. fnct. fSin.x.Sin.qa! re „ \ , *'â–  ^P' ^ 1 Schlomilcb.Stuil. /S{n.r.ros.n.r , ^r ^ 1 , , /^ I. 22. 4) = ^^Co«ec.lp^((g + l)P-l_(7-l)/>-l},.^>l; f Sin. ax iSin.x\" , 1 5)1 dx = -71 Hoppp, Cr. 40. 142. J X \ X j 2i CSin.hqx ISin.x\b If 1 ^ j„/_i 11^^°''' 6)/ —\ dx=~n\l— — JS" (— Ij" (h—hq—%n]KiCf- 7 ^ V ^ / 2 I 2C-1 l'',i 1"/' ^ i (d Lobntschensky, 24. 164. s 7) oil a±/,j [peut prendre le ' double signe li /ISin.xV n 2 j«/-> double cos.hqx (^-^J 6; Hoppe, Cr. 40. 142. [ ISin.x\'> , n ^ lb\ 9)jCos.qx\——j dx = ^^y^- .2* (— 1/ I 1 (^ + J_2n)^l Laplace, Probab. L. 1. 42. , , f^ / 1 \Sin.x , :t f /5in. i a tt . Cos.lanX . /Cos. I an Sin.\an\ ) n USin.\an Cos.{an\ _ ^ ~ 4 r (p) I [Cos. i pn ~ Sjn:^pn) ^^ - ^ )'' ' + / Cos. Ian Sin. i an\ ) er, Int. Ddf. 448. 12) j Cos. (^±-n^p^^~t.^ =0 1 ^^,g„^3 extraord.; f /a A- 1 \ dx 7r»? I Cauchy. P. ! 13)/(7o,. ("^ti„_ JJL _ __!IP!_\ IS2C. p. 57. Ces form. (10) et (11) se trouvent Meyer, Int. Ddf. 448. Cauchy. P. 28. 147. P. III. Suppl. — Id., Exerc. ' — n — p x] -'-^ â– = \ J ^ j x9+i T{q+l)' l':i-e 278. t.-^ n- .' 1 ", P . I AliLh iUi suite. Lim. Oetoo. Lire. I)ir. on num. monomcde plus. tact. (r — 1 1 (»'+l ) \ ,Cos.l n-^Z{p-\-q)a;\-\-Cos.l 7r-j-2(p — q)ui 1 , val. extraord.; 1^)/ a^'-M '^''^ ^ '^>5; Cauchy,P.28.147. (P. ]II. Suppl. — {9-pr 15) lid., Exere. 1826. fSin. 2 ox. Sin'> x , it 16)/ ~T^ dx = {-l)*^r7,25 6 , et gi entier ; o-{- i impair; ^"^ = i^:;ri^^^«-{'4^''|AM2c-&)-,2c<6; 20) = ;^^-^^^^;Sec. j-^!^7r|j^(— 1)« (6-|-2c— 2n)<' J(— l)"! J (6— 2c-2«)4 ,2c>J; \ 19,/ 24+1 \a\\' a-{-6pair ; 21; 22)J 23) 24) 25) a+6— 1 Cos. 2 c X. Sin.'' a: , , , . -g— ' tt . 1 , a 4" 5 impair ; Cauciiy, \P. 28. (Ul. P. I. § 2. ara+1 rfa: == (— 1)2 ^^:p^^ Co5ec. - a tt A^ (2 c — b)" , h pair ; — TT 1 f == (-1) ' ofc+Ma/i '^^^-o^^^'-^^''-^)" ' ^ impair; }'2''>*; - ^^ri;;T^^^^« f-f^ -} ^"- (2 ^ -^-'^ > tout h; (a 4- b ^ { oo I b\ â– Cosec. \—^—T^\ \^{— 1)"[ (ft + 2c— 2 n)" — — !•(— l)"! ](i — 2c— 2n)4 ,2c<6; 2A+1 lo/i 26) = , a -{-^impair ,2e'>6;| Page 279. F.Alg.ral.fracl.aden..r^pourflg6neral ^^^^E 202 suite. Lirc.Uir.ennuni.monomedeplus.iact. Lim. el a+b+l ")j^^^^^'^« = (-i) ' 2* 28) 29) a+b-l . = (-1) ' T r;r,A*{(2c-6)''/,2c-6)},a + tpair,2c>t;YaucI.y. P. 28. Jl47. P. 1. § 2. I Dans 2 S i oi> .^Vi 1 - — -2'(— 1)" ;6± 2c— 2nKa+6 impair; J 1"' W („.^...[peut i-rciitlrc le = (-1) ' ^^j^A*{(2''-'')'''(2c-^)}.«+^pa"; Ivolontd. Cos.x IS{n.x\f>-^ 1 rta; = -TT Hopne, Cr. 40. 142. X 2 , , fSin.''x ^ ( . t) tc w lb\ \ 32/ , Co«. 2ca;— :a— i-}-l)-[d.i: = - ^(— l)" ](6 + 2c-2«)« Cauchy, P. 28. 147. P. III. § 3. 2o— i— 1 3S) / — — ^ da; = — — -g 5er. - a tt A*- c« , « pair ; (—ifi^n 3i) 35) 2«-4-l 71 1 . . . . , jqri Cosec. -an A • c° , b impair; I ^2" 2 (—1) " p/i aa-i-lTT la + ft ) . ( === ^i — Sec. j__7rj A'.c", tout ft;I ,oila<6,c>0; / Cauchy, P. 28. 147. ' P. III. § 2. 37) 3S 36) / i^^ — '-â– ' dx = g Cosec- an tJ>.c^ , b pair ; (_ 1)2 la/1 Za-b-l„ 1 = jXj Sec, —an ^^'.c" , 6 impair (— 1) >» I'^'i 2a-6-l7r fa+t 1 , = — CosecA — - — 7r>A''.c'',touti; . ! Sin.xX" TT 00 I a\ liaplacc, Mdni. S9)fCos.{bxl^a)\ dx = -----2: :—l)»[ ] (a + bl^ a—2n)''-i Inst. 1809. 353. X J 2«l«i W s 10, )jCos.{bi 40)f5/«.«i*.5i«.(^+^ + ia.\^ =. "^ Cosec.\'-±^n] A^.pA J 2 \ 2 ^2 jx1+^ 2''+ir(7 + l) ( 2 J '^ (Cauchy. U)(sin.''lx.Cos.l'~^^x+'-an]^: "^ Sec. l^-±^ n\ A^.pA 7 2 \ 2 ^2 /^+> 2<'+i r (7 + 1) 12 J '^ y P. 28. 147. P. III! §2. "Page 280. F. Alg. rat. fract. a den. o ± a;. T\nii7on? i- a » Ciic. Dir. en num. ^'^^^"^ ^^^- Lim. ct oo /Sin.qx n â– ) \ — — - - dx = Sin. q. Ci (7) + Cos. q.l-n — Si. [q, ' J f6oM^ fl 1 ^'•"•''• 2) / -— — dx = — Cos. q. Ci. (7) -f Sin. q.i-n— Si. (q) i ) •6)1 dx = 1 y , « = 3D ; Kaabe, Int. 202. /Cos. k X \ dx = 01 5) / — '^ dx == ~7TCos.pn4- (A + Z« o) Sin.p q + Cos. » ^ (— 1)" ^^^' r + \ ;rin. 1812. fCos.px 1 00 (;'9)^"~^ [231. Art. ") I '^^ = -nSln.pn — [j\.-\-lp q] Cos. pn4- Sin.p q ^( — 1)" — \o fjo 07 — Coi.p q:E (—\Y -irr (Sin.p X fl "I ^) / 7+7/ '^^ = '^"*- ^ ?• '^'' ^^ !?' + ^''^'•^ ^- 1 2 "^ ~ ^'*- ^^^^ J [Cos.px fl j I «) j 7X7 '^•'^ = — <^0S 79 2. Ci. {p q) + .Sm. pq. \-n — Si. (/.^) j j ^, fSin.px , 1 ^ CK fp «)-""-' 9) / ^ (i.^ = -7TCos.pq—{A + lpq)Sin.pq—Cos pq2:{—V," ^^ " j X q ~ 1 Arndt, Gr. 10. 225. — ScLlo- milch, Stud, II. 21. 1 ' ' (2n— 1)12»-V1 f»o)2n -Sin.»7^(— 1)« ^^-?-^— I Bidone, 1 2 n. 12n/l f Mem. Tu- rin. 1812. 10) CCospx 1 f, fpq\2n-\ l%il. Art 00 (/tx?)^'' -Ccs.pg^-(-l)»-^^^^ 1 2n. l2n!/ fSin.px fl â– ) \ ll)/- -oJ-^ === —^Vn.p^r. a (p?) -I- Cos. p5.]-^ + ;S/. (;57)+ Stn. ;?(?./«) ^ . y -^ '/ (.2 J I , on a arbitraire; 1 2) f—J^ c£^ = — C:os. p 7. Ci. (pq) - Sin. pq.\-n-\- Si. {pq]\ + Cos. pq.la\ ^'â– "'^'' ^'' 1"' ^-^O- Page 281. 36^ WIS- EN NATUURK. VERII. DER KOMNKL. AKADEMIE DEEL IV'. I' . Al}'. rat. fiacl. a den. I ± x . rp 4 p. ^ or* « i • n * .-," n lAliLL'2U4. Lira. et 00. Lire. Uir. en nnni. /Cos. vx 1 — '-— dx = -nel'.p-CO; Fourier, Choi. 35S. 2) s= -ne—P ?J ^ 0- 1 Laplace, l?iill. Soc. Phil. Avr. 1811. — Id., Prob L. I. ' 2 / N'. 20. — Poisson, P. 19. 60. — Id., P. 16. 215. N'. 7. — } Cnuchv, Sav. Etr. 1827. 124. Note 18. — Id.. Sav. Etr. 182 k /xSin.px 1 I 599. P. II. § 7. 1.— Lea:endie, Exeic. 3. 42. — Schloinilch. — -— ^ dx = -7te-P ,p > 0;j Gr. 5. 204. — Arndl, Gr. 11. 70. — Pourier, Chal. 358. Sur la form. (2) seule voyez: Serret, L. 8. 1. — Id., L. 8. 489. — Poisson, P. 17. 612. N^ 19. 4) = 7reP,p<;0; Fourier, Chal. 358. 5) B= -- TT , p tr^s-petit ; / 2 \ Cauchy, Sav. Etr. 1827. 599. Suppl. 2. C) =0 .p = 0; ) /Sin. p X 1 , . \ 1 + ^» dx = - {e-P I i. (eP) - ep I i. {e-P) } \ /xCoa.px 1 , /xTang.px e—P — — -— dx = n — Legendre, Exerc. 5. 1 + x* eP+e-P fx Cot. p X e-P •^")/"'7~^ T* dx = n — Cauchy, Sav. Etr. 1827. 599. S. 2. — Legendre, Exprc. 5. 33. J 1 -}- X* eP — e-P , , , r Co«. px , n ~zh; 11)1 , . dx = e •^' Poisson, P. 19. 404. N'. 56. V1+7X* 21^9 ,.,,[ Sin{{a + k )x).Cos. {{a-k)x) 1 + g-^« ,^, ^. \ 12) I {'a^^ ~ xdx = JT , it res petit; i •'"'"' ( Cauchy, Sav. Etr. 1827. 599. 1 I S. 2. 13) = - 7re-2« , A = 0; //I \ ««-• 1 Sm. -ajr — g« ---— jda: = -'rc-?,a<3; Svanberg, L. 11. 197. \b)\Cos. i-pn — qa\ r-77-7 dx == -ne-l', — 1 < ;> < 1; Liouville, Cr. 11. 1. Page 282. F. Alg. rat. fract. a den. 1 ± x'. t- 4 m r. on a • Ciic. Dir. en num. ^ ^'^^'^ ^O"* '^"''c. Lira. et 00 ]6 17 IS 19 20 21 23 24 j\^Cos.[q:c-lpn\^~Cos.ipn]^'^~ dx = i--^^'. , _ 2 < p < _ ] ; LiouviUe. C r. /"Co*. X -]- X sin. X It I r~| — T ix = - Legendre, Exerc. 3. 41. — Laplace, Probab. L. 1. 33. J 1 -\- X e • /Cos. q X -\- a; Sin. q x ' ~, , dx = ne-l Bidone, Mem. Turin. 1812. 231. Art. 2. 22. I Sin. Upx — qx] -^ — - dx = - 7re-?,p < 1; Cauchy, Cours. Le?. 39. — Svanberg, L. /" .r 5in. /^ .r , n —- /— (fic = e * llaabe, Int. 169. J I + q'^ :r^ 2(7^ fCos. q x 1 /, , dx = -nSln.q Cauchy, Lim. Imag. Add. 17. — Id., Sav. Etr. 1S27. 124. Note 18 j\—x- 2 / fC jOZTZ q cc \ I -' J dx = — -Tt Cos. q Cauchy, Sav. Etr. 1827. 124. Note 18. [Sin. q X. Sin. nx 1 \ I ^ i dx = -n Sin. <7 , < g' < tt; / .' ^—^ 2 ( l^ourier, Chaleur. 358. = , 7r; ) F. Alg. .;at. fract. a den. a' + x\ ^^^^^ ^05. Lim. et oc Giro. Dir. en nnm. a une fonct. e2? + 11 Schlomilch, Gr. 10. 440. dx Cos.X ^ —p-q Poisson, P. 17. 612. N^ 20. — Id., P. 18. 295. N°. 32. — Id., P. qi _|_a;2 Zq 19' 404. N". 75. — Liouville, Cr. 13. 219. — Schlomilch, Cr. 36. 271. ^if^ jâ„¢ ^ l.Tre-q Po'sson. P- 18- 295. N^ 32. — Id., P. 19. 404. N«. 75. — Schlo- q'>- -|-,r2 2 niilch, Cr. 36. 271. Cx Tang, x jq'+.v^ f X Cot. X fCos.px n ^ „ ^1 Laplace, Nouv. Bull, de la Soc. Phil. N". 43, 49. — Pois- Z;^ 4.T^ ^ "" 9 ^ ''~'"' ' P^ "â– ') son, Chal. 135. — Ridone, Mem. Turin. 1812. 231. Art. J -l '^ '^ '^^1 ~ [ 2. N°. 21, 22. — Plana, Me'm. Turin. 1818. 7. L 6. — /•„9,V, „, 1 ( Cisa de Gresv, Me'm. Turin. 1821. 209. IL 55. — Cau- 1 -f '_.A^_-! ^^ ^ -7re-P? V > 0-) chy, Lim. Imag. Add. 14. - Id., P. 19. 511 Id., P. J q"^ -\-x^ 2 ' ^ ^ ' y 28. 147. L § 3. — Id., Sav. Etr. 1827. 124. Note 6. — Id., Sav. Etr. 1827. 599. P. IL § 7. — Id., Exerc 1826. p. 95. — Id., ib. 1827. p. 141. — Les^endre, Exerc. 3. 42. — v. Schmidten, Cr. 5. 388. — Schlomilch, Gr. 5. 204. — Id., Gr. 9. 379. — Id., Gr. 10. 440. — Id., Beitr. II. § 3. — Id., Stud. IL 14. — Arndt, Gr. 11. 70. — Schellbach, Cr. 48. 207. — Sur la form. 5) scule voyez : Schlomilch, Cr. 36. 268. Page 283. 36* dx = F. AIl'. rat. fracl. a den. a' -fa;. „, » ni i.^ on- â– . i .^ n ^t r^ l^irc.Uir.tMiiiuiii.u uiioliini'l. fCoa.px 7)1 -_^L_jj. ,,^ __ _- g-i,\ , Poisson. r. 1(5. 213. N'. 7. X n — dx :— - fSin.px , eri-e-M eri-^-e-Pi ^ (ps)-"-' eri—e-Pi ^ (pq)-" ] 10)1—^ dx = — L-P9£t.(p9)-c;'?ii;/.(-;>9)| ") Schlomilch Gr. 5 204 fou la form (10) J 9* 4-** 2o I J I est fautive). — Id., Stud. II. 20. — [ Arndt, Gr. 11. 70. — fxCos.px , 1 I r.. / « â–  TT / \) \ Sur la formiile (10) seule voyez: Sclilo- ^^)j j»'.^^« '^'^ ^ ~ 2 |€P9&-.{-p7) + e-;'?£».(p0. 27)1 '-^—dx == (— l)«-7ro2«e-/>7\ Cauchy. Lim. Imag. Add. N\ 22. — r < 2; M., P. 19. 311. — id., Exei-.'. 1826. p. 95, U. dx = ^»)/ « ^tn. pa; 1 {r->rqi)-' +A-5 r^a; = - 7r e-/'(''+?'i ,p>0; Poisson, P. 18. 295. N'. 41. Circ. Dir.cn num. a une fonct. ^-'^"^'^ ^«<>- Lim. et oo. ])/— . — '~ ^dx — nCos.pql Bidone, Mem. Turin. 1812. 231. Art. 2. N^ 29. —Cauchy. J q'—x ii I Sav. ,Etr. 1827. 124. Note 6. — Id., Sav. Etr. 1827. 599. ^,, / P. 2. § 7. — Id., Lim. Imag. Add. 15. — Plana, Mem. .y\\l^-J'L. ,ir. _ '^ C-, . I 'l'^"n- '818. 7. I. 3. - SchlomilH,. Cr. 33. 316. - Id., >jq-^—3r- ~ 2g ^^ Glr. 7. 270.— Id., Stud. U. 15. - Mosta, Gr. 10. 449. Sur la form. (1) voyez : Cisa de Gr&y, Mem. Turin. 1821. 209. II. 57. fxSin.px 1 c. 7 1 ] 3) / .^ ^j ax == — -Sin.pqlu — -n Cos. p q j , oii « est indaerminc; ' Arndt, Gr. 10. 240. — Cauchy, P. ID. 511. f Cos p X 1 I trouve ces formules pour valours geiierales. 4') / -^ J fin: = ~ [jiSui.pq — Cos.pqla] | niais dans (4) il a ?r / a au lieu de / «. fx Sin. p X 1 1 \ ^^ j (,i'—x^ dx = — -nCos.p q^^ Si7l.p q l{— 1) \ - 6) = — -ne-Pi' ) Poisson, P. IS. 295. N\ 38. f Cos.px n 1 Page 285. F. Alg. rat. fract. a den. a' — x-. Tkm i? onn i^ i :.., n ,.* ^ p;,° n- ^ • r . TABLE 20b suite. Lim. Uetoo Lire. Uir. ennuin.a unelonct. *'â– , /Coa.px , n — — ~ dx = e-P-?' Poisson, P. 18. 295. N'. 38. 7*— «» Zqi /Sin.px 1 , \ ,^1 _^. '^^ = -[<'i-fP9)'Sin.pg - Si. {pq\ Cos.pq]\ fx Cos. px \ ' ^ ^) / ^ ^ ^^ = ^»- (/' ?)• C ? + 5t. (/) q). Sin. p q ) f Sin.px 1 1 fl 1 ^ ^^V^rZ^'^^ = --Si.{pq).Cos.pq--S!n.pq.^-la^--Ci{pqyi ^ ^. ^ fxCos.px fl 1 1 12)/ ^ ^ dx = 5<. (/>7).ASjn.p<7 — Cos.pj. j-^«* -- ri. (;:) 71? y /" „. bnx dx 1 I ]3)/a:Sm. ;,^ = -nCos.bn I Schlomilcl), Cr. 33. liUl. — Id., S(ii Poisson, P. 18. 295. N". 43. 17) / Tang. — Stn. (p g l,-^ 2) (Turin. J ^e^+q" ^ ~ ~ J 1/ 2) -{- -Sin. (p 2 1/ 2) | /* (jj * f OS ^7y X IT , fxSin.2px n , 7) / — . . . da; = e-PtV 2 Sm. (»« 1/-' 21 ' j q" +x* 2q^ ^^ ' ' , fx^Sin.2px IT ^) / 4 , 4 - <^^ = 7 ^-P'l"'^ <^os. (p ? 1/ 2) _/ 9* +a;* 2 CSin.px 1 , „ ^ ^ V.T.205. 9) / -7-— dx = {ZCi.{pq).Sin.pq—2Si.{pq).Cos.p'i-^e-P^Ei.{j)q) — ePlEi.{—pq)]^'', lo elT Jq*—x* 4>q^ 206. N\ 9 [xSin.px n 10) i i— d.i; = (e-Pl — Cos. p q) V. T. 205. N^ 6 et T. 206. N". I. 'jq* —X* 4^2 V t i> fx-^Sm.px 1 , ^ \ ^., ^ V.T.205. N°, 11)/— '—dx = — {2Ci.[pq).Sin.pq—2Si.{pq].Cos.pq—e-Pl)] 10 et T. 2U0, j q'—x" 4^ No_ 9_ 12)/- — ~^-- dx = — -{e-ri + Cos.pq) V. T. 205. N°. 6 et T. 206. N°. 1. y 7* — «* 4 Helraling, Transf. II. S. 63. [ CoS.Vu, VI. 13)/ ^-— dx = (e-P9 4- Sw.pa) V. T. 205. N^ 5 et T. 206. N\ 2. 'y ^4 fni Ani ^ ' '^ '' .px It 47' fxCos.px 1 , , V.T. 205.N'. 1^0 /"; — ~dx= — -{2Ci.{pq).Cos.pq-\-2Si.[pi).Sin.pq—e-PlEi.(pq] — eP^Ei.{—pq)\ n et T. 206. J q*—x* 4/) -f er9Ei{—pq) } u* et V. Voc, ! 2 — * . '* N'. 10. h—\ V 1+x" 2b b I \ b b I ^ (Mdm. IS) == 3f ' • Cos. j ^^ 7r-a&«.|^-- TTJj.ipa.r; Cos. ax â– n 71 2 -ai.of. /„-r „. n rr\ JlfiaiTN'^ >na, Mdin. *_i /o„4., X iTurin.lSlS om ''-^ ,-"^"'(-.1')^ /2"+l o. /2«+l \) , . V. II. 16, 22) = , a pair; Dans (21) ei (22) b est pair et a-l) p tt (1 + Co<. p n) is. 1 14. , ofl / = qVCos.Xfff = qr"Sm.).;J Page 288. V. Alg. .^t. fract. a don. (« ± x'f. ^^g^E 208. Lim. et oo. Circ.Dir.ennum.aunelonction. *jiui. vv... 2) -> {p + ^)«+2 /a; /Sin. p x /.t' Sin.px 2 — pj' â–  dx =â– â–  Sill, h X dx = b pa Cos. b X dx == a pa+l {p -\- a;)«+2 ) Meyer, Int. Def. 368. b^p + xY+a{a->f.\) 3) I - â– ""•• f - ^^ _ — .pg-,,q Legendre, Exerc. 3. 43. — Helmling, Transf. I[, S. 62. 4) / , — â–  dx =â– â–  ^-^ 7te-P9 Helmling, Transf. II. S. 62. 'j' +* ) â– * X Sin.px p'^ 1 -\- P Legendre, Exerc. 3. 43. 5) i— — " *" "" dx = ^ ^ ' ^ 7re-Pg f x Sin.px 3p + 3p^ q-\-p^q'- 6)1 — -ax = n e-P (a — 71)2"^ Schlomilch, Cr. 33. 268. (9^+a-2)«+i 1«/12(27)'' 1"'''(2?;'' iJ) ; .. , \s.^. ^^- Cos. ar , 7re-? », (a — n + l)2n/i( mifch, Cr. 33. 353. — Id., Stud. 7 (6; 7) 8) = 1«- (1 - --') .o = i; /231.Art. 2. N".22. ^^^ ^ =^ J Un.lS12. fx Sin. a X. Cos.^ b X tt ll , ,, , , ) 9) I dx = - -e-9(''+24) -f. e-9^'-24) ^ e -'"?[ , « > 2 i; y V* -f-a* 4 U J 10) ^ "â–  |r *~^'"' + ^"°'| , a = 2 6; 11) = II' |-e-7;<'+2'')-f e -v{2i-a)4-e-'"/| , a < 2 i; fCosJ^—CosMx Tt I 1 , ,_^,x^l n / 1 / **. Arndt. Gr 7 ^M^^^ ''"* 2^ I - i^" + ' ' ^i ' < ^ < J' 11. 70. Page 290. I\ Al". rat. Iract. adon. binomc. Tinri^onn . i- a » .,.» ... If ,• lABLL 209 suite. Lim. Oetoo. Lirc.Uir.eniium.aplus.tonctions. (Cos.'k—Cos.bXx „ -PC „ . JT , , . a N 1:3); Cos.axdx = — er-aiCos.l — — e-'"/^ (e"? + e -'"?),-< A < cc : J q -\- x''' 2j 4g b ^ ,^ fCos.X — Cos.blx ,. , 1 f^,l,ii ,^1 ,«f Ariidt, 14) / xSm.axdx = -7re— "? )> , < ^ < --A Gr. 11. 7 !?'+^' 2 I 2' ^ 'J ^ ^6'i 70. 1 1 15) = -ne—^lCoa.X iter->>q'^{€f"l — e— «?} ,-.2x 2 tt ly) / TT— — — — dx = -— Legendre, Exerc. 3. 41. J {i-+a!^y e^ fCo '^J , ^ „ ( Poisson, P. 18, ., 2 TT i 295. N^ 40. 4) = — - e-«4 , ctnii?oin •. t- n . ri- n- ♦ lAHLL tilO suite. Lira. ct ss . _, f xSin.ax , n ,,-. \ ^ „ , r.. , , r,. . iPlann, Mdm. Tii- "' ' ' 17. — Lc{!;cnure, f Cos.oa; n (Kxero. 3. 44. — 7ar^+2 6»a;»Cos.2i4-6* gi' ^^ \'64, G3. /X^Sin.ax n , LeMndre.Exerc. 3. X -\-iO X hos.iK-^0 I Transf. II. S. 62. „ f x'^Coa.ax , w ,„ , . . . Legcndre, Exeic. 3. X Tang. ax ti e-2''^C''»> ^in. (2 a b Sin. X). Cosec. 2 A. \ X* -\-Zb^x^Cos.9,X-\-b* ^ "" 6M + 2 e-2a6Cos.> Cos. (2 a6 .««. il) + e-4««'C''«-^ 1 / Plana / xCoLam 7r e-^a^CosX gm. {2ab Sin. X). Cosec. 2 X y jj^j„_ rp^^. »* +Zb^x^Co8.2X + b* " '^ b^ l_2e-2''4'''''*-^(7o«. (ZabSin.X) + e-4''it'o*-^( nnlSlS- ' W. II. 10. /x Cosec.ax n (14- g-2«tcw.>) Coggc^ 2 A 1 X* â– ^Ib^x'^Cos.ZX-^b" "^ "" 6» 1 — 2 e-ia^Co^-.X (Jq^. (^ „ j 5i„. ;|,) ^ e-4a4Cos.xy F.Alg.rat.fract.aden.quadim6mc. ^^g^E 2H. Lira. et 00. Circ.Dir.ennum.nionoine. /" Sin.px , 1 , T^. , > T^. , J Q -\- g* X -{- q x^ -\- x^ 4j* + 2 Ci. (p q). Sin pq—ZSi.{pq). Cos. pq — TT [e-m — Cos. pq)) /xSin.px , 1 , ^ , , -n. , V f V, T. 20;!. — 2 Ci. {pq). Sin. p 7 + 2 .Vt. {p q). Cos. pq-\-n{e-rn— Cos. pq)}\ ^^- ») / "TT-^ . , , , dx = -{- er-i"i Ei. (p q) -{-ei'l Ei. {-pq) + J q^ -\- q^ X -\- q n; -\- x^ 4^ + 2 Ci. (p q]. Sin. pq — -ZSi.{p q). Cos. pq -{-n [e-P1 + Cos. pq) ] *) \ » L ^''T 2^ » '^^^ = A {'"''' ^'- ^p ''^ + ^' ^'- (- p -z' - ^ — 2 Ci. (p f/). C.s. pq — 'Z Si. {p q\ Sin. pq^n(e -l"l + Sin. pq \! JJ;'^' J'^^' f, 1 / 205. N'. 3, 4- 2 «. (p j\ Cos. p ? + 2 St. (p 7). 5in i» 2 + '^ (^^P' — •S'"-;'?) } / Page 292. 'A^~^ F.Alff. rat.fract.aden.quadnnome. rp.r.ri? ojj • r- n l ^.° r>. * , lAHLL !2H suite. Lim. Oetoo Circ. Dir. en num. monome. Qs f ^^Cos.px ^^ _ _i r_j,g J,. ^ J ^^,^ ^. ^_ V. T. 203. •' ' ' ^ T ^ I 205. N\ 5, N°. 8 et T. 2n£ + 2 Ci. (p q). Cos. pq + Z Si. {p q). Sin. pq + n {e-rt — Sin.pq)] 1 ^â–  f Sin.px 1 , ^ , + 2 Ci. (p y). iSin. pq — 2 aSj. (p q). Cos. pq-^n {e—rt — Cos. pq) ] r xSin.px . 1 r ^ , f V. T. 203, jij—qx-^qxx 'hq [ 205 N". 6 + 2 ft', (p j). &"n. p ? — 2 /Si. {pq). Cos. pq-\-n {e-P1 — Cos. pq) )^ ^° r x^ Sin.px 1 ^ „ â–  '^j q^-q^X+qx^-X^ ^'' = - {- .-P9 Ei. (p ,) + C». Ei. (- p ,) + + 2 Ci. (p 7). /Sin. p g' — 2 5i. (p g). Cos. pq — n {e-P1 + Cos. pq)) ' I (Jos "D lis i- 10) /-I ^ , , — rrfar = -— \ — e-P9Ei.(pq)—eP'iEi.{—pq) + J q^ — q^x-\-qx^ — a;'' iq^ ^ + 2 Ci. (p g). Cos. pq -\-2 Si. {p q). Sin. pq + n [e-n + Siin.pq) } f arCos.pj; , 1 , T.. , X r.. / N â–  f V. T. 203. 11)/^ -; rH lAx ^ --\—e-vq)—eP'iEi.{—pq)-\- n". 12 et ;j3_2aa; + ja;^— ^^ ^q V T. 205. N». + 2 Ci. {p q). Cos. p ? + 2 Si. [p q). Sin. pq — n {e—PI — Siri. pq)) I 5.11. /* CD Cos 'D 3S 1 I 12) / -; — I — r~; — i '^•^ = i r"^' -^*'- (p '^) + ^' -^^^ (—??) + JH — 'q X -\- qx^ — x^ 4 (. + 2 Ci. (p 3). Cos. p 7 + 2 /Si. (p j). «Si7i. p ly — n {e-P1 — Sin. pq)) F.Alg.rat.lVact.aden.prod.denion.etbin. ^^p^E 212. Lim. et oo Cn-c. Uir. en num. f( 1 ) dx 1)/ {Cos.x— > — = — A Arndt, Gr. 10. 225. — Id., Gr. 10. 233. J I 1 -\-x) X ^ fiSi7i.x 1 "] dx •> ' â– > v, ^rndt, Gr. 10. 233. dx 1 -6 r \ Cos. X — 1 1 _ _ _ . ^7 i x' "^ 2(l + .Tj( a: ~ 2 4 fSirupxdx 1 _ Legendre, Exerc. 3. 46. — Caucliy, Sav. Etr. 1827. 599. P. II. 7 1 1 ^i ~ = ^'^tl — « P) 57. _ Poisson, P. 16. 215. N'. 7. — Serret, L. 8. 1. Page 293. l'.AI}f.rat.fiact.aden,piod,(cmon.elbin. Tinii-' oio •• i- n • .," n- ' IAIjLL ^2v2 suite. Lmi.Ocloo. C-irc. Uir. en num. [Tang.pTdx __ 1 ^ eT — e-P Legendre, Exerc. 5. 35. - Cnucliy, Sav. Etr. 1827. 599. V 1 + *» « I'^eP + e-P Suppl. 2. 6) I \Coi.x — i — = — A Arndt. Gr. 10. 2i'5. [Cos. ox — Cos. VT. d X \ 1 7)1 \ , I T "^ 0^ («"''— «""') + -" (P — 9) Poisson, P. IG. 215. N'. 7. ^fCo8.qx dx J. , ^ /» — 1 \ 8) I-— ^ -^— = -tC— l)/'7r e?Co«ec. 1^^ — n\ , ; Meyer, Int. Def. 156. [Sin. qx dx \ , Ip — 1\ 9) / = - — \)P-^ ne^Cosec. \- n\ V. T. 212. N°. 8. 7 1 + a;» x\~P 4 ^ ^ \ '2 ] „, fSin.gx dx 1 ^ /» — 1 \ „ Ip — 1 \ 10) 1 — = TT Cos. TT — 9 1. Cosec. n \ Meyer, Int. Ddf. 136. Jl—x^ x^-P 8 \ 2 ^1 \ 2 ) ^ ,,,[Cosqx dx i „. Ip — 1 \ ^ /P — 1 \ 11)/ h: -, — =-nSin.{- n — q\. Cosec. {- ti V. T. 212. N°. 10. J i — x^ or'-P 8 \ 2 ^ ) \ 2 J , , f Sin.px dx n Cauchy, P. 19. 511. — Id., P. 28. 147. I. § 5. — Bidone, ^^) / ~r~, i ~ = 7n (1 ~ ^''') Me'm. Turin. 1812. 231. Art. 2. N°. 22. — Scblomilch, Stud. Jq +X X 2q II. 14. — Schellbach, Cr. 48. 207. ,^. /"l — Coa.pxdx n ( l-^e~P9) 18)/ ; ~ = - - \p— Minding, Taf. 11. . , f Sin. px dx , TT ^ 14-) / -7—^ = (— 1)« â–  e-Pl ^Jq* +x^ x'^«-» ^ ^ Z*/?" ( 1 Cos.px d r . 7r i 15) / ^— — == (— 1 « e-r? ) y 7* + •■B* a;''" 2 rySa+i y , , /"tos. {px-\- Irn) d X n e— />? 16)/ i-V^ \ -— = -r-—: Scblomilch, Gr. 11. 174. f Sin.p X dx n ^'^)\yrZ^ — = — {l—Cot.pq) Cauchy, P. 19. 511. — Scblomilch, Stud. II. 15. F.AIg.rat.fract.aden.prod.depolyn. TAniPoi- r- IT. Giro. Dir. en num. mononie. *^"^^ ^'^- Lim.Oeloo Meyer, Int. D^f. 274. ,,/'f__M-f__ 6 — a; 1 ^ M L, I It L \i — . , ,, TTf Stn.qxdx = ne-hCos.b •71 Cauchy, Sav. Etr. 1827. 124. Note 6. Page 294. F.AI''.rat.fract.aden.i)rod.do|)olvn. min, ,^ oi- •. r- n . ,->-^ n JL ^ ^ IAdLL 'iio suite. Lim. et oo. Lire. Uir. en num. monome. /* ^^ Cos. pa; T f "I »)/ , , r + r . .^ 1 Sin.bxdx = Ja-c) , , , , , ; Schloniilch, Beitr. III. § 4. /• (g — a: i-P — {a + x i)-P ,. '^ „ , 1 ]]) I _ Sin.qxdx = ^77^7"-' «-«' Cauchy. Lim. Imag. N'. 107. - ^'' I Id.. P. 28. 147. P. 1. § 3. — ((a — xi)—P + (a + xi)~P n ( U-.Sav. Etr. 1827. 12J-. Note 6. — 1^)/ Cos.qxdx = c/P— le-"?\ W-. Exerc. 1827. p. 141. J 2 2 r (p) ' ) lox/" /Suj.aa: ,i(_l)6 J ,2i\ \ â–  7 ^-^ + ii^)(-^+4^)....(-^+46'l ^ 2^^-ri 2.ir f (- ' )" „ ^^^"-^^ Scl>Io. * ' I niilch, 2c- 1 /•■ g— ^;)-;'+(a + ;et)-P {-!)'' ^ d^'-i A^)/ I x^<=-^ Sm.qx dx = -5 ^ nr-U-oy J » . 2 rip) dy2^-l ' ; 2 '2 r(p)d«2c-''' ' ' 1. §3. Or. 7. 38. f {a—xi-P~(a + a:i)-p (_ l)c ^ ^2,. â– â– â–  ' J / 77 â–  2;2« Sm. qx d X = ^^ ' . 7? - 1 e -«? •' ^* i r(p)dq-^o / « '' y Page 295. • F.Alg.rat.fract.aden.piocl.depolYn. minic oi- •. t- n r:rn ^:n ««„..„. ..J.,a...^ TABLL llo suilc. Lim. Oeloo CilC.dir.cnnum. moiiomc. 2c- 1 18) / '- -——^ '—x^<=-^Cos.qxdx = ^ ^ — . qP-U-<"l 147. P. 1. § 3. J 2» 2 r(/>)cf92c-i ^ » 1147. p. 20) =0 ,c<0;)in.§3. o,x /"f?— ^O""— ('7 + a-t)-<» ,„. /I, . 1 , n d'> I 21)1 ; xoSinA-On 4- px\ dx = — :.»«— '«— r?/ •' 2* U ^'^ / 2.londp^P I Cuchy. Exerc. /•(,/_ J, .•)-a^.(„ + a' ,•;-<. /I, , \ . TT d* I 1827. p 141. F. AIr. rat. fract. a den. a\ Iv i •„ TtniL^ oi* ? • /^ r<- n- J' /-<„ >Val.princ. TABLb 214. Lim. Oet oo Cue. Dir. en den. mon. Cos. a;.J * i^uu. v t,i w. f Sin. ax dx Ji^os.OX X ( Legendre, Exerc. 5.37, 39. — Cisa de Grdsy, ^ I , Mdm. Turin. 1821. 209. 11. 59, 1 — Cos. hn , , . 2) = ^ 7r,a = 2 6A4-c; /Si«. f (6 — a) x\ dx , . ^ ^-i — =0 ,atrSs-petit; Cos. ox X ( Cauchy, Sav. Etr. 1827. 599. S, 2. 4) = -7r,a = 0; ./ 'Sin.\(2a+1)bx] da; 1 , , ^ ' ^ ^- ' -n Legcndre, Exerc. 5. 40. Co3. bx X 2 f dx 6)1—- = »3 Plana, Mem. Turin. 1S18. 7. 2. N'. 13. y a; Tanff. x F. Alf'. rat. fracl. a den 1 + a; . 1 V 1 „•.,„ T*nrr oi« !:.« n^^i^s ^.° p.. ,, o- ? Val. princ. lAuLL 215. Lim. U et oo Circ.Uir. enden.mon.om.a;.) ' ' — e~*l , A < a; /"Sin. hx dx 1 c* â–  / Siu. d X \ -4- jr^ 2 tf** ■— 6"*" I 1^ Cauchy, Sav. Etr. 1827. 599. P. 11. § 5. — Id., Sav. Etr. 1827. 599. Suppl. 2. — Cisa de Gr%, M6m. Turin. 1821. 209.11. 60. — Lcgendre, Exerc. 5. 29. — Boncomnagni, Cr. 25. 74. Page 296. F. Alg. rat. fract. aden. 1 + a;^)Tr , . rnAuinojer •- i- ^ Circ.Dir.enden.mon.^m.^. Val. pnnc. TAHLE 215 suite. L.m.Oetoo fSin.bx dx / Sm. ax \ + .'f^ 1 «<"• 4- e-<"- — 2 e-* \ . 6 , , 1 : —71 i Oil — est tji^al a un nombre enticr A r; si r ) est negatif, il faut changer las signes de e"'' et de 4) \9^°Jl^_ J'Al- _ 1 ^ gar - e-°^ + 2 e-« g-ar rfans la formule (4). J Sin.ar I + x'- 2 e» — e-" j Cauchy, Sar. Etr. 1827. 599. P. 11. § 7. fSin.[{c+2ha)x} dx 1 e« + e-c — 2 e-(c+2l°) 5)/ ^. ; — ; r = -n Legendre, Exerc. 6. 31. J bin. ax 1 -\- x^ 2 e" — e-" rSin.[{2h-\-l)ax} dx 1 e2o + 1 — 2 e-s*" j / Sin. ax 1 -f" ^^ — 71- 2 e2a_l /^Stn. 2 A a a; J.r 1 — e-2/ia 7); == n J Sin.ax 1 -\- x^ e" — e~" Legendre, Exerc. 5. 36. - Cauchy, Sar. Etr. 1827. 599. S. 1, Cos. {(c + 2ha)x} xdx Sin. a I = — 7r 1 + «-^ 2 1 ec — e-<= + 2 e-(c+2^a) 9)1 ^ -â–  '- = 7j / Sin.ax 1 + iS^ e'^ — e~a Cos.\{1h-\-\)a](;] xdx Sin. a X Cos. 2 Iia X xdx Sin.ax 1 + â– '*''' ga — g-a e-(2A+))a, Legendre, Exerc. 5. 82. ga g— a /Cos.(la—b]x\ xdx 1 eo -|- e— « ,^^ !^ —^ = - TT ' , h tres-petit; Sin.ax \ -\- x"^ 2 ea_e-o' Legendre, Exerc. 5. 33, 36. — Cauchy, Sav. Etr. 1827. 599. S. 2. 12) 13)/ 14) Cos. {(a-f 6)x} xdx e" — e- Sin.ax 1 + a-' e" — e~" 6= 0; — TT , 6 tres-petit; e" — e—" ,6 = 0; , fCos.{(2c-\-l)a±b] X xdx e-(2c+i)o tt 15) I 5^ -; -â– ' = TT =p — , 6 tres-petit: 7 »S»n.tta; 1 + a;* e" -- e-» 2 *^ 16) H)/ e-(2c+I)a c ' â–  ,6 = 0; ASin.fta; Si'n. ((2c-f-l)aa;} a; da; /Sin. a X = —n ,h tres-petit; 1+a;' 2 ^ ' 18) Page 297 = ,6 = 0; WIS- EN NATUDRK. VERB. DER KOIilNKL. AKADEMIE. DEEL IV. Cauchy, Sav. Etr. 18:27. 599. S. 2. 38 F. Alg. ral. IVact. a den. I + x'.] v i t 4 m n oi - •• i • a • f Sin.[{2c+l)ax] — e-''Sin.2acx dx 1 \ J Sin. ax 1 + x'* 2 / , oi\ — est egal a un nombre pair -J- - »'; } % €1 Z „^^ [^•{{a-\-h)x} — e-<^Sin.bx dx 1 \ 20)1 ^^"—^-^ :; = -ne-"' j Cnuchy, Sav. Etr. 1827. 599. Suppl, 1. 7 Sin.ax l-)-aj» 2 J â– > if o,^ f ^ ^^ "• Legendre. Exerc. 4. 132. — Caiicliy, Suv. Etr. 1827. 599. P. II. 'JSiruax 1 +«» ~ ««— e-a § 5. — Id, Snv. Etr. 1827. 599. 8. 2. F. Alg. rat. fract. a den. 1 + a;-.) V 1 'imoiitoip ?• n . Circ.Dir.cnden.mon.Co..^. jV«'P"nc. 1ABLE216. ^.m. ct oc . f I dx n 1 /;; = Cauchy, Sav. Etr. 1827. 599. P. II. « 5. J Cos. ax I -{-x^ 0" -\- e— « fSiii.{{c-\-Ua)x} xdx I eT- A- e-e g-(c+SAo) ~) / : , , =' nCosJiTt 4-Tt Legendre, Exerc. 5. 37. ] Cos.ax 1+x^ 2 ei-|_g-a^ en-j-g-" " Sin.{{2h-\-l)ax] xdx g-(2A-)-na , i Cos. ax 1 -{- X- e" -\- e~''l Legendre, Exerc. 5. 37, 41. [Sin. 2hnx xdx g— Aa — Co?. A tt I 4,)/ =. „ ] J Cos.ax 1 -\- x^ e" -\- e-" I fCos.bx dx 1 e'' + «-* CaucLy Sav Etr. 1827. 599.P n.§5.-Legendr.. 5w ==: — TT â–  ,a^b- Exerc. 5. 29. — Lisa de Gresy, Mora, de furm. J Cos.ax 1 -\-x^ 2 e-' -\- e-" ' 1821. 209. II. 60. — Boncompagui, Cr. 25. 74. b , 1 1 gnr e—ar I o f-b > oii — " cst cgal k un nombre pair -}- "" '" ^ si C) = - TT —--- - ^ " . '•^. 2 e" -J- $—" ce nombre est impair, ou si rest ni^gatif, il faut changer les signes de e'"" et de e~'"'; Cauciiy, Sav. Etr. 1S27. 599. P. II. § 7. Cos.{(c-\-2ha)x \ dx 1 er — e-<= eHc+2A«) Legendre, Exerc. 5. Cos.ax l+x» 2 e'+e-" c« + e"" ^'*- ' ) / — n — , , _, = -7iCos./iJi ^—TT-Z + " ^rvn,. . « < <^; go8.((2A4-l)aj;) dx 1 («2a — 1 ) Cos. k n-\-Z e-^^" »,/ — jr Cos.ax l-fx' 2 e^a-J-l Legendre, Exerc. 5. 36. rCo». 2 A a X d« 9) - '/' Cos. ax \-\-x* efl -\- e—" Page «98. F. Alff. rat. fract. a den. a* + a;''. 01.,,,.^ t.,- 1 • .1 . Ciic. Dir. on don. rnonome. ^^^'^^^'^ ^'^- ^"^' ^ ^t 00 J, /' ]____^A±^ ^ _jTj^ Legendre, 7 Sin. a X (f- -\- x"" e^^'l — I ^rt. 3. N^ fSin.bx dx n e*v — e-**? , J /Sin: a X q^ -\- x- 2q e<"l — er-'"l I Exerc. 4. 133. — Bidotie, M^m. Turin. 1812. 231, 39. — Sclilomilch, Btitr. II. § 4. Cauchy, Lim. Imag. Add. 33. — Boncompagni, Cr. 25. 74. CCos.hx xdx n e^f -\- e~^l\ J Sin. a X q' -\- x- 2 e"'! — , â–  e-^1 [Sin. kx xTanq.x \ 4) / ^ — rfic = J j Sin.x p"^ -\-A>x'^ / , i = GO ; Schlomilch, Beitr. II. 4, Tang. X. Sin. X \ EUes soiit fautives: au liea de k raettez Z k -{- 1; leurs d^ = ^] valeurs sont alors oo. fSin. k X ^) H — . I j km. X p + fCos.kx xCot.x Meyer. Int. De'f. 221. ^) \~^- â– r~r A ,2 dx = Q,k = x; Elle est faiitive: mettez 2 k au lieu de A, alors la J ' ' va piir pn p.sr. m. fCos. k X X 7) /— dx = = !> Schlomilch, Beitr. II. 4, fCos.kx dx \ , k = CD 8) / = 'J COS.X p2 ^^2 J Cos.x dx It 1 9), q'^ -\- x"^ q el -\- e—fj /* 1 dx n \ 10)/ = Schlomilch, Beitr. II. § 4. / Cos. ax x^ -\- q"^ q e^t -\- e-'"i (Sin. bx X 11)/- dx J Cos. ax «' -\- q"^ /Cos. b X . Cos. ax x^ 1 e'>9 — e-^1 — n 2 e'^i -X- e— o?! â– ^ ', Cauchy, Lim. Imag. Add. 33. — Boncompagni, dx n e*? -f e-*9 ' ^'â– - ^^' ''*• .2 _L «2 + ^5 K«"dre. Eserc. 5. 29. — Cisa de Grdsy, Mem. Turin. J {.os.ax X i-i-x Z e ±e ^g^^ 309. II. 60. — Boncompngni, Cr. 25. 74. b . . . . . . 1 1 tarJLe—ar 0./>— i >Oll 1 garj.g-or 26"* ,oil — est dgal a un nombre pair -j — r;silenoni- = —n — — * " 2 2 go _j_ g— o bre est impair, OQ si rest niigatif, il faut changer les signes de e'"' et clee~<"'; Caucby, Sav. Etr. 1827. 599. P. II § 7. /•Sin.{(c + 2/(a)x| 1 dx 1 7re-(c+2Aa) j gc j_ g— e\ 3)1 7- — r == -n{\ — Cos.hit) — — A — nCos.hn \ j Cos.ax X i+x^ 2 go + e-" 2 eo-fe""] a ^ c- fSin.{{2h + l)ax) 1 dx 1 e-(24+i)« (' 4)1 -~ == —n— n ) Legendre, J Coa.ax xl + x^ 2 eo+e-" I Exerc. 5. fSin.Zhax\ dx 1 e" -j- e-a — 2 e*« 1 e'^ -\- e-<' —■ 2 ] 35,36. ^) I ":•, r = - 7r — — — — -IT Cos. h n ) J Cos.ax xl + x^ 2 e^-\-e-<' 2 gi ^ g-a J /Cos.bxl dx n ^1 -\- e-^q — e—''9\ Boncompagni, Cr. 23. 74. qi gaq J^ ^-aqj F. Alg. rat. fract. a d6n. x ^^g^E 219. Lim. et oc t-irc. Uir. en den. Irinome. / Sin. _ ^ _ , 1)/"— ;; — =--n ,;'<1;^ iVt'/i a? d.v 1 1 7o».2jf-|-p* ar 2 1 — p' 1 1 2) = -n— ,P>1; f Tanq.x dx 1 1 Sclilomilcb, Gr. 4. 316. + ZpCos.Zx-\-p* X 2 1— Jo' 1 1 — n 2 p^ — l Sin. ax dx In ZpCos.ax-\-p^ X 2 1 — p *) = ^''-T— r.p>i;i ^)/ i-p :;:;;, ,„, " = i^'^.p 1 ; Ohm, Ausff. 26. -v r 1_ dx \ ( n n e— 2ac ^ /" ASm.gaa: x' n e-Sac ?pour denom. y e-2ac _|_ 2 Cos. 2>ax -\- e^<^<^ q •\- x^ 2 e-ac -j- e-2ac 1 ' i Cos. 2a X dx n 1 M 1 I o /^ n I â– > ~, — ] T = :: Legendre, Eseic. 4. 134, J i -{-ZpCos.2ax-\-p^ q^ -{-.v^ 2qe^<'9-\-p I Sin.ax. Sin.bx dx n f «e«3 ve~'^l 1\ o) I = g — hq \ — — . C J. \ y l + 2/)C'os.aiB+p2 ^2_|.^2 4,^^^ (l+pe«9 1 + i»e-«?J / , p^ ^ 1; r Sin.ax.Cos.hx __f__^^^ _^ j^ [ pe-«? pe°5_l lBoncompagni,Cr.25.74. f Sin.ax dx _n^ e-" tt 2 ' b Cos.~-Cos.\aSm.~\+pe J l + 2pCos.ax+p^ 1+^26 -^bl+per-a" J ^ -aCos."'^ j ^. nn\ , ~2aCos."E l+'2pe b Cos.\aSin. — \ +p^e i 6—1 -aCos."'^ „. 2mt / MTT — ^— e 6 om. om. aim. — 6^ ^_^^ -aCos."-. I ,. «.\ :::^-oT^ ,6 impair; -1 e "^-(^-^^0 Cos. [aSin. ["^ ,} ]4-p.-"^-r^-0 11) =-^ \ t >='" ) / /^ /2n4-l \ e V 24 "J Sin.\aSin. I ; — 7t\].Sin.[ ^^^-n] l+2;;e ^ 2b '^JCos.l a.9tn. j I~'^l M'i"^ ^ ^* '^ 6' Page 301, F. Alg. rat. fiact.il deii.binoine. Tinip oon •• i- a . Ckc.Dir.endeuMin.a + bCos.x-hc. ^^"^'^ ^^^^ ^"'^'^- Lim. et oo . 4-1 -aCo,."-^^. nn I nn\ e A Cos. aSin.— -\-pe b I + 2/)e "fCos. ( o5tn. — + p ^ e " " ^ ' ^ ' l+2pe y 24 VCo«. a +p' Lcs formulcs (10) ii (13) valent pour /; A-p'-e'-"] , , I 4)/ ^ '^ dx = -ni- Le-6 - â– â–  ),h~ra + q; 7 l--2/?(7(M.ax+pM4-a» 4 I e"— /> ^ c-"— ;)J "" ' /" Sin.x X , n 1 ^\ I ^x = -- »* <^ 1 • 'J l--2pCo8.x + p^ 9»+ar» 2 e?— /> ' ^ ^^ ' )f ^ 71 — 2;)C' q^ -\- x' Iqen — p f Sin.rx T ,^^_^ 1 ,pP>i;l Zq pel' — 1 j f Cos.rx — p dx n \ I /^, . „„ in/— i- = «^ <^ l-\ Ohm, Ausw. 26. ' j I — ^p Cos.rx -{-p'^ q'^-'rx'^ 2qe'-9—p ' ^ ^ '> n 1 \ 12) = ,p2>l; ,„, f 1 — p Cos.rx dx 71 1 . ^ 13) / = , »^ < 1; Boncoiupagni, Cr. 25. 74. 'J 1 — 2 p Cos.rx -\-p^ q'+x'' 2ql—pe-'-9 ' ^ ^ ' ^° n 1 14) = , »^ > 1; Ohm, Ausw. 26. ' Zql—pe"! ' i' -^ ' ^^)/ fZTpTT^^rm ITTT^ rf.-r = ~ :r~h: 7o~V~—_ . P< 1; L«gen'l'-e, Exerc. 4. 132. Sin.rx x 1 tt e*"? 2pCos.rx -{-p'^ q"^ -\- .t'^ ' 2 I -{- p e-ir — p 1 TT e?'' 16) = - — , » > 1: Ohm, Ausw. 26. 2 l-\-pp e^i'- —1'^-^' ^^r Cos.2r.v — p dx 71 1 17) / :——- = ;; , »* < 1; Legendre, Exerc. 4. 134. I i—2pCos.2rx + p'^ q' -\-x^ 2qe^9'- — p^ -^ ) s r Sin. ax. Sill, bx dx jt f b e"? ve—"l 1 1 18) / — = e— *9 \ —^ \ i „2 ^ 1 • '] \—2pCos.ax-\-p'^ q'^-if-x'^ 4>pq [l — p e"'! l — e-<"}U'P ^^' ( Sin. ax. Cos. bx x n f p e-oi „, ^ (Boncompagni, Cr. 25. 19) / dx = — «— *? { —^ — —~ } ] 'â– *• J I — 2pCos.ax-\-p'^ q'^ -{-x- 4p (1 — pe—'"i 1 — e«?J / ^^^ f Sin.2ax ^ , n '[ [l— p'^)n— 2 p Sin 2aq. I {—\) Voiiion, P. 18. 295. ' / 1 y^/^^o0^.4-„^ri« ^"*^ = ~r'+^ 1 V~7^~~Z , — 2 N^ 43 (oil il y a faut. jl-lpCos.2a.v+p^q^-x- 4p 4p l-2pros.2aq+p^ «, au lieu de 2«?). F, Alg. rat. fract. a den. polynome. rp.„Ti,. ono i- n . Lire. Uir. en den. trinome. C jiJi. ax X 1) / ;: dx = Sin. a X -\-2p Cos. a X -\- p"^ x'* + 2 q^ x^ Cos.2 I -\- q" n e-g^CV-.) Sin_ (a q Sin. X) 2 J ^ 1 + 2 p e-m ^"'-^ Cos. {a q Sin. A) + p * e-^aq Cos.l Sin. 2 X Page 303. F. Alg. rat. fract a den. polyndme. ^ ^gj p^ ^22 suite. Luc. i)ir. en den. trinome. Lim. el 00 /Cos.ax-\-c dx 1 4- 2pCo«.aa; + p» a* + 2}» a;> Coa.al + 9*"" »r tf-«?Q" '-^ f( 7og.(a9/Sm.^) /" Sin. ax x ']l — ZpCos.ax-\-p' X* +27^ jr5Co«.2X + ^< ^ "^ /5in.aa; l — 2pCos^2a (—aqCo$.\ 2(7 1 — 2/?e-''«C'os.^ Sin. ax X ~^o^2ax + p»^ a;* + 2 5^ .r^ Cos. 2 ^ + j* "^ ^ â– *" Stn. I J e-aqCo$.\ 5t-„ (a q §{„_ X) Cos. (a q Sin. i) + p ' e-2a«Co».l 5tn. 2 i 29* 1 — 2 p e-2o«Co5 X Cos. l^aqSin. A) + p » e-^«« Cos.i Jl^p)Sin.Zl Les formules (1) a (4) se trouvent Plana, M^m. Turin. 1818. 7. II. 10. /Sin. 2 ax « , n e-^ac \ dx = g-iac J^-2C0S.2aX + e2ac 0!^ -\- {b -{- C)^ 2 e2a(4+c) _j_ g-2ac /0—2ac g2ac dx In n e— 2ac e-2ac ^ 2 Co5,2 aa; + e2a": a;' + (6-f-c)* "~ 26-j-c 6 + c e2<'(»+c) -f e-2 /" 5tn. 2 a a; »• — -2ac 5tn. 2 ax as jt 8) /e2ae — g-: e-iac -}- 2 (7o5. 2 a « + e2ac a-i -|-(,j,_c) 10) Ail ^ c'-i-a;»)2g. / 4 ^ a ^ Oettinger, Cr. 38. 216. F. AI-w. l)l5m.a;_^ = l/-i ^uigr^ Calc. Int. 4. S. 5. § 127. — Bidone, Mem. Turin. 1812. 231. Art. J i^ X ''f 1. N'. 2, 24. — Fourier, dial. 860. — Laplace, P. IB. 229. — Cauchy. r j^ t Sav. Etr. 1827. 124. Note 16. — Id.. Sav. Etr. 1827. 599. P. 1. § 6. — 2) \Cos X = -xy ~\ Boncompagni, Cr. 25. 74. — Schlomilch, Beitr. III. 4. — Id., Stud. I. 13, 3) toutes deux = 1/ 2 jt (fautives par faute de calcul) Mascheroni, Adn. p. 57, 38. 1 = - 1/ TT (fautives) Fuse, Mem. Pdtersb. 1330. dx 4) I I'oa. p X ' - '- - « T . , r. „ 55^ _ i}jjopg_ jyyp, Turin. 1812. 231. .\rt. ]. Gre'sy, Mdm. Turin. 1821. 209. 11. 53.— Plana. da; n [ U&m. Brux. 1837. — Oettinger, Cr. 38. 216. .[,. dx n \ / \y X 2p( Legendre, Exerc. 3. 55. - \ N\ 19. — tisa de Gre'sy, V fo. ^^ '^ 1 a) I Sm. p X =1/ — I 'j ^ \yx "^ 2p) C) = ,p = 0;j â– n ( Bidone, McSni. Turin. 1812. 231. Art. 1. N^ 19. ) JTang.px- 2p ^ . r^ dx 71 00 ( 1VH-' 8)/Tanar.»x = IX - .2" ^ ^ Bidone, Me'm. Turin. 1812. 231. Art. 3. N'. 38. /^. . dx ] TT I 5in.' p X â–  = l^ X i/_= acl '^ "^ 4 /; I Bidone. Me'm. Turin. 1812. 231. Art. 1. N'. 10. 16. 1 U. .X^ IJ 1.^ â– â–  M il I 7E 1 r , dx- 3 1X3-1 TT ( ) I Stn.^ p X = IX — I 7 ^ IX jc 41X3 2p 1 f dx li) I Cos.'^ px = ac Bidone, Mum. Turin. 1812. 23!. Art. 3. N". 17. J '^ IXar ,.,r^, dx 31X34-1 n li)lCos.'px = ~ — IX-- Bidone, Mem. Turin. 1812. 231. Art. 1. N°. 17. J IXx 41X3 2p Page 306. I<. Alg. irrat. fract. a den. 1/ a;. TiDTi:' ooz •» i- n i r.° n- • r f • I lAliLh ii'24 suite. Lim. Oetoo Lire. Dir. en num. mon . a un lact. eirc.de x. 2p ] 2 i J. 1 \ 1 f Bklone , Mem. Turin. /• (£^ 1 Tt b /26 + l\ 1 f Bidone , Mem. Turin U) /-Sin.2''+i »^ =, ~- 1/ — ^ (— 1)" ' > 1812. 231. Art. 1 7 l/^ 22' 2P 0^ \«' + " + li l-"(2" + l)( N». 17, 16. /•^ , da; 1 71 * / 26 + 1 \ 15) \Cos?>^+^px — = ;;t, 1/ — -2* ( , \ \ 16)/«2a5j„. j^-— _ = (_lja|/ l^X q 22a+l (;2a l/a; q 22a+l52a /_l\ 12a/l ^ 17) = (— 1)« ^ ^T-l/ — f dx 2 IT 12a+l/2 7 ^ l^a; ^ ^ 5 22a+2j2a+l / _1 \ 12a+l/l TT 19) ==(_l)a+l ^ \ —\y — /• ^ da; 2 7r 12al2 20) I a;2a Cos. q x -^-^ = (—1 )« i^ /_ 1 \ I2a/I ^ 21) = (—1)" -TT-l/ — ' ^ -^ \2a/ 52a "^ 2j 22)/a;2«+lCos.(7a; = (_l)a+li/ 7 l/« ? 22a+2j2a+l ^ ^ \2a+l/ 92a+i •^2? Sur les int^grales 16, 18, 20, 22 voyez: Oettinger, Cr. 38. 216. Sur les integrates 17, 19, 21, 23 voyez: Eaabe, Int. 167. F. Alg. irrat. fract. a den. xf \^x. Circ.Dir.ennum.raon.aunfact.circ.dea;. TABLE 225. Lim. Oetoo. i Sin.x __ Laplace, P. 15. 229. — Bidone, M^m. Turin. 1812. 231. Art. 1. N'.4. — '] xv^ z ~ ^ Plana, Mem. Bru.x. 1887. fSin.px 2)/-; -dx = i/2p7r Cisa de Gresy, Mem. Turin. 1821. 209. II. 53. J X ]y^ X 8), = — l/2p7r Oettinger, Cr. 38. 216. (faut.). Page 307. 39* F. Alg. irrat. fract. a don. a;" v^x. Circ.Dir.ennum.mon.aunfact. circ.dea;. TABLE 225 suite. 4) 5) 6) /^ Sin.px l/a dx = ao Bidone, M(5m. Turin. 1812. 231. Art. 1. N'. 7. 2p o /Sin.px . 4»* x^ l^x 15 '^ / / , Sin.px , (2py 7) /-—--- da = (_i)aLJ^ l-^ Zpn . Sin.px , (2»)2« ^â– 'j;2a+i i/a, ^ ' 12,1+1/2'^ ^ /Sin.px 1~"5'' 3 x^»iyx ^ ' i /5in. » X f^ dx = (— 1)« /Sin.'^ p X ^— da; = i/DTT ,„, fSin.'^px , 4 32ap2a-l,^p ^ -^ 1/ 3 ' 2 . 12;r la/2 224— 2a j -- ^(— 1) —2a , ^ ' \b-\-nj Liin. et oo. Bidone, M^m. Tu- irin. 1812. 231. Art. 1. N''. 13, 16. a de la forrae 4 h et 4 7t -|- 1 ; 19) na—l l/TT Page 30S. laya226-2a ^, ^~ ^^"''[i^^ „) ""-'.« ^e la forme 4/,+2 ct 4/.+3; F. Alg. irrat. Tract, a den. ^« ^.^ x. ^^g^E 225 suite. Lirc.Uir.enniirn.mon.auniact.circ.dea;, Liin. et oo. ./ ' \ "r / frin. 18J2. 21) [Cos. X 23)/ cf^ = ] x\/x l^^.^K^^-'y^'^jX^^^^^ 23) V/ 2 7r Pinna, Mem. Brux. 1837. = 00 (faut.) Cisa de Gr^sy, Mem. Turin. 1821. 209. IF. 53. (Cos. p X 24)/ ^—-dx = — \/9.pn Oettinger, Cr. 38. 21 } xVx [Cos. p x , 25)/ '^ dx = 'Jx^ 1/ X Bidone, Mem. Tnrin. 1812. 231. Art. 1. N^ 8. — Cisa de Gre'sy, Mem. Tu- rin. 1821. 209. 11. 53. 26) 27) 2p — i/ Z pn 3 ^ [Cos.px 4 /- dx = - J x^ [/ X ] I' [Co 4p^ 15 l/ 2 pTT 28) / - -^— dx = -â– ^ 1/ 2 » 7t ' ' -* \/x 105 ^ ^ CCos. p X 105 ^ ' (Vos.pjj , , , (2p)2«— • ' --^^dx = — Ih+'^-^Tl l/2/;7r Oettinger, Cr. 38. 21G. [ Cos.px . , (2»,2a .30) / dx = —1)°+' h—r 1/ 2 P TT 7 a?2«+i 1/ .-c ' 12a+l/2 ^ '^ [Cos.px l-j/i32 ^ ' 5) 1 71 = i*^2 I i I 2V/{2a + 1 +.-7Tr + {2a+36) ' V/36 ' 2v/(36— 2a) 3 3 2v/(2a4-6) ' v/6 2v/(2a — 6)j Bidonc, â–  Mem. Tu- Srin. 1812. /231.Art.l. , 3 6 > 2 a > 6;' N". 19. e) 8 2 I 2»/(2a -4- 4- (2a+3 6)^V/36^2»/(3 6~2a) 8 3 2V'(2o + A) ' 1/6 ' 2v/(6 — 2a)j ' /Sin. a T. Cos. b x I a-\-b\ la — b\ 8) = \/aTt ,a = b; 6 > 2 a ; 9) = V/(.^)-V/L^-:^1.a<6; F.AIg, irrat. fract. a den. mon6me. taRI F 227 Circ. Dir. en numor. binome. Lim. et 00 fSin.* ax — Sin.^ b x , ^)j -r- <^^ . i fSin. * ax — Sin, * bx Cos.^ a X — 5»n.* b x 1 I n n l/y'T ,'^\ ^ I , '^ , '^W I^idone, Mdm. Turin. 1812. -iH+'^i) Page 310. F. A|f'. irrat. fract. a don. mononic. tidip oot •»„ r- a t^ n°T^â–  â–  \- " lAIJLL ti27 suite. Lim. Oetoo, Lire. Uir. en numer. liinomc. f€os.''a.T—Co'i^bx 1/,'^ ./'r\ ( Bidone, Mem. Turin. &)/ TVr. <^^ =^ 7\^Z—^7.] } 1812. 231. Tableau. [Cos.* ax — Sin.^bx 1 I n n\ \ I n 7r\\ 4)/ dx ==-i/- + i/--f-— [V — hv-rn fCos.^ar — Cot.^bx 1 / n n\ )/ ; ^^' =' Tk--^7 y l/« 4. \ a bj [Cos.* ax — Cos.'^bx 11 n n\ \ I , n n\ "'] ^. ''- = ir;;-''»)+.5ri;-'r«). , f Sin/a — x) 4- Cos. (a — x) , 7)/ -. '— -^ dx = Sin.al/27t Cauchy, Sav. Etr. 1827. 121.. Note IG. J Vs: 'â–  — '— dx = ~ 1/2,71 Bidoae, Mem. Turin. 1812. 231. Art. 1. N". 9. rCos^bxVal-Sin^^^ ^^\ a^^ ^^. /a| ^^^^ _, ( a de la formed /. + 1 7 V^x \ ^ I ^"^^ VV ] et4A+2; , oxl0j<2a<46 4- 1 ; voyez sur ces deux integrales: Laplace, Mem. Inst. 1809. 353. § 10. F. Alf?. irrat. fract. a den. monome. mt nr i- ooo t • n . ° . . TABLL 228. Lim. et oo. Circ. Dir. en num. circ. de x . X 23. 147. P. 1. § 3. T. 228 N^ 7. dx ;5 -I- 8a-f 16a'^ e--2a y — V. T. 228. N^ I. DJsin. [a (.-l]j -^^ = e-^-^V^ Cauchy. P. 2)l(x-'-]sin.LL-l]\ ^ = 1 +*%-.«, /-!L V J \ xj \ \ xj\ y/x 2a '2a 5) / Ls *Sjn.|nhF \\ =(_l)6i/- -. V. T. 22S. N'. 1. 6 /U Sin. |a « U — == (_l)'-i./ . V. T. 228. N'. 7. V/ a; 4 a'^ 2 a 1.5 + 36 a + 48 a> +64 a^ tt — ' ' ' 6-2" 1/ — V. T. 2dS. N". 7. 8a3 2a Page 311. F. Alg. irrat. fract. a den. inonome. q, . r>i v ooo •» in. '^ . TABLL 'iio suite. Lim. el oo Circ. Dir. en num. circ. de x — . X 7)1 Cos. la («—-)} -— = e-2<»l/— CaucLy, P. 28. 147. P. 1. § 3. 3J.8a+16a> „ n e-2av/— V. T. 228. N<>. 7. 4a* 2a 15 + 86 a + 48a* +64 a 8a» 2a e-2<.j/ — V. T. 228. N'. 1. /â– / 1\'**-^^ if n) dx , ,. 1 ,, „. l^-jo 2g( g >• 1; Raabe, Int. 416. W/ ^ 'I - — ^^ dx = -r^Cos. ■— 1 /2ap\" ''2 \b 4)/ (Sin.px dx — n ap 1 ^r »" 1 5) / 7 = -, — Sin.- + - 1/ — .2" - 'Ja + bx V Vah b "^ a*^ 26 , l" /Con.px dx n a a + fr.T^^iT^i^"'-^ fCos.bx — Sm.bx dx it , 2 7) I — : ; = — e-«4 \/ _ Schlomilch, Gr. 11. 174 y «* + a;* l/a; 4 a a p 1 u « (-1)" /2a»^"' Art. 2. 25. A ^ 6 '' 26 1 1"2 1 6 Bidone, M^m. Turin. 1812. 231. Page 312. F.AIg.im.t.rracl.aautredcn.i.Tat. .^.^p^E 229 suite. Lira.Oetoo. Cue. I)ir. en num. ____^______________ fSin.bx — Cos.bx 1 . g\ I adx\/ ir == — TT e—° \ 7 1+*' 2 j CCos.hx — Sin.bx n I 1 \ f 9)1 dx\/ .V = — e— *7 1 + — ) I Helmling, Transf. II. S. 116, 117. fS'ui.hx — Cos.bx , n I 1 \ i 10)/—--, „ — xdx\/'x = e-h\b — —\ F.AIi^.irrat. fraet. adon.binome. 01.0117 o-a ¥• n * ° . TABLE 2o0. Lim. et 00 . Circ. Dir. en num. circ. de a; . X f ( I 1\] 3+x , i) I .Sin la[x -, ^. g d^i' x = e-^" p/ 2 tt Cauchy, F. 28. 147. P. 1. i 3. 2)ISin.laix -Uy ^^ U' MJJi/a; = e-Sa^' — V. T. 230. N". 7. \ ^/ ^)ISin.\a{x U^ L-rva [x d X i/ X = — — 6-2"./ — V.T.230.N\1. J \ \ ^/j/:,+iyi ^1 4« J c \l A\ 3 — « / 1\3 , 3 + 12a + 48a^ — 64a 2^ v T 030 X b)jStn.laU- 1 \- — ^raU da; y/ x = {—l)f>\,'Zn — ^.e-2ai/a V. T. 230. N\ I. x + ~ X V. T. 230. f . { I 1\] 3 — X f 1\26+1 ^24+1 „ 6)j.S.J^a^.--J}â„¢,(.- -] rf.^. = (_1).-. v/2.^^^^.e-2v« Jv/, â– ^) ICos.jaL- II ; jva^^ci/a; = e-2a j/ 2 tt Cauchy, P. 28. 147. P. 1. § 3. v^(^ { ( 1\) 3 + a; / 1\ , ^ 1 — 4a Zn h)jCos.)alx—\\-i JYl U ) dx\/x = g-Sn ^/ — v. T. 230. N''. 1. Page 313. 40 WIS- EN .NATUURK. VERB. DER KONINKL. AKADEMIE. PEEL IV. F. Alg. irrat. fracl. a den. hinomc. t . m r^ t»-/» . t â–  n (]irc. Dir. en ninn. circ. de x . X l«)|<7„..{«(.-l)}-A±^^._ij>,^_ i.,/c«,.{a(.-i)},s±y._i) dxv^x = — e-2«i/ - V. T. 230. X'. 7. a + 12a+4.8a^ — Ota--' _^ 2^1 y T 230 8a» * '"^ a' N». 1. = (— 1)''-V2 7r -7.e-2"v/a V.T.230.N».7. 24+1 rf-'i+l V T o^n F. Alg. irrat. fract. taimp o-i t- n . «.J5. N^ 42. J ''- fSin. px I ' ,lx = nCos.pq Hidone, Mem. Turin. 1812. 231. Art. 2. N". 32. y ■» + ? [Sin. p X \ \ — dx = ne-vi \ jx -\-qi ( f Sin.px , , . \ / • dx = 71 e-pj+i'i j J x-\-{qi — r) J \~^~-dx = nCos.pq Bidone, M^m. Turin. 1812. 231. Art. 2. N". 32. J x — q f Sin.px I dx == ire— PI f X — qi /Sin. 1 f Sin. ^ , , X • c- 1 •^ ^ ^ Cayley, L. 12. 231. C Sin. X . / > . „• / :—-- dx =r e-°r (p) iSm.p n J (a — xiy—P f Sin.px I r d^ = dx = Lejeune-Dirichlet, Cr. 4. 91. 10 11 12 13 14 15 16 Ohm, Ausiv. 23. dx — n e—Pi''—1'} ' Moigno, Int. 133. Sin.px dx = ne—" Sin.ah Poisson, P. 19. 404. N°. 66. 1 -pq h fSin.[a(b— J ~l^x fx Sin. p X I — dx == IT e~ ] q-'+x^ f P-\-9x I p — OS \ , , / — — ; , — - Sin. txdx = -— ^-— Sin. rt4-qCos.rt] n e-' I' ('— ' J r-\-2,3x-\-x^ \V/(r — «*) '^ / ( X Sin. px ^ I , - dx = n e-p(r+q>) } x"- +(gi-|-r)2 r X Sin. p X j x'^ -\- iqi — ry lOhm, Ausw. 25. „, , Ohm, Ausw. 23. X Sin. p X f dx =^ 7te~Pi'—3')\ Page 315. 40* F. Alg. rat. fnict. Timi' o-o â– . i- Circ.Dir.enn»m.6m.a:. ^^^^^' ^""^ ^"'^'^- L. m. - oo ct oc 7 g* 4- x» a;'i« I '> Meyer, Int. D^f. 27*. /Sin.px dx 71 I q* + x» ar2a-i ^ -* 52a J f Sin.px dx 71 f Sin.px dx n , 20)f ^. -— = ;^ [\-e-p{r-<,i)) F. Alg. rat. fract. TAnii?o" t- Ci °c. Dir. en num. Co.. ar. 1 ABLE 2oo. L.m.-ooctoc . (Cos. p X ^ 1)1 ^-- dx = nSin pq Bidone, Mdm. Turin. 1812. 231. Art. 2. N". 32. y «+? 2) I ^-- rfo; = — in e—Pl I f x-\- at \ •' ^ \ Ohm, Ausw. 23. /* Cos.px , . , . •,( 3)1 ^ dx = — tjre— P('"+9')\ 7 ^ + (3'-'-) 1 / Co*, p a? _. 4)1— ^^ix s= nSm.p Schlomilch, Stud. II. 10. 5)1 '^—dx = —nSin.pq Bidone, Mem. Turin. 1812. 231. Art. 2. N". 38. J x—q [Cos. p X , . \ 6) I ^— dx = 1 71 «-p? J Jx — qi I J)! O'-P" , — ^^ ^ f 7re-P('— 9»)\ 7 *-(»• + 30 I 8) I ^ dx = e— « r (p) 5m. p tt 7(a+xty-p f Cos. X , r,. \ 9)1 dx == e-T {p)Sin.pn ] Ohm, Ausw. 23. Cayley, L. 12. 231. 10) i "'• P ^ dx = ne-P Cauchy, Cours. Le<;. 39. — Moigno, Int. 133. 71 + ^' Page 316. h. Al"r.rat. fract. Tunri.^ ot- •» i- » r° n- r lAULL 23o suitc. LiiT). — 00 et 00 , Lire. Dir. en num. Cos. x. 11)1 IJ U-clx = ne-"Co'i.ab Poissoii, P. 19. 404. N\ GG. ./ 1 + «" 12) / — (Ix = - e~P? — ePl 1 13) = — n » ^ q>^\ 1 ] f:V Cos. p X , ^ \ 15)/ f—dx = \ 7 ^^+9' j C Cos. px , TV , ., r /* Cos. nx n \ 17)1 ^ c?a; = : e-?'('— ?0 ] ya;^-|-(gi — r)' r~~qt I 20)/— 7^—-— Cos.txdx = [qSin.rt— f~'^^ Cos.rt\ ite-iVi.r-s'') Ohm, Ausw. 25. 7»' + 2sa!+«» \' V/(r_s*) / >ja^-Ux + x-^ V{a^-i*) ^ 1( sehlomilch. fCos.{[b—c)l]—xCos.bX^ , I Stud. II. 16. j 1 — 2.'»c/os. A, + a?* I / »^ — 2 » a; Cos. I + x^ i Laplace, rrob. •^ '^ ^ ^ fi'G. — Plana. [a — hpCos.X ./Mem. Turin. rr^ Cos. (p c Cos. }.) 4-bSin. (pcCosJM \1818. 7.II. 12. I p otn. I J ! f Cos. px d X ^ It r Cos. » a; Page .317. da; ;c2a-l "" Meyer, Int. Def. 274. F \lg. n.t. fract. -^^^LE 254. Lire. Uir.cn niiiu. d uutro lurmo. Lini. — 00 el 00 l)/^«"?-^^rf^_. 2)1.. ^Vdj; = n J J-*+?* 8) 27r eV'1 4- 1 Y.'o»«. ax — Cos. a X .? < «; ,9>*-;^ ,oi\a; = .y 4- zi;> Poisson, P. 18. 295. N'. 42. [xTaiia. nx dx = Sin.aX Poisson. P. 18. 2'J5. N». 3S. ^5 X /•feoc .[_ g— ac) (^'(,5. a .i- — ((J 7) goc — g -"<:)% Sin a J- ax = 71 -{- Zc xi e~ "'' — e"* \ __ g—ab b , c < i; A^' +c * -t-a; *) 2 .r Sin. 2 a .r — c (6^— c» — ar*) (e2«<: ^ e-2<«:) y e2«c -j. 2 Cos. 2 a a; + e-2"c â–  Poisson,?. 18. 295. ^X°. 41. (2x (,. +(/,_c) = ) {^ti^(6-j-c)^} = 71 ,c>i';l 9) 27r F. Alg. fract. Circ. Dir. Siti. x. TABLE 255. Lim. 1 cl 00. Anidt, Gr. 10. 22,5. CSm.[p(x — \)} ^ „ (1 1 1)1 Ull. L dx = Ci. {i>) . Sin. p -f Cos. p I- 7t— Si. {p)\ 2) ISin.jaU j| ix dx[/ x = c-2«V/-— Cauchy. P. 28. 147. P. 1. § 3) jSin.laix )| lx—-\[x-\--]dx\/x= -^ : g-2«^/-l- V. T. 23(i. N". 3. 14-4.a 2a 7r 2a ,,r^. f / 1\1 / 1\3^ , 3 + 8a+16a> „ n i)jSin.{alx I Ix 1 dxVx = Ti e-^^/— v. T. 235. N" Pa-e 318. K. Alg. fract. (lire. Dip. Sin. x. TAHLF 235 suite. Lim. 1 et 00 . + '^i«!^-2.i/.'L V. T. 230. 6) 7) jSinJalx t U {x-\--__]d.v\/x = {—iy>-W- . .. . • -— V. T. 236. X^ 3. j&n.{.(..-im.._iy''-^\z.,/ 2 (ia2i-l v/« 71 (/24 g— 2a ,c = (_ I )''!/- • V. T. 235. N°. 2. ^ ^2 c/a2'' v/« I S} jsin. 1 Oj / Sin. aU'- \\^ - [y/.t—- — = e-2'H'2a7t Caucliv, P. 2S. 147. P. 1. § 3. 1 a\x 1'-7 X .t- + iv\^'^V^^'-^^^ X a- ,v LzA^-oai/^-^ V. T. 236. a .r- 4 + ar + i + ^hvzwi'"'-^-' l\^dx 14-Sa— 10a» A- — = — i e-2«v/ .(•7 :v 4 a 2 TT V T 9Xt — 2«l/ ^' ^- '*<'''• No. 8. 1 4 — X 'â– 'M«('-')i(^^(-+i)('-ir^ 3+1^2a+48a^-64«_' 2^ V. T. 236. l.)J./..{«(.-i 4 + .r + - l\24c/j d-'4 V. T. 233, ^ /^l? r^-^/xjl^-.j â– .-=(-^)^^^-^--^"'/«N».8 l:^) fc,. j/ Ml â– ^' «•/ , 1 \/ l\24-lrf.r ja4-l *• + â–  v/.r/y .r V.T.236- = (— ])V2.T .e-2"l/a X- 14 PaEie. 319. K. Alg. fiacl. n^nii? o— •. 1- . Ciic. Dir. Sin. x. ^ ^^^^^ ^'^'^ '"'^*^'- L'"^- ^ ^^ ^ 15)J..4«(.-i)ji J 4- l—(x—l)t} -<â–  + {■•?+! -f (t— l)t}-& V. T. 236. xl \ X 24*+ir(^6) \ 2 2t V. T. 235. N\ II. a: + - X a;'-*-' da; = — --——;— - -^A - 4)(A-2)— (6- 2,2a+4o'- i 17 Z&H.aa; \\- - -^^ Ll^JlA^JI^^Jll '-'— Uj._ ^J a-il'-^dx == 2 V. T. 236. 1\ / l\2c-l f— l)c7r (i2c-l N . lo. V. T. 235. N\ 14. \ ^.r) \ xj 2«4+ir(ii)rfa2c /.T • n Sin.axdx^-- = (rW. a + Ssn. o) ^Z — , pour a tres-petit ; V. T. 77. N". 1. jr' — 1 4 a F. Alg. fract. TAHLE 25G. Lim. I el oc. Cue. iJir. Cos. x. l)jCos.px'^''- =. - Ci.ip) j •^ \ AnuU, Or. 10. 225. (Co»{p[x-l)l (I \\ 2) I ^n 'J dx == — Ci.{p).Cos.p-\-Sin.p l~n- Si.{p)\ ^ ii)jCog. jaL— -j (x-h-j dx[/x = (T^ay/ ^- Cauchy. j P. 2S. 117. P. 1. § 3. Page 320. ^'^^^S^'Cos.x. TABLE 256 suite. Li"^-ietoo. 4)/Co5. laix \}L \ dxv'x = — -^^^^^^" e-2« 1/ -^- V. T. 235. N^ 2. ./...{.(,-!)}(,-l)' (.+!).,._ _1±^ + 16o» „_^ n V, T. 23C. 15 + 36a4-48a^+64a^ „ n y. T. 235. —2a V. T. 236. N'. O, /"^ I / 1\1 / iN^i , . TT d2i-l e-2a 8) /Cos. la he U a; dor i/a; = (— 1)V • V. T. 235. N°. 2. Q)^Coa.\a[x—-\] -J Y\t'{^^-^ ) ~ = e-2a ^Z 2 a tt Cauchy, P. 28, 147. P. 1. § 8. 1 1 1 \ / 1\ dx 1 — 4a 2 7r V T 9'^t; l/») V W a; 2 "^ « N'. 8. XI 1 i/xj\ xj X 4a a -'^ • y- 1 1 - â–  • â–  - do, d26 V. T- — = (— l)*l/2 7r--- -,.e-2a j/a 236. «« N\9. â– ^'^H'-^)r(5f(-+7.)hrT — :=(_l)Al/27r — .C-2ai/a 235. .« ^ '' " cfa26+i N^8. H,/0..{,(._i)}--^(,._L)(._l)^ Page 321. 41 WIS- EN NATUURK. VEBH. DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL IV. F. Alg. fract. TABLE 256 suite. Lim. \ el oc. Cue. Dir. Cos. X. lo) ICosAaix \\^-~^ ^^ --'' — -~ ^ '-^—\ x-f- .r4i-'dx=— p.2S. U7. 2iJ5. jraJft-2e-2afl -j Xo 14 = — -{6-2 -2ar 7TaJ*-2e-2a f 1 1 N". 15. jra»6-2e-2a f 1 3 1 NM4. 19)|(7o.{a(x-i)} 2 \ ' X \ a: â– ^~ V. T. ' 236. ( — 1)«:JT d2c NM5. .a**-! e-2a Z«*+>r(JA) da2c 235. (— l)«7r d2c+l • >!•». H. ^ ' a'*— '€-2a 2«'''+'r(56)rfa2<:+i- • t X It ZVjtCos.axdxx/ = {Cos. a ~ Sin. a) \/ — , pour a tr^s -petit; V. T. 77. N^ 2. / a-"" — 1 4 a ^^'cifj.Di;.'"'" TABLE 237. Lim.Oet-^. \)\xTang.xdx = ^2 -\--2— — V. T. 804. N'. 1. 7 " 8 ' 2 (2«+ 1)' 2)la!Cof.xdx = -n-\-~2 — ^ ~ V. T. 303. N». 1. 7 8 ^2 o(2n+l)' /â–  111 &)lxTang.-'xdx = -^_ — «» ^ V. T. 237. N'. 5. J 4 32 2 Page 322. F. Alg. rat. ent. ^^gLE 237 saile. Lim. et ?. Lire. Uir. 4 r a; 1 " 1 4)/ dx=-^(—l)" V. T. 305. N\ 1, ']Sin.2x 2 i-Zn-i-iy fa; 11, 5)/ dx = -n 12 V. T. 46. N^ 1. 'J Cos.^ X 4 2 C x"" 1,1 « (—1)" 6)/ dx = -nl2 — n^ 4-2 ~ '—- V. T. 238. N°. 4. ^J Sin.^ X 4 16 ^ (2« + l)* /x'^Tanq.x 111 ^—dx = ~12 nA 71* V. T. 237. N'. 3. Cos.-' X 2 4 ^ 16 8)1 dx = ~[-n\ J^ f-^~ {-] h — 2 ^ \ V. T. 238. N'. 20. 'JSin.^x V4 j ^ 2 \4/ I ip+2»j i (4n)2'"j fx 5in.«— ' a; tt » ( — 1)"— i 0) / -7, 77" dx = - + 2 — V. T. 46. N^ 2. /â– fie — i t) Tanq.^ x 4- x dx 1 10)1^- ^—^ ^ -^ = -nl2 V. T. 258. N". 28. 'J Cos.%x Cos? X 4, f X lV^27rl — p 11)/ dx = 1^ -j — ^- V T 48 N^ 1. 7(Coa.a?+p5m.ar)» 1 +p' 1 +? 4 (1 +p) (l+p^) 12) /- .. 'j{\-\-Sin.x.Co!i.xy 6 1/3 31/3 — 4 A' Cos. 2x , 2 — 1/3 (Za; = TT— : V. T. 48. N^ 3. C X Cos. 2x j (1 — Sin. X. Cos. x) * 6i/3 0! Sin. 4 ^ 1 ^1^1 \2J o(2m+l)2'. \2] o(2m)2''+ij^ r /tinp f 00 2 =0 1 "I I 18)/fl-P(7o<. .Td.t; = U \\—2 —2 . , ,. j \2/ I 1 /> + 2m 1 (2n)2'»J I , oil p fraction; l%)\aVCod.dx = (-V (l_l— 1-1_L_} Legendre, Exerc. 5. 63. ; 2 \2/ I 1 P + 2OT 1 (4«)2»'J J F AIg.rat.ent ; TABLE 239. ~ Lim.Oetf. Lire. uir. en den. monome. 2 Exerc. 5, 61. 1) / dx = 2 ^ - ^ ^— 2) / ^— dx = - 2 ^ - + ^ ^ + nj- ^l V Legendre, Es /"a;' « (1 1 4 1 3)/- da; = 3^(— 1)" -TT^ — ^JS{n.x 1 M2 {271— ly (2n — l)«i f X" 1 oof 1 (_r.n— h 00 /3r\«— 2"— 1 oof — l)2n-l Legen- *>i a;r/'-'^~r-'°"ll;;:s:T+^;s:rj+«f -')'-'""-"-' (i) ^^^. ^'.^- 5) [.J!?! ,, . M' (i + 1 _L «'!^' =2 1 _ J_) . '«•' P ''«"»■• : ' } Sin.x V'l i 1 2'«-2 /.4-2 7ft i (4 n^)"") Legendre, Exerc. 5. 63. [x Cos. X 1 6) / dx = -nl2 Legendre, Exerc. Suppl. 28. — Cauchy, Exerc. 1826. p. 205. J Sin.x 2 [ X 1 7) / dx = -nl2 V. T. 204. W. 2. 8) /-———da; = 7rZ2 Cauchy, Sav. Etr. 1827. 599. P. 2. § 5. — Mosta, Gr. 10. 449. J Sin.^ X Page 325. *^'ct DiV.t'd^n. n,on6n.e. TABLE 259 suile. Lim.Oct^. ^)/T:r^;-<^* = (f + 1) -'^ n— ^ 2 \ V. T. 238. xN^ 18. ,„ fx^ Co9.x , I « (— l)" 10) / --— — dx = 7r» 4- 4 ^ — — V. T. 239. N». 1. /fl'Cos.a; 1 3 -— r— da = — — 7r» +- 7ri2 V T. 239. N\ 8. ri— a:(7o(.« 1 12) I — ^T";; 'dx = —n Legendre, Exerc. Sunpl. 17. J Sm.* X 4 I 4 J7 ^ Cos J? Li f 2 tt •^— iT I J? 13)/ — ^ ^d« = 7r» Z2 Cnuchy, Sav. Etr. 1827. 599. P. 2. § 5. J bin. X 14)/ ^. ^ dx = w Cauchy, Exerc 18^6. p. 205. J Stn. 2x "^ , fa" fl \" 1 00 f 1 15j/- dx = i-n] l2 + Co8.~an. t«/> ^ ] + 7 Tan^r.x \2 / ' 2 i Uj-'+i ^ ' I ' \2J (2n — l)2m + il f a; 16)/ 5m. (j Cot. x) —, dx == J btn.* X " Legendre, Exerc. 5. 60. e-9—l n V. T. 374. N'. 1. 17) isin. {q Tang, x) ^^_~ dx = -^e-9 V. T. 374. N°. 2. a; 71 — d ar = — , Cos. X 2q f X 1 18) /6'o«. {q Tang, x) "— — dx = n Ei. (— q) V. T. 431. N". 1. J Stn. 2 X 4 19) l7r-~A-. dx = — 00 V. T. 334. N". I. / Cos.* x.Sin.x /xSin.Px , n {r(i»))* — dx = - — 2P-2^ -^^rJl_ V. T. 53. N'. 18. Tan^.z 2/> r(p + l) f X 1 21)/ dx=-7ri2 V. T. 265. N». 13. ' J Tang. X. Cos. 2 X 4 2^)/.f ^c.- n <^^ == -Sec.pn , px.Sin.2x p ^ » /' -^ > P«ge 326. F. Alg. rat. ent ^^^LE 240. Lim. el ^. Circ. Dir. en den. binoine. z 1 / /T^l 3-T- (^ ^ = — 2 ^o«ec. A ^ .^^^ J^.; ^ Legendre, Exer J Cos. ^ A — Sm.^ X (2«-j-l)* re. 5. 85. ar 5m. 2 a! / 1 , l;} Cauchy, Sav. Etr. 1827. 599. S. 1. 4 2(p- 1) ( C X Sin. Z X 1 I Page 327. F. Alg. rat. ent. ^^^LE 240 suite. Lim. et " Lire. Dir. en den. binome. 2 12)/— "' ^ dx = -Ttl y-J:-^ „> I; Cnuchy, Sav. Etr. 1827. 599. S. 1. >]p—Coa.7.x 4 p + l/(p*— 1) 13)/ '- dx^ — lnCosecM.lCos.-X V. T. 334. N^ 13. ^y I— 5m.n.(7o«.»x 2 /xSin. 2iP . 'T. 1 + 1/(1 + ?)„„,„ dx = ~l — !-^— — -^^ V. T. 834. N". 8. I+5*<7o«.*a- 9» 2 15)/ ffi- = -Z— — -,»<1;| 'jp^—Co».^2x Hp l—p '^^ I •"^ ^ ^ \ V. T. 240. N". 9—12. "^ ,P + 1 ,1 > V. T. 240. N'. 9-12, 1 2l/{p» — 1) ( ' ^ P + l^ip^ — i) I 19)/ — dx = -nCosec.ll ^ , — V. T. 334. N°. 22. 'J l — SinM.Co8.*x 2 Cos.iA f ar Tana, x , tt , _ 20) / -,-^r-,— f^^- dx = - - Z(l +p V. T. 334. N\ 14. J p* Sm.^ X -f- t/os. * X p^ ''â– ci'?c.Sir.â„¢di„.d-aul,o forme. TABLE 241. Lim. e. ^. ^)jlZriJ(^:rzr7T.^^ = -H^-v) v. t. 356. w. 2. 5i'n. X n I Cos a: + p* /> 7 l + 2p5m.x-|-p' 2p ^^' 2p 1 2n— 1 3",'2 \1 +;)» j 19- da = 7- Z(l+p),p' < I'i 11 :' son, p. 19. 404. N". 76, 171. .„/ £^^£_^ ,, _ JLil+Ji-JL+i! V. T. 3,,8. N-. 1.. 7 1 — (1— 9)<7o« 2a; + 9 8y 2 Page 32 S. F, Alff. rat, ent. rp.,., n niM •, i • a • '^ Chx. Dir. en den, d-autrc forme. ^^'^^"^ ^^^ ^"'^^- ^'"^-^^^V 6) / --:- = --_,^(l±lIML+£) V. T. 265. N". 15. ... /" •:^ dx 1 ( J l — q* I'ang^ x Sin. 2x 16 9 7) / ; . ^ , -- ,— dx = -- -Z — T_?__. V. T. 265. N\ 14 5* 7a?(^.' a; Cos.' a; 8^* (I + q)' 3-Cos..r. , o , i '^ ,, . o- ^ — ^77 a.r = 2 /, c/osec. 2 A — — - — r t; ., (1 + Sm. X. Cos. I) 5 2Cos.X \-\- Cos. I xCos.1 X 2 1 — ^ ~ dx = — 7r 1/ 3 . -\-Sin.x.Cos.x)^- 9 2 xCos.x , , ^ . TT -; — — - dx = 2 a — tt) Cosec. 2 ^ + -— ; — ;^ Cos. l)^ ' ^ ZCos.X{l~ Cos. I) xCos.Zx 1 4 ^ dx = — n Sm.x.Cos.x)^ 2 9 S)/----".^^^^-'- — '—dx=2lCosec.ll— — ^—T- '^ — r V. T. 65. N'. C. 9)1 ^r^"-^^ —dx = ~nl^&—^n V. T. 65. N^ 4 „ /" X Cos. .V ,v 10) / , r — — - dx = 2 (^ — tt) Cosec. 21 + V. T. 65. N\ 5, J (1 Sm.X. ^~~ ^'^ n /->-- 1 /. />.. 1v 11)/ 7,T^^^ T tiar = - 7T — - TT 1/ 3 V. T. 65. N^ 3, I (1 ~ " " f X Sin. 2 X 1 2) / " ~ „ â–  ^.. , ^, da; = — 2 TT (7o«ec.2 2?. (1 — Sin. ).) V. T. 6fi. N'. y (1 — Gov.-' A..Si«.^.'r)^ 13) / r„; r— :; r, i^(p2_j5) p .!/<-/'. > V. T. 65. N^9, 10. f X Sin. 4 .r 2 ''^li^Sin:^ x.Cos.^xy '^--^,^ V.T.66.N^6. r ariSm. 2 a; tt ,2 /• xSin.Zx n »^ -|- r.o -j_ 2 o^ 19) f a.-&k2^ ^ ^_ 3/,^+3p=' 9 + 5p^g^ + 5pg3^8g« y. T, 67. 7 fp^ 5m.^.r + 9^ Cos.-^ x)" 48p« j' p + - r .TSin.2x ^^_ ^ 5pM-5/>^g + 8 pV+8pV+llpY +ll ;^g^+16 g« V, T. 67. 'j{p-Sin?x+q-Cos.-xY VZHp^q'' p + q N". 13. ^ ' / r^T-Tl c- ■» „ « * Cos, /B d a; = „ ; + 4 Cosec. X ^ ^^^ — :L-L-L v 1 . 2+0, J(Cos.U — &n.2 ar)» iSin.^X^ (2n+I)' ^ • 1- Page 329, 42 WIS- EN NATUUHK. VERH. DER KO.MNKL. AKADEMIE. DEEL IV. F.AIg.rat.ent TABLE 241 suite. Lim.Oel^'. Luc. Dir. en den. d autre lorme. 2 [ Tang.* x x , n 'J {pi + Tang^ xy Sin. 2x 8p{p + l - V. T. 66. N\ 11. ) 23) / ■— ^^— ;= ''—-=: = — - " v. T. 67. N". 24. X dx Tt {Tang. x+ Cot. xy Tang.2x~Sin.2x 128 Lobatscliewsky, Mem. Kasnn. 1835. 1. /Sin. X. Cos. X X , It J^l,r.l\^' dx = 1 Cos. — A. oec. - a I \1 l — Sin.^X.Cos.-'xl—Sin.^li.Cos.^x Cos.n — Cos.*^\ % 2' jJJ f Sin .lx X ^^ n foL^n ^^^ /l^^^ .^ â– Sm-." ^ V. T. 334. J Sin.n-Sin.^li.Cos.*xl-Sin.*li.Cos.*x ''~Sin.^u.Cos.''k Sin.X' ""^^2 '"'^'""'-Sin.V ^"- 2*- VlCo«.p7r-ros.2px Cos.7?7r— Co«.{(l-p)2ar} 'â–  ^ ^' â– '] 4^ ^ ^ ^ ^-'1827.699.55.1. F. Alg. rat. ent. ^^^LE 242. Lira. ot I Lire. Uir. sous forme irrat. a den. mon. 2 T. 72. , 22. r 2 _4 — 2»* 1 — p* 7r 1 V T 7 l)jxSin.2xdxl^{l-p*Sin.-^x)==—^---^W(p)--fT(p)--\^{i-p^^ ;-„;\l 2)jxTang.xdx^Co8.x = 1^27 {(1 — 1^3)1" (Cos. —j + 2 1/ 3 E'fcos.^ U ^^ '^/k^ ^"^ '^'"' «' =- r + f^ ^7 {(l^ 3 _ 1) F' {cos. ^) - 2 ^/ 3 E' (C'o.. ^]} J/^^ J fl^ Tang, x — 1/ Cot. a; , 4)/ ^ ~ xdx == — 00 V. T. 73. N°. 4. 7 .'fin, 2 a; f jr Cos. a; , . ^, /o. i\ S)/ 7:7- dx == — 71 + 2 1/2. FSm.~ V. T. 73. N°. 3. 'jlxSm.^x \ 4/ 1/ Co».' a: dx = — -n V. T. 73. N^ 3. l)\-^^^dx = i. + £t^3|'-i^F(5.n.-^) -3E'(5.-n.iiU V. T. 72. N^ 21. 'J^Sin.x 4*2 I 2 \ 12/ \ 12/j 8) I '^;«- ' dx = V 3 [3 E- (;s.„. -"i] _ y--^»^3 / ^\ I ^ ^ ^^ ^,_ ^.^^ 'j\yCos.x 2 \ \ n] 2 \ 12 jj 23 2" r \ 12/ 2 " \""'12/j Page 330 da; = 00 V. T. 73. N\ 9. IK Coa. X F. Alg. rat. ent. . _ , , TABLE 242 suite. Lim. et J. (.irc. l)ir. sous lornie irrat. a don. mon. 2 '/: fx Tana, x 10) / —^^-^ — dx =00 V. T. 73. N°. 10. 11) f "^ ^. ) ,P<1; v. t. 75. n». is. IS^f ^^'"•'^• ^''^'•^ J. _ ^ f_i_ ^'^ I ^-^;^+Pl V. T. 75. t X Sm.^ X. Sin. 2 X , 1 r 3»>— 2 2 „^^ ^, , 1 V T 7s v C X dx \ 17) I ^ = - uH^ 2 V. T. 268. N^ 1. / aSi». J! -\- Cos. X 1/ Sin. 2 X 8 ( 1 — xCot.x dx 1 TT ^ ro<. i — 1 , 18)1 ;; = ~~^~~r + — — :; Legendre, Exerc. Suppl. I'J. 'Jl^[l — Cos.-" L Sin.* x) Sin. x 21+ Cos. X ^ Sin. A * PP • [ Sin.2x xdx 2r , ,_ cF'fc) +6F'(6) , b—c , 1+p 1+i' da; _ 3 + 1^ (7oa.» a; i^ Sin."^ x.Goa.'^ j; ~~ 8 20) / " ^^^ = - 7r> V. T. 268. N**. 4. '] iK Sin.* a; + - ' ^"- > - -^ <^-" » - '^"" ^ â– â–  « F. Alpf. ral. cnt. Tiini r o/^/i i -^ n . ^. " ... . lAuLL 244. Lira. OelTT. (.uc. iJir. ent. -,. f r< J -^ //o n Diengcr. Cr. 31. 75. — Sclilorailch, Hoh. An. 80. — Id., l)j xCos.axdx =^ ~~ {Cos. an-]) jj^j^ » , g g^ 2)jxSin.axdx = -Co».((a-j-l)7r} Schlorailch, lloh. Anal. SO. — Id., Bcitr. I. § 8. Page 332. F. Alff. rat, cnt. nvinri.^ <^hr. u I- n 1- p, ° n- f lABLh 244 suite. Lim. et «. Lire. Uir. ent. /• ^. (2a— 1 ) • 4 ^, f2a-l 1 ^ ixhvn. < «> «.r = Sin. I n\ Diensrer, Cr. 34. 75. ] I 2 J (2a-l)^ ( 2 J { 1 jxCot.-xdj; =^ 2 7t / 2 Legendre, Exerc. 5. 68. jxTancf..vdj; = — 7ii2 V. T. 346. N". 6. f c- ] — !ll_ ^(g + ^ ) Lobatschewsky, M^m, Kasan. 1835. 211. — Grun«rt. jxSin.^adx - ^^^, (r(-"g+ 1)) ^ Gr. 4. 113. / X Sin. X. Cos. axdx = ( — 1)"+' ~ j •' [ Schlomilch, Beitf. I. § 8, 10. /an X Sin. a x. Cos. x d x = ( — 1) 10 11 12 l;i 14 15 IG 17 a^ — 1 \xSin.x.Cos.^''xdx = — Poisson, P. 17. 612. N^ 17. / 2 a -f- 1 jxTang.T.Sec.xdx =- — tt V. T. 81. N°. 1. l\^—x\Tang.xdx == n n V. T. 271. N^ 3. /x'^ Sin.qxdx = — { 2 — 7* n"^) Cos.qn — 'i} V. T. 244. N°. 1. / .r^ ( OS. axdx = — Cos. an Dienger, Cr. 34. 73. J a-' fx'^Cot.-xdx = 27T«/2 — 4,^ J— 4- - — i y 2 1 |n' ^ «^ j /.r= Cot- xdx = 2 7r3Z2 — 97r^ — ./ 2 1 n' r 1 =0 f r— D" 2 r— Ijn-nf 5-6^' /a;^ Co^-.'rd^ = 2 ttM 2 + 24 JS- tt^ -\- -- + 2^ \ J 2 1 I n^ n' n' J I r ^ 1 CO f (— 1)" (_nn-u Ix^Cot.-xdx = 2 ttM 2 -1- 40 .5" {n:' ^^ ^4- 671^ '- i j Legendre, Exerc. Page. 333. K Al}?. rat. ent. TAnii? c%ak i- a . Lire. Dir. en den, binome a -\- b, f X Sin. X • J)/ dx = — QO V. T. 863. N'. 7. 2)1 ^ dx — — 2 7rZ(l^3 — 1) Pois8on, P, 17. 612. S". 17. f X w' 4 « |p — lx(/>* — J)} 21+1 Legendrc. *)/— TT — d* = -^r^lzii-/,)} .p>i;) f X Sin. X 6)/ dx = — 2 7rZfl — (1 — l/2)tj Poisson. P. 17. 612. N.. 17. y t -j- Cos. * "^ /" xSin.x , 71,14-1-^(1 — P*) ^)/ri— 7— '^^ = -^ V7r^^'P<^"' V. T, 353. N-. 9. Jl-\-pCos.x p 2(1 — p) [ X '] Cos.x-\-Cqs.X ' S (2n+l)» f x^Sin.x , ,, ^ , » , „ 1 " <7o«. n 9/7; TTT^ '^•f = — T^U^ll— (^oa; +2.1«/lCo*.-a7r.2:(— l)"-! — J Cos.x-\-Pos,k '• ' 2 «"+• " f (7o«. n A. » 1 1 66 1 I n 1 ' n^""] — 2 .S I- .2: (— J)"'-! p^â„¢-! 7I«-2'« - ^ 1 In 1 ^ w2i>.) ax = — 4 Cosec. K ^ — ~ ^ — - Legendre, Exerc. 5. 85, Cos. n X Legend re, Exerc. 5, , ofic = g— 1/ (9* — 1); 2}»Stn. j; * j» 14.^^(1+ 45*) Sin. X X dx = — + Cot.^ X 4 /x Cos. X n % dx = ~l V. T. 827. N\ 10. l-j_2 ' ^- -,,...„.. .,x /x Sin. X 1 - , ^ ^ _ djt = - 7r» Poisson, P. U- 612. N'. 17. — Qrunert, Gr. 4. 113. f p Cos. X -\- a 1 13)/- — — -xSin.xdx = 2prtlCos.- X + 110 Tang.K Legendre, Ex«ro. 5. 77. 'J Cos.*x + Cot.*X ^ 2 '' ^ Page 334. Poisson, P. 17. 612. N". U!, 17. t. Alff. rat. cnt. Tinri.^ cttp i -^ n „> -^.^ ,v 1' I- « I lAliLrj '24b. Lim. Uet.T. Cue. Dir. en don. binome a — b. dx = 4>ttI% V. T. 238. N". 3. l — Cos.x [ xSin.x *)/ ;; — dx = %nn i jj \ — Cos.x I f xSin.x , i 4) /• " dx = ^ — .i__i(^zi^l(^-l))in' ,^,\ ' J p — Cos.x 2l/(p^ — 1) i/(p2_l) {'2«+l)'^ " '[Legendre, > Exerc. 5. ^ J Cos.x — Cos. I (2« + l)' y •' ^ . > Legendre, Exerc. 5. 75. 7) = '2 7fZ{l+p-l/(p^-l)} ,p>l; J /' X Sin. !P , \ 'JC~'- 1— C ^'^ =^ 2Ttl{l-\-Cos.).—iSinJ.] J Poisson, P. 18. 295. N'. 87. f X Sin r. ( >qui a faut. dans 9) I (1 — Cos. X -\- iSin.X) 9) r ^g.^^ ,quiaiau.aansyjUi-00 / ; dx = 27rUl+c-/'| \ et dans 10 Z{l_e-P); J eP + e~P — ZCos.x \ ^ i j ^n\Zc' — ! '^^ "" 2jr/{l +(1~1/2JJ| Poissou. P. 17. 612. N^ 17. j x Sin.x ^^ ^ n^ 2(l+p) jl—pCos.x p 1 4-1/(1 —pi) — ,p < 1; V. T. 353. N\ 9. Legendre, Exerc. 5. 66. J Cos.x — Cos,/, I V I /) 2 «"+' ^ f Cos. ni. en 1 1 f xP Sin. X 1 00 c" \ 1^)/ 7; dx = %Cos.-p7Tr{l -\-p):S '4-2,nPl(l + c) 4- ],o\ic = <] — jq — Cos.x ^ 2^ V r /-; , ^+i ^ V T / T i_^(^2_ij. ^ I n I ' ^ n2«. / 5. 74. ^^^ 1,72" /. , ''•^ == :; T-T r > P > 1; V. T. 243. N^ 3 et T. 246. N». 4. ip^ — Cos.^x 2»V-^(»» — 1) '^ ^ Puge 335. F. Alg. rat. cnt TABLE 240 suite. Lim.OctT. Luc. Uir. on deu. bnioine a — 6. 15)/^—---''^— d.v = V. T. 345. N'. 8 et T. 246. N'. '5. 7 Cos.* X— f xSin.x 71 1 +» 16) I -T '„ -r- dx = I — -- ,p %P P — 1 V. T. 245. N'. 4, 5 el T. 246. N= C, 7. lS\/'_^^'"'-* ^ _^* .sf;>— V^ (;>' — !) J2''+' V. T. 245. N'. S ct '^7p._Co,.^x''-' ^^ ^/(pT_7)^ ^ (2n + 1)* ^^ '^ -^ ' T. 246. N^ 4. 19)/;r—r ^; W-T- ^x = 4Co.?ec.iZ iV^_ TL -' ' y. T. 245. N\ 8 et T. 246. N". 5. 7(7oa.U — Cos.»a; o (2n-f-l)> , i X Sin. 2 X , , 1 JP ^'">- ^ (, V. T. 245, N\4, 5 et T. ( 246. N'. 6, 7. 21) =^ 27T/[2|(p'- l+pi/p^-J)]J,;,> 1;| F. Alg. rat. ent. T*nTi? o/.-? i- a . Ciic.Dir.onden.puiss.debinome. ^-^^^'^ ^^^- ^.m. et ^. 7 (1 — Cos.A.Coa.a;)* 2 2 4 san. 1835. 1. /« Co». X n TT-r?. — -TT. Tzdx = Mtosec.ll — V. T. 82. N\ 5. {X^ConX.Sin.xy i'o^.X /x Cot. r . TT {\ — Coa.l.Sin.xf ' ^ Cos.X /xCos.T , c 2a7r 2 4a7r*-i 2na7t nn v.T.82. -; r^ dx = nSec.-j -jCosec— 2Stn.— — .Cot.—- ^„ „ I 1 — om. a;. C/o». — — ] /aJ iStn. a; — da; = 00 I^egendre, Exerc. 5. 80. [Cos. X — a) * / x^Sin.» _ — 7i» , "' _ 8 ^ {p-V/(p'— 1))'"+' ^j.V.T.245. Page 336. I\ A|ff. rat. ent. rvknr r^ am â– , I- A . r?^ ir A' 1 I- « TABLE 247 suilc. Lim. et ^r. Lire. l)ir. on den. puiss. de binome. „^ f x'^Sin.x , — 7r» a> Sm.{{2n + l)X} ^}}:'^ 7. — -.— dx =^ — - + 8Cosec.}.2 — Jl-l^ y. x. 245. N'. 8. \}iCos.x-[-Cos.}.)^ l—Cos.l^ (2n+l)* f .7 ^ Sin. ^ ^^_ _i^ _ _ n^ 8 » (p-^/(;,^-l )]2n+l V. T. 246. '']{p — Cos.xY l/(p^-l) ;o+l ^/(pi— l)o (2«+l)* '^-^ 'N°. 4. ^ / 77, ^-^n;dx = — — - + 8 Cosee. I 2 ^^ — ' ' V. T. 246. N%. 5. 7 {Cos.x— Cos.X) 2 l-\-Cos.X^ (2 « + 1) - f p (os. X -\-\ \ > V. T. 245. N\ 4, 5. 11) = 2nl[%{\-p)} ,P<1; ] ''^f^Ss^''' '^ - -2.^(2(1 +P)i ,P< 1;) \ V. T, 246. N'. 6, 7. 13) = _4.7rZ(l+p— v/fp«_l)} ,p> 1;^ /* xSili.x , n: f 1 1 "I ''Vfr+,c<„..,. -*' --i\p=,- r^t^^i^l- "' >'=^ ^- ■■■• ''â–  '•*•■ = /(/Cos. 2 a! + /Sin.* a; \ t g. , ,, ~^^ =^ nl{—4>q) ,?<0; 1 (7-&«.^a:)^ V. T. 246. fqCos.2x—Sm.^x r , I N'. 20 21. V. T. 246. N'. 16, 17. J {p-—Cos.'xY p l-f-p"^^ [ 18) _ _i/i_^ ^ ^ 1 P P + l ''V(P^^^^^^ ^ 7 p^i ' ^ > '' ^- '• ^'^- ^^• / " xSin.2x Sin. l~l „,. r a;^ - NATDURK. VERB. DER KONIKKL. AKADEMIE. OEEL IV. *^-/'o- •/"• <^';'- . TABLE 247 suite. Lim.OelTr. Luc. Uir. eu den. puiss. de biriome. 2£)/ '^°''.' ^'^'^^ —xCos.xdai = 2 Cosec. 2 1(2 X ~- n) V. T. 83. N'. 6. ^J {l — Cos.n Sin.* x)^ ^ ' /x Sin. 2x — n ;, dx = V. T. 83. .V". 7. (p* Sin.* X ^ q* Cos."^ x'l* PQ^(l-\-p) _ ^j, ^ / — X/_^.X_1_ V. T. 83. N\ 8. (P* Sm.* X + q* Cos.* xy 4>p»q^ V+/' /x Sin. X \ (c7$.x-\-Cos.XY ^â– ^ ^ "^ I Legendre. Exerc. 5. 79. /i Sin. X i . a ^ 2: (Cos.x — Cos.X)<^ ) /Cos k X a^l^ _2 f — 4 p ) * n {q + 2p Cos.x)<^ l«/2 ^'^ ^ ' 1^ + 1/ {5» _ 4p2)) A' *!l5. 1. ^* r-l* n;l" !n!i"n » • i r , /. TABLE 248. Lim. et n. tiirc.Uir.enden.tnn.l — aCos.x + b. { x Sin. X V 1 — 2 p Cos. X 'J i — 2pCos.x+p* p ^ ^fi'f^ ' I Poisson, P. 17- 612. .N-. Ifi. P P 3) r _ ^. , "^ '^'""^ . ^ , , d.g = — 4 JT Cosec* 1 1 Cos. 4 /L V. T. 334. N°. 13. X Sin. X 1 . Sin.*X.Cos.xJ^Cos*X '^^ = - * - (^'^'''â– ' ^ ^ ^^«- i v±2a ,, r Cos. bx +2a P* ]\ — 2pCos.x-\-p* ^ ' i_pi^^' . f CoS.bx.CoS.X +2a 1 1 + p' +Q„ 7 1 — 2pCo5.a;+p» ^ ' 2 1— p*^ ^ '^ I Cos.bx.Sin.x^ ±,,^^,,^^ = ±(-l)'.i.p^>(^P)-^'"+'' 'J l — ZpCos.x + p* ^ 2 ^ ^ ^' 7)f /';•'•' -X-^^"^'^dx = ±(_ l)a+l.-i^(^p)±(*''+'J 'J l—2pCos.x-\-p* ^ ' l—pi^*^' r S in.bx.Sin. x +2a , , .x„l a , /, ,+2« 8)/:; — 7, : — -x~ dx = ( — 1 )" - TT p*-» (i pi- 'jl~-2pCos.x^p* ^ ' 2 ^ ^ ^' /Sin Page 338. Sin.bx.Cos.x ^±(»a+l)^^ _ ±(_,)a4-._^i±P!p^-. (ip)t(^''+" plos.x-\-p* ^ ' 2 1— p»^ ^ ^' F. Alg. rat. ent TABLE 248 suite. Lim.Oet'r. Circ. Dir.cnden.trin .l — aCos,x-\-b. 'J l~2qCos.2x + q^ r Cos.Zbx.Cos.x +2a , „ • 12)/ ;:, x~ ax = 'jl~2qCos.2x-^q'' f Cos. 2, bx. Sin. 01 +2a+i , 13)1 ~ x~ ax = 'J l — 2qCos. 2a; + 9» f Sin. Ibx. Sin. x +2a 14)/:; r X- dx = J l — 2q Cos. 2x-\-q-i 1 K^ /* ^*"- ^ ^ *• '^''*- "^ +2a+l , 15)/:; z — :; x" air = (C0S.{{Zb-l)xlC0S^ +2a ^ lb) I ~ x~ ax = J l — 9,qCos.2x-^qi {C^Zb-t)x}.Sin.2x^±2a+,^^ = V l~'ZqCos.Zx-{- q^ ,^,f Sin.{{U-l)x }.Sin.Zx +2a , 1»)/— ~i ; X~ dx = J 1 — 2qCos.2x-\-q'^ nnN [Sin. [{Zb—l )x}.C0S.2x +2fl+l ^ i») I ; x~ dx = 7 1 — 2^6os.2a; + j^ - 7l-25Co,.2.T + j^'' ''•^ - ^ -^^ 2±'"^' 1+9 ^ „ fSin.{{2b + l).v}.C0S.X +(2a+l) ,,, ,, ^ 9' ,, ,+(2a+l) Jjcs inf^grales (4) k (23) oi\ p> < 1 , < 7 < 1, se trouvent: Bierens de Haath, Gr. 13. 193. O.IN f xSin.lx n 24)/- „ „ ; rdx = — l(l~-p),p < 1; V. T. 353. N°. 23. J l — 2pCos.2x -\- p^ 2p z'; ' z' -^ . Page 339. 43* ^'r'°"n-^' A- V . f TABU] 240. Lim.Ocl^. Cue. Dir. en den. d autre forme. f xSin.x , "^ , ,-, s â– , \ 1)1 ;, dx == '(1— P .P < i;J > V. T. 353. N'. 19, ;!0. 2) i — : ,p> 1;^ p p—i I /x Sin. X , 2 71 1 + I/- ( I -I- 77) - dx = —l-^ \-^L'i V. T. 334. N-". 8. Z^pCos.x + p p 2 f Cos. X + q Cos. X „. , . , ^ , . ^ \ 4) / ^ , . -—--xSin.xdx = — ttHI— 2o(7os.A + 2/i(7o«.9-f- * J-„2J.A2_2o/jCos.(;1-0)) i • ^-^ ^ ^ V w;;i Legendre, Exerc. B. 77. /â–  xSinje , 2 hSin.e—qSinl 1 •'/g* + 27Cos.i.tw.x+Cof.*x g -^ 1— 5C0S.A+AC0S.O) 5*5m.2A •oilTano 29= , , , r pro5..rH-r i ?Ho..2A-r 6) / *" ' — —xSm.xdx=—2TtpL{l—%qCos.X-\-'lliCos(i^ U' = l— 2o* Co8.ll-\-q^ ; J q^+2qCosXCos.x-\-Cos.^x f \. j -r -r 1 â– / T .. » , „ ,. , r — pnCos.X . hSinO — qSin.X I ^^ ' ^ 'â– * qSln.l '' l—qCos.l + hCosd f X Sin. X 71 7) I-— — dx = , k infiniment petit "> 0: Legendre, Esere. 5. 81. 'J{Cos.x — qy—k* 1+? f 2 "^'^ _ !! ri 4 / ^ 'L^ _ \ _ ^7 Sin.^ x + {a Sin. x -i- b Cos. x)^ ^ ~ JU' '''^'""^' \l 4. a^ — i V ~ V. T. 271. N°. 2. /AStn.x X , ^ fl , . 1 ^ (1„ x) ,l+rani?,^A Lobatschewsky, j:::c^;a:c^xi::c^^^ f^S: i^"""' 2p(7of.x4-p*)* p 1+p f il+p^)Cos.x—Zp , , „^, P ^ ^ ^^)]^i:^7^7rrTZir.^'<^^ = ^-i-;^ ,p>i; 11) 2-/(l+p),p1; V. T. 84. N\ 2. , /" xSin.x , T , M) / â–  ^ dx = ,»<:i;i 15) F(1+P)(P-1)* •,p>i;l / •' . \ \ II \ fi I. V. T. 85. N". 6, y. 17) = -^ f^-^^ ,p>l; gp"— p + 1 2p(l+p)^(p — 1)3 V. T. 85< 'N\ 12. 13. 18)/ ^ — dx = 1 + 2 \ p2« ,pJ